湖北鄂北六校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北鄂北六校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（）A.1 B.3 C.i D.【答案】B【解析】∵，∴复数的虚部为3.故选：B.2.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.3【答案】D【解析】由，得，所以.由，得，又，得，所以，则.3.如图，在中，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，，又，，，，，.故选：D.4.设，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，，，又，则，所以.5.如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（）A.2 B.4 C.8 D.12【答案】A【解析】取的中点，连接，则，所以.6.函数，若在区间上单调递减，则实数m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】；，；在区间上单调递减，，解得，实数的最小值为.7.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（）A.点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为B.点P第一次到达最高点需要20秒C.当水轮转动95秒时，点P距离水面1米D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米【答案】C【解析】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，由题意，，所以，解得，因为，所以，则，当时，，所以，则，又，则，综上，，故A正确；令，则，令，得秒，故B正确；当秒时，米，故C错误；当秒时，米，故D正确.8.在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，得，又，得，由余弦定理得：，化简得，由正弦定理得：，由于，代入化简得，因为，则，又因为正弦函数在上单调递增，所以，即，则，因为是锐角三角形，所以有，解得，则，，令，则有二次函数，由于二次函数的对称轴，因此函数在上单调递增，因此，故，故D正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法中正确的说法为（）A.若，，则B.在中，若，则C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则存在唯一实数使得【答案】BC【解析】对于A，当时，对任意向量均有，因此向量不一定共线，A错误；对于B，在中，，B正确；对于C，由，得，整理得，且向量是非零向量，因此与共线且反向，C正确；对于D，当时，满足，对，均有，即的值有无数个，D错误.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.C.函数在上单调递增D.方程的解为，【答案】ABD【解析】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，由，所以，因为，则，则，因为，则，所以，故B正确；对于C，，由，得，而，即时，没有意义，故C错误；对于D，，则，方程，得，即，即，所以或，因为，，所以或，解得或，故D正确.故选：ABD.11.正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（）A.最大值为0.5 B.最大值为1C.的最大值为 D.最大值是【答案】BD【解析】以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则，，，，．设，，则，，，由，得，则，解得，对于A，，其中锐角由确定，，则当时，，A错误；对于B，，，即，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，则，而，当时，取得最大值为，C错误．对于D，，其中锐角由确定，，则当时，取得最大值，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量不共线，且向量，，且，则_____________.【答案】【解析】，所以，即，，.故答案为：.13.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】由题意知，所以，故.所以实数的取值范围是.14.已知函数，．若，，，则a的取值范围是________．【答案】【解析】函数.令，当时，，，所以.当时，，当且仅当，即时等号成立.所以由对勾函数的性质，得在上单调递增，所以.所以，.函数是单调递增函数，所以当时，.若，，，则是的子集，所以，解得.故a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，．（1）若，求点A，B的坐标；（2）若点A的坐标为，求的值．解：（1）因为，所以，，所以点坐标为，又因为，所以，，所以点坐标为.（2）因为点在单位圆上，得，又因为点位于第一象限，则，所以点的坐标为，即，，由，得，因此，由诱导公式得：，又因为二倍角公式为：，所以，因此.16.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，的面积为，求边BC的长．解：（1），令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，又A为的内角，则，故，所以，所以设角A，B，C所对边分别为a，b，c，因为，由正弦定理得．①因为三角形的面积为，所以．②由①②解得：，由余弦定理得，所以.17.已知在中，为中点，，，．（1）设和的夹角为，若，求证：；（2）若，求．解：（1）因为N为AB中点，所以，则．根据向量数量积的分配律可得.已知，，，则，，代入可得，因为，所以，即.（2）因为，所以，又因为，则，所以，而，，，，所以代入得，解得，因为，所以.18.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若的面积为．①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；②求内角A的角平分线长的最大值．解：（1）因为，由正弦定理可得，整理得，则，且，所以.（2）①由题意可得，解得，由于，则，当且仅当时取等号，所以，②因为为角A的角平分线，则，因为，则，且，则，可得，又因为，则，即，且，则，又因为，当且仅当时，等号取得到，则，所以．19.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．（1）若向量，求；（2）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，．①若，的根从小到大依次为，求；②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，）解：（1）因为向量，所以，又因为，为单位向量，且夹角为，