高中二年级数学排列与排列数教学设计

高中二年级数学排列与排列数教学设计一、教材分析排列与排列数是北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理中第二节第一课时的内容。本节内容承接分类加法计数原理与分步乘法计数原理，是从计数原理走向具体计数模型的关键一步，同时为后续组合、二项式定理以及概率统计知识的学习奠定基础。排列概念的本质，是从若干不同元素中取出部分元素并按照一定顺序排成一列，其核心在于"有序"二字。排列数公式的推导则完全依托分步乘法计数原理，是原理应用的经典范例。从教材编排看，本节先通过具体的生活情境引出排列的概念，再抽象出排列数的符号表示，最后借助阶乘建立排列数公式。这一"情境—概念—公式—应用"的线索符合学生的认知规律，教学时应尊重并放大这条线索，避免直接抛出公式让学生机械套用。二、学情分析高二学生已经熟练掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，具备用枚举法、树状图处理简单计数问题的经验。但学生头脑中"排列有序、组合无序"的界限尚不清晰，容易混淆"选出来"与"排出来"两种操作。另外，学生对排列数公式中字母意义的理解往往停留在符号层面，面对含限制条件的排列问题（如"某人不在两端""某两人相邻"）容易顾此失彼、重复或遗漏。基于上述学情，本课的教学重点确定为：排列概念的理解、排列数公式的推导与简单应用；教学难点确定为：排列与排列数两个概念的联系与区别，以及含限制条件排列问题的处理策略。三、教学目标1.通过具体实例的分析，理解排列的概念，能够判断一个计数问题是否为排列问题，发展数学抽象素养。2.借助分步乘法计数原理推导排列数公式，理解公式中每一个字母的含义，掌握阶乘的表示与运算，发展逻辑推理与数学运算素养。3.能运用排列数公式解决简单的排列计数问题，初步掌握"特殊元素优先""捆绑法"等基本策略，体会化归思想。4.在探究过程中感受计数问题的有序之美，养成不重不漏、缜密思考的习惯。四、教学方法与教学准备本课采用问题驱动教学法与探究式学习相结合的方式。教师以层层递进的问题串组织课堂，学生在独立思考、小组交流、展示点评中完成概念建构。课前准备多媒体课件、排号卡片若干，便于开展模拟排队活动。五、教学过程（一）情境导入：从排队拍照说起上课伊始，教师出示情境：甲、乙、丙三名同学参加校园摄影活动，要站成一排合影。请问一共有多少种不同的站法？学生很容易想到用枚举法列出：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种。教师追问：如果附上字母标记，把甲记作A、乙记作B、丙记作C，能否用分步乘法计数原理重新解释这个结果？学生思考后回答：左起第一个位置有3种选择，第一个位置确定后，第二个位置有2种选择，前两个位置确定后，第三个位置只剩1种选择。由分步乘法计数原理，共有3×2×1=6种站法。教师进一步加码：如果从全班40名同学中选出3人站成一排照相，又有多少种站法？枚举还现实吗？学生发现枚举法在这个问题面前已经力不从心，迫切需要一个更一般的工具。认知冲突由此产生，新课的引入水到渠成。（二）概念建构：什么是排列教师引导学生重新审视刚才的问题。从3个不同元素中取出3个元素排成一列，与从40个不同元素中取出3个元素排成一列，虽然复杂程度不同，但本质上属于同一类问题：都是从若干个不同的元素中，取出若干个元素，按照一定的顺序排成一列。师生共同提炼出排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n，m、n为正整数）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。概念给出后，必须设置辨析环节让概念落地生根。教师出示下列一组辨析题，请学生判断是否为排列问题，并说明理由：（1）从2、3、5、7四个数中任取两个数相加，有多少个不同的和？（2）从2、3、5、7四个数中任取两个数相除，有多少个不同的商？（3）某班选出3名同学分别担任班长、学习委员、体育委员，有多少种选法？学生讨论后得出：问题（1）中2+3与3+2结果相同，交换位置不改变结果，不是排列问题；问题（2）中2÷3与3÷2不同，涉及顺序，是排列问题；问题（3）中同样三个人，职务分配不同视为不同方案，是排列问题。教师顺势总结判断要领：判断一个计数问题是不是排列问题，关键看取出的元素交换位置之后结果是否发生改变。发生改变，说明与顺序有关，是排列问题；不改变，则不是。这一要领请学生用自己的语言复述一遍，确保人人过关。接下来强调排列相等的含义：两个排列相同，当且仅当元素完全相同且元素的排列顺序也完全相同。例如甲乙丙与甲丙乙是不同的排列，尽管元素一样。（三）符号与公式：排列数的诞生教师指出：上面我们关心的是"所有不同排列的个数"，这个个数需要一个简洁的符号来承载。于是引出排列数的定义：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示（教材中n为上标或下标注明的写法，板书时强调n在下、m在上，读作"n取m的排列数"）。教师特别提醒：排列是一个具体的排法，是一个"结果"；排列数是所有排法的个数，是一个"数"。二者一个是对象、一个是数量，不可混为一谈。例如3人站队的"乙甲丙"是一个排列，而6是排列数。随后提出本课的中心问题：A(n,m)究竟如何计算？回到导入中的问题：从40名同学中选3人站成一排。第一个位置有40种选法，第二个位置有39种，第三个位置有38种，共有40×39×38种。