常用逻辑用语 综合测试（解析卷）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第2讲常用逻辑用语•综合测试(解析卷)

答案速查表

12345

DCBBB

678910

CCCABDBC

1112131415

(1){%1-2<

%V-1或一

7T3%>0,X2-

AB31<%<

47%4-6>0

0或r>2}

(2)(-1,3)

16171819

「5

[-1,0]U-4(-8,1]口，7)[3,+oo)

3

1.(2026•山东德州・4月二模)已知a,b为正实数，则“a的充要条件可以是

A.ac>beB.ac>bc

C.-+b>7Ina

abD.Q+>b+\nb

【答案】D

【解析】对于A,若cWO,贝!ac>bc推不出a>b,故A错误.

对于B,若cMO,则相>〃推不出a>b,故B错误.

对于C,取a=2,b=l,满足Q>b,但工+1>1成立；取a=l,b=2,不满足Q>b,

ab2

但1+2也成立，故C错误.

对于D,构造函数/(%)=%+In%,其在(0,+8)上单调递增「・,《+Ina>b+Inb,即f(a)>/(b)，

，Q>b.反之，若Q>b>0,则f(a)>f(b),即Q+Ina>b+Inb成立.故D正确.

【点拨】本题考查充要条件的判断，通过构造函数并利用其单调性来判断不等式的等价关系是解

决此类问题的有效方法.

2.(2026•广东茂名•一模)"InaAlnb”是“0的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由Inez>Inb可得Q>b>0.

由0<1V；可得Q>b>0.

ab

・•・a>b>0与Q>b>0等价，・•・"Ina>Ind"是"0<!<的充分必要条件.

ab

【点拨】本题考查充分必要条件的判断，解题的核心在于将两个条件分别等价转化为最简形式，

再比较其范围大小.

3.(2026•宁波十校・3月联考)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”

。㈤=fn?介•已知a/ER,则“a+bEQ”是“D(a)+D(b)=2”的

(U,XeLRQ

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】*：D(a)+D(b)=2,：,D(a)=l,D(b)=1,：.a£Q,bwQ,.\a+b6Q,故“a+bE

Q”是“D(a)+D(b)=2”的必要条件.

当a+bWQ,假设a=V^,b=一或时，a+b=06Q,此时。(Q)=0,0(b)=0,则。(a)+

D(b)H2,故“Q+b6Q”是“D(a)+D(b)=2”的不充分条件.

综上：“a+b£Q”是“D(a)+O(b)=2"的必要不充分条件.

【点拨】本题考查新定义函数与充分必要条件的判断，理解狄利克雷函数的取值规则并善于通过

举反例来否定充分性是关键.

4.(2024・天津一中•阶段练习)“cos2a=-g”是“cosa=g”的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】Vcos2a=2cos2a-1=-/.cosa=±所以"cos2a=—："是"cosa=；的必要

不允分条件.

【点拨】本题考查充分必要条件的判断，需熟练掌握二倍角余弦公式进行等价转化.

5.(2024•上饶六校・5月模拟)已知数列｛%｝满足%=n-a(aGR),则“a51”是

“｛|%|｝是递增数列”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当QMl时，an=n-a>0,贝力斯|=|九一Q|=九一Q,所以｛|斯1｝是递增数列；

反之，当Q=J时，|即|=卜_斗=卜”-I数列｛|叫｝单调递增，因此当数列｛|%1｝是递增

4141n-7，n>2

4

数列时，Q可以大于1,所以“QW1”是“｛|4|｝是递增数列”的充分不必要条件.

【点拨】本题考查充分必要条件的判断，结合数列的单调性，通过举反例说明必要性不成立是解

题的突破口.

