等腰、等边三角形（原卷版）-七年级数学上学期（人教版）

题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题

1.（湘一芙蓉）如图，已知中，AB=AC=\2cm,10c〃?，点。为48的中点.如

果点P在线段8c上以2cm/s的速度由点8向C点运动，同时，点Q在线段/C上由点A

向C点以4c〃面的速度运动.

（1）若点、P、0两点分别从8、4两点同时出发，经过2秒后，△8PQ与△00。是否全

等？请说明理由；

（2）若点尸、。两点分别从8、力两点同时出发，△CP0的周长为16。〃，设运动时间为

3问：是否存在某一时刻3使得△CP0是等腰三角形？如存在，请求出/的值，若不

存在，请说明理由.

2.（中雅）如图1,点尸、。分别是边长为4cm的等边△力3C边48、4c上的动点，点、P

从顶点力，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为lcm/s,

（1）连接力。、CP交于点、M,则在P、。运动的过程中，NCM。变化吗？若变化，则

说明理由，若不变，则求出它的度数：

（2）何时△尸4。是直角三角形？

（3）如图2,若点P、。在运动到终点后继续在射线48、8c上运动，直线/。、CP交

点为M,则NCM。变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

P,

图1图2

3.(青竹湖)已知，△ABC是边长3a〃的等边三角形.动点P以lcw/5的速度从点/出发，

沿线段44向点月运动.

(1)如图1,设点P的运动时间为，(s),那么/为何值时，△尸8c是直角三角形；

(2)若另一动点。从点C出发，沿射线3。方向运动.连接P0交力C于。.如果动点尸、

。都以的速度同时出发.

①如图2,设运动时间为f(s),那么/为何值时，△OC。是等腰三角形？

②如图3,连接PC,请你猜想：在点尸、。的运动过程中，△PCQ和△。。的面积有什么

关系？并说明理由.

4.(广益)如图1,在平面直角坐标系中，直线48分别交x轴、》轴于/(m0)、8(0,

b)两点，且m6满足(67-/))2+\a-4/|=0,且00,/是常数.直线8。平分/。8力，

交x轴于。点.

(1)若4B的中点为M,连接OM交BD于N,求证：ON=O。；

(2)如图2,过点/作力E_L8。，垂足为E,猜想/£与8。间的数量关系，并证明你的

猜想；

(3)如图3,在x轴上有一个动点。(在4点的右傲J),连接尸8,并作等腰RtZ\8PR

其中NB/乎'=90°,连接万1并延长交)，轴于G点，当P点在运动时•，0G的长是否发生

改变？若改变，请求W它的变化范围；若不变，求出它的长度.

5.（长郡、雅礼）如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，AOAB为等边三角形，P、Q

分别为力。、月8边上的动点，点P、点。同时从点力出发，且当其中一点停止运动时，

另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点。运动，点。以

3个单位长度每秒的速度从点4向终点8运动，设运动时间为/,已知点4坐标为（a,力），

且满足（。-6）2+市口・4=0.

（1）求力点坐标：

（2）如图1,连接AP、。。交于点C请问当，为何值时./OCP=60°：

（3）如图2,。为08边上的中点，P,。在运动过程中，D,P,。三点是否能构成使

ZPDQ=120°的等腰三角形，若能，求运动时间，并直接写出四边形/IP。。的面积：若

不能，请说明理由.

6.（师梅）如图，在平面直角坐标系中，力（-3,0）,点△是y轴正半轴上一动点，点C、

。在x正半轴上.

（1）如图，若NB4O=60°,N4co=40°,BD、CE是4ABC的两条角平分线，且

BD、CE交于点尸，直接写出5的长.

（2）如图，△48。是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△8CQ,连接

。。并延长，交y轴于点尸，当点。运动到什么位置时，满足?。=告。。？请求出点C

的坐标：

（3）如图，以48为边在的下方作等边△48P,点8在歹轴上运动时，，求OP的最小

值.

7.（郡维）等腰中，NA4C=90。，46=/。，点乩点8分别是y轴、x轴上两

个动点，直角边4c交x轴于点。，斜边8C交y轴于点E.

（1）如图（1）,已知C点的横坐标为-1,直接写出点4的坐标；

（2）如图（2）,当等腰RtZL44C运动到使点。恰为NC中点时，连接。E,求证：AADB

=/CDE；

（3）如图（3）,若点/在x轴上，且4（・4,0）,点8在y轴的正半轴上运动时，分

别以03、46为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角△/BC,连接C。

交y轴于点P，问当点8在y轴的止半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明

理由，若不变化，请求出8。的长度.

