河南驻马店市2025-2026学年高二下学期4月测评数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南驻马店市2025-2026学年高二下学期4月测评数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城．小张和小王准备从以上5个景点中各自选择一个去游玩，则选择方案种数为（）A.30 B.25 C.20 D.10【答案】B【解析】因小张和小王可以从5个景点中各自选择一个去游玩，故选择方案种数为．2.函数在区间上的平均变化率为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】函数在区间上的平均变化率为.3.已知向量，且与垂直，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知：，则，又与垂直，则，得.4.已知数列为等差数列，若，则（）A.15 B.17 C.19 D.21【答案】C【解析】因为数列为等差数列，则，即，所以．5.同时投掷红､蓝两枚质地均匀骰子，设事件为“红色骰子投出的点数为偶数”，事件为“两枚骰子点数之和为7”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】同时投掷红､蓝两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序对，则总共有种可能.设事件为“红色骰子投出的点数为偶数”，事件为“两枚骰子点数之和为7”，所以事件包含的样本点个数有个，所以，事件包含的基本事件有：，所以，所以.6.如图，在三棱锥中，为的中点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为为的中点，所以，因为，所以．7.已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则，不妨设在双曲线的右支上，设，又，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理可得：，即，解得，所以．8.已知集合含有个元素，其中，先后两次随机､独立地选取集合的两个子集，记为与.设为集合中元素的个数，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据集合的子集个数，可知集合的可能情况有种；同理，集合B也可能有种，因此，两集合的所有可能情况数为，随机变量的所有取值为，当时，先从个元素中选出个元素，记为，有种可能情况，对于这个元素中的每个元素，满足时，只可能满足这三种情况之一，有种可能情况，因此，事件“”的所有可能情况数为，则，由，可知，则.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（）A.圆的圆心坐标为B.C.点到直线的最大距离为D.【答案】BC【解析】∵圆的方程为，其圆心坐标为，故A错误；圆心到直线的距离，故B正确；点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径之和，即，故C正确；∵在中，，则，故D错误，故选BC．10.下列说法正确的是（）A.已知，则的取值为1或3B.除以8的余数为7C.由这六个数字组成的不同六位数共有720个D.将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有35种不同放法【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以或，解得或，经检验均符合题意，故A正确；对于B，因为，又，所以除以的余数为，又能被整除，所以除以的余数为，故B正确；对于C，由这六个数字组成的不同六位数共有个，故C错误；对于D，将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，故有种不同放法，故D正确．11.已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（）A.B.C.当时，取最大值D.【答案】BCD【解析】因为等比数列的各项均为正数，所以，因为，所以,，所以；，所以，因为，所以，则且，所以单调递减，又因为，故，所以选项A错误，选项B正确；对于C，因为且，所以单调递减，又因为且，所以当时，取最大值，C正确；对于D，因为，因为，所以，即，所以选项D正确．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数=__________．【答案】##【解析】由，得.因为函数的图象在处的切线与直线垂直.所以，则．13.已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如图，抛物线的准线方程为，过点作，垂足为，由抛物线定义可知，所以，当时，取得最小值，所以，则，此时点的坐标为．14.已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________．【答案】【解析】不妨令，此时有，所以，即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线．此时或重合或者过中点．又，当过中点时，，当时，与为同一条直线；当时，，当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意；当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意；所以要有且仅有两条直线，必然有，由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则，所以的取值范围为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（1）已知，化简，并计算时的值；（2）在的展开式中，的系数等于的系数的5倍，求的值．解：（1），当时，；（2）由二项式定理可知，的系数为的系数为，故，即，所以，解得或7，而且，故．16.为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的.性别最佳舒适温度合计男

女

合计

400（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关；（2）从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）依题意可知，女性用户共有200人，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人，男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为，列联表如下：性别最佳舒适温度合计男100100200女15050200合计250150400零假设为：修改为“认同取暖器‘最佳舒适温度’不低于与性别无关.根据表中的数据，计算得到，因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，故此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关；（2）由第1问得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人，故抽取2人至少有1名女性的概率为.17.已知数列满足：．（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和．（1）证明：时，，解得，时，，化简得，又，所以是以1为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知：，所以，所以．18.如图，在四棱锥中，为正三角形，．（1）证明：平面平面；（2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长．（1）证明：如图：取的中点，连接.因为，所以，在中，．由余弦定理得，因为为等边三角形，所以，在中，，则，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解：以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，因为，根据圆心角与圆周角关系可判断点在以点为圆心，半径为2的圆上，所以，三角形为正三角形，所以.由（1）可知，平面，所以轴，所以由题设得，设，故，则．设平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，即，可取，记平面与平面的夹角为，则，其中，所以，原式可约分得.两边平方：，化简得，解得，，由图可知.所以，所以，则．19.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点．①求面积的最大值以及此时直线的方程；②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值．（1）解：，所以，因为坐标原点到直线的距离为，所