6.（2026•江西南昌3月测试）已知圆0:X2+y2=1,。：点pg,b）在圆。外，q：直线

1:QX+by=1与圆。有两个公共点，则p是q的

A,充分不必要B.必要不充分C,充分必要D.既不充分也

不必要

【答案】C

【解析】点P（a,匕）在网。：炉+y2=1外，等价于Q2十匕2>1

直线上ax+by=1与圆O:%2+y2=1有两个公共点，等价于圆心0（0,0）到直线Z的距离d<1.

'-d=^^=4^^即&2+扶>1.

卬与q等价，即p是q的充分必要条件.

【点拨】本题考查直线与网的位置关系及充要条件的判断，将几何关系转化为代数不等式是解题

的关键.

7.（2024•贵州毕节•模拟预测）直线hx+（l+Q）y=1-Q（Q6R）,直线6丁二一?》，给

出下列命题：

①maWR,使得LiII%；®3aeR,使得，j%；

③VaWR,2i与%都相交；④mawR,使得原点到，1的距离为2.

其中正确的是

A.①②B.②③C.②④D.@@

【答案】C

【解析】对于①，若All'该方程组无解，①错;

刈于②，若则（一■[^，，（一；）=—1，解得a=—；，②对；

对于③，当a=l时，直线，1的方程为％+2y=0,即y=-gx,此时，匕,%重合，③错;

对于④，直线人的方程为x+(a+l)y+a-l=O,若mawR,使得原点到"的距离为2,则

-JTI2,整理可得3a2-10Q+7=0,△=100-4x3x7>0,3a2-10a+7=0

有解，④对.

【点拨】本题考查直线的位置关系及点到直线的距离公式，需分类讨论直线斜率存在与否的情况.

an

8.（2025•萍乡实验・3月一模）命题3x0WR,使m就一（m+3）x0+m<0是假命题，

则实数TH的取值范围为

A.m<0B.m<-1C.m>3D.m>3

【答案】C

【解析】命题“比0WR,使m焉一（m+3）/+mW0”是假命题，等价于其否定<4VxER,

mx2一（m+3）x+m>0”是真命题.

当m=0时，不等式化为一3%>0,不恒成立.

2

当mH0时，要使mx?一⑺+3）x+m>0恒成立，需满足黑］,+3）2_^n<（T

由A=-3m2+67n+9V0,即zn?-2m-3>0,解得m<-1或m>3.

结合m>0,可得m>3.

【点拨】本题考查存在量词命题的真假判断，将其转化为全称量词命题恒成立问题，并结合二次

函数的图象特征求解是关键.

9.（2026•安徽马鞍山•一模）已知%,yWR,条件q:%+yV2,贝叼成立的充分不必要条件

有

A.%=y=0B.|x|+|y|<2C.x2+y2=2D.In%<0且

Iny<0

【答案】ABD

【解析】对于A,由x=y=0,得x+y=0<2,而x=l,y=0也能使x+y<2成立，因此

%=y=0是q成立的充分不必要条件，A是；

对于B,x<\x\,y<\y\,由|x|+|y|<2,得x+yV2,而x=-2,y=0也能使％+yV2成立，

因此㈤+1训V2是q成立的充分不必要条件，B是；

对于C,当％=y=l时，d+y2=2成立，而不等式％+y<2不成立，因此/+产=2不是q

的充分条件，C不是；

对于D,由InxV0且InyV0,得0V%V1且0VyV1,则0Vx+yV2,而％=y=0也能

使x+y<2成立，因此InxV0且InyV0是q成立的充分不必要条件，D是.

【点拨】本题考查充分不必要条件的判断，通过举反例或利用不等式的性质进行逻辑推理是解题

的关键.

10.(2026•山东泰安・5月三模)下列选项正确的是

A.已知m,n是两个非零向量，则•nV0”是与n的夹角为钝角”的充要条件

B.-sinx=1”是“cos”0”的充分不必要条件

C.事件4与B相互独立的充要条件是尸Q4B)=P(A)P(B)

D.已知等比数列｛斯｝的公比为q,则“q>1”是“｛册｝是单调递增数列”的必要不充

分条件

【答案】BC

【解析】对于A,若则m与n的夹角为钝角或平角(夹角为兀时，

m-n=-|m||n|<0).所以“THFVO”是“夹角为钝角”的必要不充分条件，故A错误.

