内蒙古包头市2026年普通高等学校招生全国统一考试（二模第二次考试）数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古包头市2026年普通高等学校招生全国统一考试（二模第二次考试）试题注意事项：1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B2.已知复数，则（）A.4 B. C. D.【答案】D3.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D4.已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A5.若，且是第四象限角，则等于（）A. B.C. D.【答案】D6.直线与圆的交点为，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C7.若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C8.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（）A. B. C. D.【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（）A. B. C.最小 D.【答案】BC10.如图所示，一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计），圆台的上下底面半径分别为3和1，母线长为4，则（）A.圆台容器的容积为B.圆台的外接球的半径为C.容器中可放入一个半径为1.7球体D.圆台容器内放入一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为2【答案】ACD11.曲线左、右焦点分别为，，直线与曲线的左、右两支分别交于，两点，则（）A.且B.C.若直线与圆相切，则D.若，则的内切圆半径为【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是偶函数，则__________.【答案】413.已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______.【答案】914.已知数列的前n项和，则的最大值为___________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】解：（1）由，结合正弦定理，得，即，即，因为，所以，即．（2）．利用正弦定理得．而，故的面积．16.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】解：（1）在三棱柱中，，，，，则.又四边形是正方形，则，，所以.又，平面，因此平面.又平面，所以.在等边中，为中点，则，又，平面，所以平面.（2）取中点为，中点为，则，.由（1）知，平面，平面，则.又，故.又，平面，则平面.即两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为为线段中点，所以.，，.设平面的法向量为，则，即，故可取.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】解：（1）由题知：，若，，在上单调递增，若，令解得：当时，，单调递减；当时，，单调递增，综上，当，的递增区间是，没有单调递减区间，若，的递增区间是，递减区间是.（2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，令，则=，令，由（1）知函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，则有，即，即当时，则，当时，则，即在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取最小值，于是得，所以的取值范围为.18.已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点．（1）求椭圆C和圆M的标准方程；（2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率．【答案】解：（1）由椭圆的离心率，得，则，由点在椭圆C上，得，联立解得，，所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为.（2）设，中点，由在椭圆上，得，则，又，于是，而，由，得，由在圆M上，得，联立解得，，由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N，当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意，所以.19.某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为.（1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望；（2）若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为.（i）请写出与的递推关系；（ii）设，求证：.【答案】解：（1）记附近居民第天选择路线分别为事件，依题意，，，，则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率；记第二天选择路线散步的人数为，则，则，，