黑龙江省哈尔滨市部分学校2025-2026学年高一上学期1月学业质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省哈尔滨市部分学校2025-2026学年高一上学期1月学业质量检测数学试题一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选：C.2.已知命题，则命题的否定为（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】根据题意可知命题是特称命题，由特称命题的否定要求可知改变量词否定结论，即需变成，否定为，综合可知命题的否定为.故选：.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，A错误，对于B，为周期函数，在上不单调，故B错误，对于C，为奇函数，故C错误，对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，则，所以为偶函数，且在上，单调递增，故D正确.故选：D.4.已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】设扇形的圆心角为，半径为，由题意可得，故，故选：B.5.若且，则的最小值为（）A. B. C.9 D.12【答案】B【解析】由题意，，又，则由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.6.把函数的图象向右平移个单位长度后，将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，将函数所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数，故选：C.7.已知角的终边在直线上，则的值为（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】由的终边在直线上可得，故.故选：A.8.方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，令，故两个不相等的正实数根，故，解得.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】已知，所以，所以，A错误；，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC.10.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.C.的对称轴为D.的单调递增区间为【答案】ACD【解析】AB选项，从图象可以得到函数最大值为2，故，函数的最小正周期为，又，故，故，将代入解析式可得，即，又，故，所以，解得，所以，B错误；故，A正确；C选项，令，解得，故的对称轴为，C正确；D选项，令，解得，故的单调递增区间为，D正确.故选：ACD.11.已知函数，用表示中的较小者，记为，则下列说法正确的是（）A.的图象不可能是一条直线B.的图象可能是一条抛物线C.当时，的值域为D.若关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是【答案】ABD【解析】对于A：若的图象是一条直线，则在上恒成立，即在上恒成立，显然不成立，故A正确；对于B：若的图象是一条抛物线，则在上恒成立，即在上恒成立，只需，即即可，故B正确；对于C：当时，，解，得，此时，故C错误；对于D：①由选项B可知，当时，在上恒成立，故在上恒成立，显然不符题意；②若，当时，，即当时，无解；若且，使得，则，因为在单调递减，故，则，此时也是满足题意的整数解，与题意不符，因此该唯一整数解只能为1，因为当时，所以只需，即，解得，综上所述，实数的取值范围为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.___________.【答案】1【解析】.故答案为：1.13.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为__________.【答案】【解析】设，由题知，得到，所以，得到，由，得到，所以函数的定义域为，故答案为：.14.已知函数为定义在上的奇函数，则__________.【答案】【解析】由于为定义在上的奇函数，故的对称中心为，则，.故答案为：2025.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是第三象限角，且满足.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）方法一：，所以.方法二：，由为第三象限角，，所以.（2）为第三象限角，.16.已知函数（1）求的定义域，并证明是奇函数；（2）求不等式的解集；（3）若，求实数的取值范围.解：（1）因为所以的定义域为：，因为，所以，所以为奇函数.（2），所以，所以，即：，所以，不等式的解集为：；（3）对于函数，令，由反比例函数性质可知，在内单调递增，故在内单调递增，由可得，因为是奇函数，故，解得.17.近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章x（万件），其它成本为（万元），且，经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完.（1）求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式；（2）2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）总收入：，当时，，当时，，所以，2026年总利润为：；（2）当时，，当时，利润最大，最大为万元.当时，，当且仅当，即：时，利润最大，最大为25万元.因为，所以年产量为8万件时，利润最大，最大为25万元．18.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且.（1）求与；（2）求与的解析式，并判断的单调性，不用说明理由；（3）若对恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为在上是奇函数，在上是偶函数，且，所以①，所以②，联立①②组成的方程组，可解得；（2）因为在上是奇函数，在上是偶函数，且③，则，即④，联立③④组成的方程组可得.又因为，而在上为增函数，在上为减函数，所以在上是增函数；（3）由（2）可知，在上是增函数，若对恒成立则有在恒成立，即⑤在恒成立.令，则，又因为，所以，则⑤式可化为，即⑥.当时，⑥式恒成立，所以；当时，⑥式可化为，当时，取到最小值，所以.综上，实数的取值范围.19.定义三阶行列式运算：，其中.已知函数.（1）求函数的解析式；（2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有a的值.解：（1）；（