初中八年级数学下册“函数的概念与函数的表示”教学设计

初中八年级数学下册“函数的概念与函数的表示”教学设计一、教学内容的本质分析函数是初中数学的核心概念，是学生首次从静态的数量计算走向动态的数量依存关系研究。22.1节“函数的概念”要完成从具体到抽象的关键一跃：让学生明白函数不是公式，不是图像，而是两个变量之间“一变就跟着变、变定就唯一确定”的对应关系。22.2节“函数的表示”则要让学生掌握解析法、列表法、图象法三种表示方法，体会三者的互补性与各自的优势。从教材知识结构看，本节上承“常量和变量”“用式子表示数量关系”，下启“函数的图象”“一次函数”，是整个函数板块的奠基课。江西考区对这部分内容的考查历来注重情境性，常以气温变化、水费电价、行程问题等本土生活素材为载体，考查学生对“两个变量”“唯一确定”这两个要点的理解。教学中最难处理的不是教会学生写y=2x这样的式子，而是破除学生头脑中的一个顽固误解：他们认为“函数就是能写出算式的关系”。实际上，一天中气温随时刻的变化写不出简洁算式，却是典型的函数关系。这个理解关口过了，函数的图象、性质研究才能顺利展开。二、学情诊断八年级学生已经在小学学过正比例关系，在七下学习了用字母表示数，对“速度、时间、路程”之间的依赖有朴素感觉。但从近几届学生的课堂表现看，普遍存在三个障碍。其一，学生习惯一对一的计算思维，面对“一个量变化引起另一个量变化”的动态描述时，容易把它还原成静态等式，失去“过程感”。其二，对“唯一确定”这层含义缺乏敏感性。例如当x取某值时y有两个值与之对应，不少学生依然认为是函数，理由是“反正都有对应”。其三，函数的三种表示方法在学生心目中是割裂的：会列表就想不到画图，画了图又想不到写式。需要通过同一情境三种表示来回切换，建立方法间的贯通意识。三、教学目标1.能结合具体实例识别常量和变量，理解函数的概念，会判断两个变量之间是否存在函数关系，并能说明判断依据。2.理解函数自变量取值范围的意义，会求简单实际问题中自变量的取值范围，能根据自变量的值求出对应的函数值。3.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法，能从不同表示中读取信息，体会三种方法各自的优劣。4.经历从生活情境中抽象出函数关系的过程，发展用数学眼光观察现实世界的意识，体会运动变化与对应的思想。四、教学重难点重点是函数概念的形成，即对“两个变量”“一个变量随另一个变量变化而变化”“唯一确定”三个要点的把握。难点有两点：一是理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这一表述中“唯一”的含义，并能举出反例；二是函数三种表示方法之间的转换意识。五、教学方法与课前准备采用情境驱动与问题串引领相结合的方式组织教学，辅以几何画板制作的动态演示课件。课前为学生准备四张情境任务卡：江西某日气温变化曲线图、弹簧伸长记录表、汽车行驶路程问题、当地阶梯水价收费表。每组学生配一张方格纸用于描点作图。六、教学过程（一）情境导入：变化的世界中有不变的规则（约6分钟）教师展示江西某日自动气象站记录的气温变化图，横轴为时刻，纵轴为气温，曲线起伏明显。提问一：这一天中，哪些量在变？哪些量不变？学生很快说出时刻在变、气温在变。教师顺势给出常量与变量的表述：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。提问二：我随便报一个时刻，你能从图上找到这一时刻的气温吗？能找到几个？学生尝试后发现，每个时刻对应的气温只有一个。教师把这个发现写在黑板正中：一个时刻，一个气温。这句话将成为本节课概念生长的种子。（二）概念生成：三类情境，共同结构（约14分钟）教师组织学生对四张任务卡分组研究，每组重点研究一种情境，然后在全班交流，回答统一的三连问：这个情境中有几个变量？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是不是随之确定？确定的值有几个？情境一，气温随时刻变化。结论：时刻确定，气温唯一确定。情境二，弹簧挂重物实验。每增加一千克砝码，弹簧伸长量有记录表可查。质量确定，伸长量唯一确定，而且可以由h=0.5m概算出。情境三，汽车以60千米每小时匀速行驶，路程随时间变化。时间确定，路程唯一确定，s=60t。