湖北省十一校2026届高三下学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省十一校2026届高三下学期第二次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，，则.故选：B.2.已知复数满足：，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】因为复数满足：，所以，所以，解得.所以.故选：B.3.是为奇函数的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为奇函数的定义域关于原点对称，时的定义域不一定关于原点对称，所以不是为奇函数的充分条件；如果为奇函数在处有定义时有，在处没有定义时没有，所以不是为奇函数的必要条件；综上，是为奇函数的既不充分也不必要条件.故选：D.4.若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】已知单位向量、的夹角为，因此且A选项：，，，，故，A为真命题；B选项：，B为真命题；C选项：假设，则存在使，整理得：，由于与不共线（夹角为），则且，此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题；D选项：所以，D为真命题.故选：C.5.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（

）（残差=观察值－估计值）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴增加两个样本点后的平均数为；∵，∴，∴增加两个样本点后y的平均数为，∴，解得，∴新的经验回归方程为，则当时，，∴样本点的残差为故选：B.6.已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，则或，解得或，所以，，，，…，，所以，故B正确.故选：B7.已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，圆心，半径为1，则，可得，由椭圆方程可知：，即恰为椭圆的右焦点，则，所以.故选：A.8.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.三棱锥外接球的表面积为B.若平面，则动点的轨迹是一条线段C.若平面，则动点的轨迹的长度为D.若，则动点的轨迹长度为【答案】A【解析】对于A：由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为，，故，又，则，故，，因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上，则，即，故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确，对于B：取与中点、，连接、、，由正方体性质可得，，又平面，平面，故平面，平面，平面，故平面，又，、平面，故平面平面，由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误；对于C：取靠近点的四等分点，连接，由正方体性质可得平面，又平面，故，由，，故与相似，则，故，故，又，、平面，故平面，又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误；对D：若平面，因为平面，平面，故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，故其轨迹长度为，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（）A.C的虚轴长为 B.C的离心率为C.的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于【答案】AD【解析】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，对于A，的虚轴长，A正确；对于B，的离心率，B错误；对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确.故选：AD.10.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（）A.B.C.的对称轴过的对称中心D.，使得【答案】AC【解析】，的图像与的图像关于y轴对称，，即，，，经检验，满足题意，故选项A正确，选项B不正确；，，的对称轴满足，即，，即的对称轴过的对称中心，故选项C正确；当时，，的值域为，当时，，的值域为，，故选项D不正确．故选：AC.11.已知函数有三个零点，则（）A.若成等差数列，则成等比数列B.若成等比数列，则成等差数列C.若成等差数列，则数列的公差为D.若成等比数列，则数列的公比为【答案】ABD【解析】当时，，不合题意；当时，分别画出与的图象，如图：

所以；对A、C：由题得，所以，即，若成等差数列，则，所以，所以成等比数列，由，则，即，所以，由，解得，因为，所以，则，即数列的公差为，故A正确、C错误；对B、D：由，若成等比数列，则，则，即有，故成等差数列，又，则，故，即数列的公比为，故B、D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______．【答案】【解析】已知数学成绩，则分布关于对称，，已知，则，，根据正态分布的对称性可知：，正态分布是连续分布，，故，已知总人数为，数学成绩为分以上的人数为：．故答案为：．13.已知数列的前项和为，且，，则___________．【答案】【解析】由题意可知，由可得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，当且时，，不满足上式，故.14.设分别是与的零点，则的取值范围是___________．【答案】【解析】当时，因为函数是实数集上的增函数，所以函数是实数集上的增函数，因为是的唯一零点，所以，即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标.当时，因为是的零点，所以，设，当时，因为函数是正实数集上的增函数，所以是正实数集上的增函数，即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标，显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示：显然，由数形结合思想可知：，的中点在上，所以，，设，由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减，即，所以的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的正切值．（1）证明：设，则，．在中，根据余弦定理，将，，代入可得：，所以．则，所以，因为底面，底面，所以．又因为，、平面，所以平面．而平面，所以.（2）解：因为底面，，四边形为平行四边形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，，，则，，，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，则，取，可得，设平面与平面的夹角为，则，所以，故.16.锐角三角形的内角的对边分别为，且满足=．（1）求角；（2）设为锐角三角形的垂心，求的值．解：（1）由条件知：，由正弦定理可得，所以，则；（2）设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H，则，故，有，则，设外接圆半径为，在中用正弦定理：，故，所以.17.一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．（1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率；（2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望．解：（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为，则，，，，，所以.（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4；，，，，所以.18.已知，其中．（1）求证：当时，；（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；（3）证明：，其中．（1）证明：，令，则，而且，所以，即在上单调递增，，所以，即在上单调递增，所以；（2）解：①时，，，所以在上单调递增，又，则此时有且仅有1个零点；②时，在上小于0，在上大于0，即在上单调递减，在上单调递增，又且，则存在唯一的，即在和上大于0，在上小于0，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又时，，则在上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点，此时函数有且仅有2个零点；综上所述，当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点；（3）证明：令，且时，得，再令，代入化简可得，则，则.19.已知抛物线为其焦点，直线过点交抛物线C于两点，若三角形面积的最小值为．（1）求；（2）若三角形外接圆与抛物线的最后一个交点为点．（i）设，证明：．（ii）若平分，求线段长度的所有可能取值．（1）解