辽宁省抚顺市六校协作体2026届高三下学期二模数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省抚顺市六校协作体2026届高三下学期二模数学试题本试卷共150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2.（）A. B.10 C. D.2【答案】C3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C4.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】D5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定的【答案】B6.已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D7.现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有（）A.60种 B.72种 C.96种 D.120种【答案】A8.如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行国家标准规定：若日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内日平均浓度如下表，则（）星期一二三四五六日日平均浓度34274323452619A.该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”B.该城市这周日平均浓度数值的40%分位数为27C.该城市这周日平均浓度数值的极差为28D.该城市这周日平均浓度数值的平均数为31【答案】AD10.已知，且，则下列结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.的取值范围为C.若，则的最大值为D.的最大值为【答案】ABD11.已知P是曲线上的动点，点，，且三点不共线，内切圆的圆心记为I，直线与直线交于点Q，则（）A.关于直线对称 B.存在点P，使得（O为坐标原点）C.为定值 D.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为____________.【答案】13.已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________.【答案】14.已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为____________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列和满足.（1）若，求的值；（2）若，且恒成立，求t的取值范围.解：（1）因为，所以，，，所以.（2）因为，所以，则，所以，因为n∈N*，所以，即.由恒成立，可得，则，得，则，即t的取值范围为.16.如图，在正方体中，E，F分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求二面角的正弦值.（1）证明：连接，与交于点O，可知O为的中点.连接.因为E是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得.连接，则，，所以即为二面角的大小.，则.连接，，则，.在中，，则二面角的正弦值为.17.为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金.（1）当时，求顾客可以获得奖金的概率；（2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？解：（1）当时，记事件A为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件B为“顾客可以获得奖金”，则.（2）当时，记顾客获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为0，30，40，且，，，则.当时，记顾客获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为0，60，80，且，，，则.因为，所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大.18.已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为.（1）求C的方程.（2）对于C上的任意两点，定义：.（i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：.（ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）.（1）解：由题可知，，解得，则C的方程为.（2）证明：（i）依题可设直线的方程为，，由，可得，则，且，，，所以.因为A，B是C右支上两个不同的点，所以.又，所以..由，，得，则，故.（ii）设，，.由和（i）可得，且则，均在直线上.若，则，l的方程为，由可得，则，则.若，则l的方程可化为，由可得.因为，所以上式可化为，此时，且，，则.综上所述，为定值，且该定值为.19.（1）求函数在上的最值.（2）证明：，，.（3）若，，求k的值.（1）解：由，得.令，则.因为，所以，，则在上恒成立，则在上单调递减.又，所以，即在上恒成立，则在上单调递减，则在上的最大值为，最小值为.（2）证明：.因为，所以由（1）可知，，则.又，，，所以，则，，，.（3）解：由题可知，，.令，则，.若，则，根据函数零点存在定理可知，，，不符合题意，故.同理可得，.令，则，，若，则，根据函数零点存在定理可知，，，不符合题意，故.综上所述，是原不等式成立的必要条件，下