对于B,若sinx=l,则x=2/t7T+£Z),此时cosx=0成立.若cos%=0,则x=ATT+

GZ),此时sinx=±l,不一定有sinx=l..\"sinx=1"是"cosx=0"的充分不必要条件，

故B正确.

对于C,事件A与8相互独立的充要条件是P(48)=P(4)P(8),这是相互独立的定义，故C正确.

对于D,若等比数列｛斯｝的公比为q,当即<0且q>l时，数列｛%｝单调递减；当即>0且0<

q<l时，数列｛册｝单调递减.若｛an｝是单调递增数列，则%>0,q>1或由<0,0<q<1,此时推

不出q>l.「q>1”既不是充分条件也不是必要条件，故D错误.

【点拨】本题考查命题的真假判断与充要条件，涉及向量夹角、三角函数方程、独立事件及等比

数列的单调性，需全面掌握相关基础知识.

11.已知0vbv。v1,下列命题中是真命题的有

xx

A.VxG(0,4-oo),a>bB.Vx6(0,1),logax>log/,%C.

abx

3%6(0,1),x>xD.3%G(0,Z)),a>logax

【答案】AB

x

【解析】对于A,由0VbVQV1得：>1,VxG(0,+8),"=(3>d=1，则Q，>bt

A正确；

对于91。&%=需，1唯”=等,♦・0。<”1，••・lnbvinav(L.・・^v/vO・.・％w(0,l),

ln%vO.,•雷>骼Wlogax>log6x,B正确；

对于C,函数y=mV。VmV1)在(0,1)上为减函数，而0cbVQVI,则小。<77?,即Vxw

(0,1),xa<xb,C错误；

xx

对于D,当％W(0,b)时,a<1,logflx>\ogab>log^cz=1,BRa<logax,D错误.

【点拨】本题考查指数函数与对数函数的单调性，灵活运用换底公式及作差比较法是判断命题真

假的关键.

12.（2025・沧衡八县・3月一模）将分别标有数字123,4,5的5个大小相同的小球放人一个

不透明的袋子中，甲、乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先

对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大乙再对甲说：“我也不能确定咱俩

谁的球上面的数字更大若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为—

【答案】3

【解析】甲摸出一球，乙摸出一球.数字分别为x,yE{l,234,5},且xwy.

甲说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大

妇果甲摸到的是5,甲一定知道自己的大；如果甲摸到的是1,甲一定知道自己的小.

所以甲摸到的不是1和5,甲的数字％e{2,3,4）.

乙听到甲的话，知道了％6{2,3,4}.

乙说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大

如果乙摸到的是5,乙知道自己的比甲（2,3,4）大，乙就能确定;

如果乙摸到的是1,乙知道自己的比甲（2,3,4）小，乙也能确定;

如果乙摸到的是4,乙知道甲是2或3（因为甲不可能是4,xwy）,那么乙一定比甲大，乙就能

确定；

如果乙摸到的是2,乙知道甲是3或4,那么乙一定比甲小，乙就能确定.

因此，乙摸到的只能是3.因为如果乙摸到3,甲可能是2或4,乙无法确定谁大谁小.

所以乙摸球上的数字为3.

【点拨】本题考查逻辑推理能力，通过逐步排除确定性情况，缩小可能取值的范围是解决此类推

理题的常用策略.

13.（2024•山东潍坊•二模）若=是"sinx+cosx>1”的一个充分条件，贝Ua的一

个可能值是.

【答案】：

4

【解析】由sinx+cosx>1可得或sin（%+：）>1,则sin（x+彳）>?,所以2%花+：<x+；V

2/czr4-y（Zc6Z）,解得2k/rVx<2E:+eZ）,因为"x=a”是“sinx+cosx>1”的一个

充分条件，故a的一个可能取值为千

【点拨】本题考查三角不等式的解法及充分条件的含义，利用辅助角公式化简三角函数是解题的

基础.