教师追问：这背后的原理是什么？学生回答：分步乘法计数原理。教师继而引导一般化：从n个不同元素中取出m个元素，相当于依次填写m个位置。第一个位置有n种填法，第二个位置剩下n−1种，第三个位置有n−2种，照此规律，第m个位置有n−(m−1)=n−m+1种填法。由分步乘法计数原理得：A(n,m)=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)让学生观察这个公式的结构特征：右边是m个连续正整数相乘，最大的因数是n，因数个数恰好是m。这两个观察结论是防止公式用错的保险栓。比如A(7,3)就是从7开始乘，连续乘3个数：7×6×5=210。学生初步熟悉公式后，再引入阶乘记号。当m=n时，即把n个不同元素全部取出排成一列，称为n个元素的一个全排列，此时：A(n,n)=n(n−1)(n−2)×…×2×1教师介绍：从1到n的连续正整数的乘积，记作n!，读作"n的阶乘"。于是A(n,n)=n!。并规定0!=1，使后续公式在m=n时依然统一成立。借助阶乘，排列数公式可以改写为更紧凑的形式。教师板演推导：A(n,m)=n(n−1)…(n−m+1)=[n(n−1)…(n−m+1)(n−m)(n−m−1)…2×1]÷[(n−m)(n−m−1)…2×1]=n!/(n−m)!即A(n,m)=n!/(n−m)!。提醒学生：作数值计算时，用连乘形式更快捷；进行代数变形或证明时，阶乘形式更方便。（四）例题精讲：从模仿走向迁移例1计算：（1）A(10,4)；（2）A(6,6)；（3）用阶乘形式验证A(5,3)=5!/(5−3)!。此题立足于公式的直接应用，由学生独立完成，教师巡视纠偏。（1）中A(10,4)=10×9×8×7=5040，强调从10开始连续乘4个数；（2）中A(6,6)=6!=720；（3）中5!/2!=120/2=60，而直接计算5×4×3=60，两者一致，公式得到印证。例2用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，一共可以组成多少个？分析：从5个数字中任取3个排成三位数，百位、十位、个位有序，是排列问题。答案为A(5,3)=5×4×3=60。教师追问：若把"三位数"改成"三位偶数"，怎么办？引出下例。例3用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的三位数，可以组成多少个？此题的陷阱在于数字0不能出现在百位。教师组织学生讨论两种思路。思路一（特殊元素优先）：先考虑百位。百位不能为0，有4种选择；十位、个位从剩下4个数字中任选2个排列，有A(4,2)=12种。由分步乘法计数原理，共4×12=48个。思路二（间接法）：不考虑限制，从5个数字中取3个排列，共A(5,3)=60种；其中0在百位的有A(4,2)=12种，应当排除。故共有60−12=48个。教师点评：直接法与间接法殊途同归。当限制条件叙述为"必须怎样"时，特殊位置或特殊元素优先安排往往顺畅；当排除的情形容易数清时，间接法更简洁。例47名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有多少种排法？引导学生把相邻的甲、乙"捆绑"视为一个整体，与其余5人共6个"元素"全排列，有A(6,6)=720种；而甲乙内部又有A(2,2)=2种排法。由分步乘法计数原理，共有720×2=1440种。教师点明这就是处理相邻问题的"捆绑法"，并请学生类比思考：若要求甲乙不相邻，又该如何处理，留作课后探究，为插空法埋下伏笔。（五）课堂练习：分层巩固基础层：（1）计算A(8,2)、A(9,3)；（2）6名同学中选4人参加4×100米接力，棒次不同视为不同安排，共多少种安排？提高层：从0、1、2、3、4、5中任取3个数字组成无重复数字的三位偶数，共有多少个？基础层面向全体，限时完成，同桌互批。提高层供学有余力的学生挑战，提示可以按"个位是0"与"个位不是0"分类讨论：个位为0时有A(5,2)=20种；个位从2、4中选，有2种，百位从非0且未被占用的4个数字中选，有4种，十位从剩余4个数字中选，有4种，共2×4×4=32种；合计52种。此题综合考查分类加法、分步乘法与排列知识的融合运用。（六）课堂小结：知识成网，方法入囊学生先自主梳理，教师再补充完善，形成如下结构：一个概念：排列——从n个不同元素中取出m个元素按一定顺序排成一列，判断标准是"有序"；一个数量：排列数A(n,m)，与排列概念严格区分；两个公式：A(n,m)=n(n−1)…(n−m+1)，A(n,m)=n!/(n−m)!，并记住0!=1这一规定；若干策略：特殊元素优先、间接排除、捆绑法，以及贯穿始终的分类加法与分步乘法两大原理。教师强调计数问题的思考流程：先判断是否与顺序有关，选定计数模型；再审视有无限制条件，确定直接处理还是间接处理；最后检验有无重复与遗漏。思维有章可循，计数方能不重不漏。（七）作业布置必做题：教材对应课时练习中排列数计算与简单应用题共5题。选做题：5人站成一排，甲不在队首、乙不在队尾，有多少种站法？（提示用间接法或分类讨论）探究题：查阅资料，了解排列数在密码设置、赛事编排中的一个真实应用，下节课用一分钟分享。六、板书设计主板书区自上而下呈现：排列定义（关键词"不同元素、按顺序"）；排列数符号A(n,m)及其与排列的区别；公式推导过程（m个位置依次填写，连乘得公式）；阶乘记号与两个公式形态；例3、例4的规范解答。副板书区用于学生板演与辨析题的即时记录，保留思维痕迹。七、教学反思本课以排队照相这一朴素情境贯穿始终，让