湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，.当时，；当时，.所以.因此.故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：原命题的否定为“”，故C正确.故选：C.3.与终边相同的角所构成的集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误.与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确.故选：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】不等式解得，由于是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的必要不充分条件；故选：B.5.已知，，，下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，则.故选：D.6.已知函数，则（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.7.莱洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．莱洛三角形在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用．如图所示，等边的边长，则该莱洛三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】等边三角形的面积为，扇形面积为，则对应的弓形面积为，所以该勒洛三角形的面积为.故选：B.8.若实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】令，因为与均在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，即，则，当时，.故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列运算中正确的有（）A.若，则 B.C.若，则 D.【答案】ACD【解析】对于A，由，得，即，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的最小值为B.函数的图象关于点对称C.函数在单调递减D.将函数的图象向右平移个单位可得的图象【答案】AD【解析】由图像可知函数的最小值为，A正确；由图象可知，，即，所以，又，可得，即，又因为，所以，所以，当时，，满足正弦函数的对称轴，B错误；当时，则，函数不单调，故C错误；将函数的图象向右平移个单位可得的图象，D正确；故选：AD.11.定义在的函数满足如下条件：①；②当时，.则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.在上单调递减D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】令，则由题意可得，即A正确；令，即，则由题意可得，因为时，，所以时有，即，所以时有，故B正确；令，.结合AB选项结论，可知，，所以，即在上单调递增，故C错误；对于不等式，显然才有意义，原式可化为，即，由上可知，解之得，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数（，且），则函数的图象恒过定点______．【答案】【解析】令，可得，因为，所以函数过定点为.故答案为：.13.若函数的图象关于直线对称，请写出一个符合题意的值，______．【答案】（答案不唯一）【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以；所以，()则，()故答案为：（答案不唯一）.14.如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.【答案】【解析】由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以，，得，显然A在函数图象上，而B在函数图象上，则，得，解得故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第二象限，且与单位圆交于点，点的横坐标为．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）设，因为点在单位圆上，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，所以，，所以.16.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并利用定义证明；（3）证明：当时，函数在内至少存在两个零点．解：（1）要使函数有意义，则，即，解不等式，可得.所以函数的定义域为.（2）函数的定义域为，关于原点对称..根据偶函数的定义，对于定义域内的任意，都有，所以函数是偶函数.（3）当时，...根据零点存在性定理，因为，所以函数在内至少存在一个零点.又因为，所以函数在内至少存在一个零点.综上，函数在区间和内各至少存在一个零点，故在内至少存在两个零点.17.为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数解析式；（2）当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意可得，所以单株利润的函数解析式为：.（2）当时，为开口向上的抛物线，其对称轴为：，所以当时，当时，，，当且仅当即时等号成立，此时，综上所述：当投入的单株肥料费用为元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是元．18.已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在的值域；（3）已知函数，关于的方程有实数解，且，求实数的取值范围．解：（1），因为函数的最小正周期为，则，故；所以；（2）由（1）可知，，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则，因为，则，所以，函数在的值域为；（3），代入得，化简得；由于关于的方程有实数解，所以方程有实数解，设，，即与有交点；因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，由于，则在上值域为，所以.19.利普希茨连续条件（Lipschitzcontinuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”．（1）判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由；（2）若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值；（3）已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”．解：（1）已知且，则.因为，，所以，则0，即，所以存在常数，使得在内任意，(，都有，故函数在上是“利普希茨条件函数”.（2）已知且，则.因为，所以，则，那