14.（2025・石家庄・5月三模）若命题p：V%>0,X2-7X+6<0,则命题p的否定为.

【答案】m%>0,x2—7x+6>0

【解析】命题p：Vx>0,x2-7x4-6<0的否定为：3%>0,x2-7%+6>0.

【点拨】本题考查全称量词命题的否定，需注意改变量词并否定结论，但不能改变条件域.

15.(13分)(2026•合肥一六八•一模)已知函数/(x)=等的定义域为4关于x的不等

式%2—2x+2Q—Q?<0的解集为B.

(1)若Q=2时，求(CnB)n4

(2)若XEB是的充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1){%|-2£%〈-1或一1<%<0或%>2}(2)(-13)

【解析】(I)由{:=且工工一1,所以集合4={用工之一2且为工-1},....2分

由/—2%4-2a-a2<0=>(%—a)(x-2+a)<0；

当Q=2时，不等式为x(x-2)40=0WxM2,即集合8={%|04工42},..............4分

又CR8={X|%V0或%>2},.........................................................5分

所以(G?8)nA=(x\-2<x<-l或一1<x<0figx>2}；.............................7分

(2)因为XEB是不£力的充分条件，所以8是4的子集，又71={用无之一2且x工一1}.......8分

当a=l时，B={x\x=l},满足题意，...............................................9分

当aVI时，B=[x\a<x<2-a],所以1或/得一1VQV1,.....11分

当a>1时，B=[x\2-a<x<a],所以居>1、]，得1Va<3....................13分

"-a>—i

综上，实数a的取值范围为(-1,3).

【点拨】本题考查集合的运算及充分条件的判定，解题的关键是正确求出集合A和B,并结合数

轴分类讨论参数的取值范围.

16,(15分)若命题曰€[-1,3],ax2-(2a-l)x+3-a<0,,为假命题，求实数%的

取值范围.

【答案】[一1,0]咔,4]

【解析】命题“三。-1,3],ad一(2Q-1)%+3-Q<Q”为假命题，其否定为真命题，

"VQ6[—1,3]»QX?—(2a—l)x+3—QN0”为真命题............................3分

令9(a)=a，-2ax+x+3-a=(x2—2x—l)a+x+3>0,.........................6分

g(-i)to

g(3)>0

口4-%24-3%+4>0

12分

'13x2-5x>0

f-1<X<4「q]

解得x之三或％<0,所以实数%的取值范围为[-1，U]u[|,4]....................................................15分

3

【点拨】本题考查存在量词命题的真假判断及主元法的应用，将关于X的不等式转化为关于Q的一

次函数恒成立问题是解题的突破口.

17.（15分）已知命题p：BxER,%2+2%+2—QV0,若p为假命题，求实数a的取值范

BI.

【答案】（-8,1]

【解析】:,命题p：3%G7?,x2+2x+2—a<0,

.,•ip：VxwR,X24-2X+2—a>0,............................................................................................4分

又VP为假命题，・•.-1P为真命题，....................................................7分

BlVxeR,x2+2x+2-a>0恒成立，

.*.△<0,即22-4（2-a）<0,....................................................................................................11分

解得QW1........................................................................................................................................15分

【点拨】本题考查命题真假的等价转化，利用二次函数恒成立与判别式的关系是求解参数范围的

常规方法.

18.（17分）若命题P：i（3xER,（/一1>2+4（1一k）％+340”是假命题，求k的取值

范围.

【答案】[1,7）

【解析】•・•命题'勺（k2-l）x2+4（l-fc）x+3<0>,是假命题,

，命题“VxER,（好一1）%2-4（1-k）x+3>0”是真命题，..........................3分

若/—1=0,即k=1或k=-1,

当上=1时，不等式