图（1）图（2）图（3）

8.(长郡)如图，在△48C中.点E在线段8c上，连接月E并延长到G,使得

EG=AE,过点G作GZ)〃84分别交8C,AC于点F,D.

(1)求证：LABE必GFE；

(2)若GO=3,8=1,求的长度；

(3)过点。作。H_LBC于"，P是直线。〃上的一个动点，连接力扛AP,FP,若/C=

45°,在(2)的条件下，求△力五P周长的最小值.

9.(广益)如图.在平面宜角坐标系中.点。为坐标原点.点力(0.3)与点片关于r轴

对称，点C(小0)为x轴的正半轴上一动点.以4c为边作等腰直角三角形力CZ),Z

/CZ)=90°,点。在第一象限内.连接8Q,交x轴于点巴

(1)如果NO4C=38，,求NOCb的度数;

(2)用含〃的式子表示点。的坐标;

(3)在点。运动的过程中，判断的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说

明理由.

D

S'

题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题

10.(雅境)(1)问题发现：如图1,△力C8和△OCE均为等边三角形，点/,D,£在同

一直线上，连接

①N4EB的度数为

②猜想线段8E之间的数量关系为：,并证明你的猜想.

(2)拓展探究：如图2.△4C8和△QCE均为等腰直焦三角形，ZACB=ZDCE=90°,

点4D,E在同一直线上，CM为△£)(?£中边上的高，连接8E,请求出/力£8的

度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系.

11.(郡维)如图1,已知△/BC和△£「€*都是等边三角形，且点E在线段48上.

(1)求证：BF//AC；

(2)过点E作EG〃8c交力。于点G,试判断△彳EG的形状并说明理由；

(3)如图2,若点。在射线。上，且ED=EC,求证：AB=AD+BF.

图1图2

12.（北雅）已知：△48。为等边三角形，点£为射线力。上一点，点。为射线C8上一点,

AD=DE.

（1）如图1,当E在NC的延长线上且CE=CQ时，求证：BD=CD；

（2）如图2,当石在NC的延长线上时，4B+BD等于4E吗?请说明理由；

（3）如图3,当D在线段C8的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出力8、BD、

力石的数量关系，并证明.

13.（中雅）己知△43。为等边三角形，取△44C的边48,BC中点。,E,连接。区如图

1,易证为等边三角形，将△O8E绕点8顺时■针旋转，设旋转的角度N/l8Q=a,

其中0<aV180°.

（1）如图2,当a=30°,连接力O,CE,求证：AD=CE；

（2）在△Q4E旋转过程中，当a超过一定角度时，如图3,连接力。，CE会交于一点,

记交点为点片4D交BC于点P,CE交BD于点Q,连接月尸，请问4户是否会平分N

CBD?如果是，求出a,如果不是，请说明理由；

（3）在第（2）间的条件下，试猜想线段力凡4”和W之间的数量关系，并说明理由.

14.（雅实）如图1,△力8c为等腰三角形，NZBC=90°,点尸在线段8C上（不与B、C

重合），以点力为直角顶点作等腰直角△B4Q,且点。在力2的左下方，过点。作。&L

AB于点E.

（1）求证：△刃B@AAQE；

（2）连接C。交于%若PC=2尸从求隘的值.

（3）如图2,过点。作0尸J_/0于48的延长线于点尸，过尸点作。P_L/尸交AC于点

D,连接OR当点尸在线段4c上运动时（不与8,C重合），式子Q受F-产DP的值会变化

Ur

吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由.

15.（师梅）如图I,在平面直角坐标系中，点4在歹轴上，点4在x轴上，AB=AC,

16.ZBJC=90°,CA/ly轴，交），轴于点M.

（1）求证N48O=NC4W；

（2）如图2,。，E为『轴上的两个点，BD=BE,BD1BE,求NCEAZ的度数；

（3）如图3,△以。是等腰直角三角形，NH。为顶角，点。在x轴负半轴上，连接

CB,交y轴于点“，力。与x轴交于点G,连接PC,交4Q于点K,交x轴于点M若

CN=CM,NG=3,HM=2,求GH.

图1图2

16.(博才)如图1,OA=2,08=4,以4点为顶点、48为腰在第三象限作等腰Rt4/BC,

(1)求。点的坐标；

(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点，当尸点向J轴负半轴向下运动时，以。为顶点