情境四，阶梯水价。月用水量确定，应缴水费唯一确定，虽然算法分段，但“唯一”这一点毫不含糊。此时教师点拨：四个情境，图形、表格、算式、阶梯规则各不相同，但骨子里是同一件事——都涉及两个变量，一个变量每取定一个值，另一个变量都有唯一确定的值与它对应。教师板书函数概念：一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。为防范“函数必须有公式”的误解，教师追问：气温随时刻的关系没有漂亮公式，它是函数吗？学生对照概念逐字检验，确认它是函数。这一问对概念理解的价值远超十道模仿题。（三）辨析深化：“唯一”二字见功夫（约10分钟）教师出示三组辨析题，要求学生先独立判断，再说出依据，依据必须回到概念本身。辨析一：下列各式中，y是x的函数吗？①y=2x＋1；②y=±根号x（x≥0）；③y的平方等于x（x≥0）。①中x每取一个值，y唯一，是函数。②③中当x=4时，y可以取2或－2，两个值对应一个x，违背“唯一确定”，y不是x的函数。这里要特别引导：判断唯一性的办法是固定x的值，看解出的y是不是只有一个。辨析二：一个班级里，身高是不是学号的函数？学号是不是身高的函数？学生讨论后发现，每一个学号对应唯一的身高，是；但同一个身高可能对应好几个同学，学号不是身高的函数。这个例子让“两个变量、唯一确定”落到学生自己的生活里，也自然引出：函数关系是有方向的，不能随意颠倒。辨析三：公式S=πr²（r>0）中，自变量是谁？为什么必须写r>0？由此引出实际问题中自变量取值范围的必要性，教师归纳三条常见来源：使式子本身有意义，使实际问题有意义，使所列关系有意义。并给出例题：求y=3＋2x中自变量的取值范围，以及当x=2时的函数值。学生口答：全体实数；当x=2时，y=7。（四）函数的三种表示：同一段旅程，三种讲法（约10分钟）教师提出新问题：刚才四个情境中，函数关系分别是怎样“告诉”我们的？学生归纳出三种方式：用式子表达，如s=60t，叫解析法；用表格列出，如弹簧实验记录，叫列表法；用图形呈现，如气温曲线，叫图象法。教师组织“方法体检”活动，让学生给每种方法找出至少一条优点和一条不足：解析法能算出任意自变量对应的函数值，便于整体研究变化规律，但不够直观，且有些函数根本写不出解析式。列表法对已列出的自变量值可以直读函数值，常用于实验数据，但表不可能无限长，未列出的值无从得知，变化的整体面貌看不见。图象法能直观看出增减、最高最低、变化快慢，但读数是近似值，精确计算要靠解析式。随后完成方法间的切换练习：已知某水库水位记录表列出每天的日期的水深，请学生在方格纸上描点连线，画出图象，再观察相邻数据尝试写出近似的解析式，并用图象回答“哪几天水深上升最快”。同一问题三种表示来回走一遍，学生真正体会到三者是同一个函数的三种“外观”，刻画的是同一个对应。教师补充三点其一，用图象表示函数时，横轴取自变量，纵轴取函数值；其二，由表格或图象读出的关键信息，往往可以相互印证；其三，实际问题中常把三种方法配合使用，如先列表、再画图、后归纳式子。（五）课堂小结与达标检测（约5分钟）小结由学生完成，教师只给三个句式支架：今天我认识了一个新概念，它的要点有……；判断是不是函数，我的方法是……；表示一个函数，我可以……。达标检测三题：一是判断关系y=2x－1是不是函数并求x=0时的函数值；二是长方形周长为20厘米，设一边长为x厘米，另一边长为y厘米，写出y与x的关系式并说明自变量取值范围（y=10－x，0<x<10）；三是给出某地一周最高气温统计表，判断气温是不是日期的函数，并说出这种表示属于哪种方法、有何优点局限。教师根据答题情况当堂点评，重点关注第2题中取值范围这一易错点。（六）作业布置必做题：教材本节配套练习，含概念判断、求函数值、求取值范围、由表格读信息四类。实践题：记录家中连续三天的用电量或用水量，用表格和图象两种方法表示，写三句话描述你发现的规律，下节课课前交流。七、板书设计主板书居中呈现概念：函数——在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则x为自变量，y是x的函数。左侧副板书呈现三个要点：两个变量、随之变化、唯一确定；右侧副板书呈现三种表示法：解析法、列表法、图象法，各附一词评注——精确、直接、直观。黑板下方保留辨析二的反例y²=