苏科版数学七年级下册 第11章 一元一次不等式复习 学案 含答案

第十一章一元一次不等式（复习讲义）1.理解不等式、不等式的解集的概念，会用数轴表示不等式的解集；2.掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法；3.会运用一元一次不等式和不等式组解决简单的实际问题。知识点重点归纳常见易错点不等式的概念及性质1.不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。2.不等式的解集：满足不等式的所有解的全体叫做不等式的解集。3.用数轴表示不等式的解集方法：x>ax<ax≥ax≤a4.不等式的基本性质：（1）不等式的传递性：如果a>b,b>c,那么a>c.如果a<b,b<c,那么a<c.（2）基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变.可以用符号表示为:如果a>b,那么a±c>b±c.（3）基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

可以用符号表示为:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或ac如果a>b,c<0,那么ac<bc(或ac不等式的定义中并没有要求不等式中一定含有未知数，所以像1<2这样的式子也是不等式。注意不等式与方程概念的区别，不要受方程概念的影响。不等式的基本性质与等式的基本性质有相似的地方，也有不同的地方，特别要注意基本性质2关于两边同乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变，这也是解不等式时最易错的一个地方。一元一次不等式1.一元一次不等式的定义：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1.2.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似）（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。（此步骤最易错）一元一次不等式需要满足三个要求，①不等式两边都是整式、②只含有一个未知数、③未知数的次数为1.，其中第一个要求最容易被忽略，就是要求不等式两边都是整式，也就是说未知数不能在分母中，所以这个不等式不是一元一次不等式，实际上1x=x-1可以看出这个其实是x的一元一次不等式组1.一元一次不等式组定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组。2.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集.3.不等式组的解集求法及口诀：口诀：同大取大同小取小大小小大中间找无解大大小小无处找不等式组的解法就相当于解多个不等式，关键步骤是求几个不等式解集的公共部分，可以借助数轴方便地求解公共部分，也可以借助口诀来求解，但如果出现三个或三个以上的不等式求公共解集时，最好利用数轴。不等式（组）的应用运用一元一次不等式（组）解决实际问题解题一般步骤：（1）审题：找出题目中的关于表示不等关系得关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等；（2）设元：根据需要设出适当的未知数；（3）列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组；（4）求解：解出不等式（组）的解集；（5）检验：检验解集是否符合题意和实际生活；（6）写答：写出答案。利用一元一次不等式或不等式组求解与生活实际相关的问题时，一定要检验所得的解或解集是否符合题意和生活实际，例如课本第136页例题3中就是这种情况，一定要注意。题型一题型一不等式的概念与识别【例1】式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【变式1-1】在下面的式子中，不等式有（

）①；②；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个题型二题型二根据不等式的基本性质判断变形正误【例2】若，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【变式2-1】下列不等式运算不一定正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【变式2-2】若，且c为实数，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．题型三题型三一元一次不等式的概念由于识别【例3】下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【变式3-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【变式3-2】下列各式中是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．题型四题型四根据一元一次不等式的概念求参数【例4】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（

）A．4 B． C．3 D．【变式4-1】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______．【变式4-2】若是关于的一元一次不等式，则______．题型五题型五一元一次不等式的解法【例5】解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上．【变式5-1】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．(1)； (2)．【变式5-2】下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：去分母，得第一步去括号，得第二步移项，合并同类项，得第三步两边同时除以，得第四步任务一：(1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________；任务二：(2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．题型六题型六一元一次不等式的整数解问题【例6】求不等式的最小整数解．【变式6-1】整式．(1)当时，求M的值；(2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解．【变式6-2】求不等式的正整数解．题型七题型七用数轴表示不等式的解集问题【例7】在数轴上表示不等式的解集正确的是（

）A． B．C． D．【变式7-1】把不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【变式7-2】不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（）A． B．C． D．题型八题型八根据不等式的解集求参数的值或范围【例8】若不等式的解集为，则m必须满足_______．【变式8-1】若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______．【变式8-2】若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________．题型九题型九一元一次不等式组的解法【例9】求不等式组的所有整数解．解：解不等式①，得___________，解不等式②，得___________，将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示：不等式组的解集为___________．整数解为___________．【变式9-1】解不等式组：【变式9-2】解不等式组：题型十题型十根据不等式组的解集求参数的值或范围【例10】若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式10-1】关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式10-2】若不等式组的解集为，则的值是__________．题型十一题型十一不等式组与方程组的综合问题【例11】若方程组的解，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式11-1】已知关于，的方程组的解满足以下条件：(1)若，求的值；(2)若为非正数，为负数，求的取值范围．【变式11-2】已知关于的方程组．(1)若该方程组的解满足，求的值；(2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围．(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值．题型十二题型十二不等式（组）的实际应用【例12】某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元(1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？(2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？【变式12-1】为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元．(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？【变式12-2】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．(1)若①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h(2)已知两车在P处相遇．①若P与N重合，求V的值；②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题（本题共10小题）1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．若，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．3．下列不等式是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．4．在数轴上表示不等式的解集正确的是（

）A． B．C． D．5．不等式的负整数解的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．下列是一元一次不等式组的是（

）A． B．C． D．7．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（

）A． B．12 C． D．9．若方程组的解，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（）A． B．C． D．二、填空题（本题共6小题）11．若是关于的一元一次不等式，则值为________．12．写出不等式的一个负整数解：________．13．已知不等式组的解集是，则的值为_______．14．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________．15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________．16．按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______．三、解答题（本题共4小题）17．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．(1)； (2)．18．解不等式组：(1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来．19．已知关于，的方程组的解满足以下条件：(1)若，求的值；(2)若为非正数，为负数，求的取值范围．20．某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元(1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元；(2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题（本题共10小题）1．下列按要求列出的不等式中，正确的是（

）A．不是负数，即 B．不大于3，即C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即2．下列各式中，是不等式的是（

）A． B． C． D．3．若，则下列各式中，错误的是（

）A． B． C． D．4．若，且，则的最小整数值为（

）A．0 B．1 C．2 D．35．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．6．已知整数满足，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．7．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．若方程组的解，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（

）A． B．C． D．10．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种二、填空题（本题共6小题）11．若是关于的一元一次不等式，则的值为_________．12．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______．13．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________．14．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________．15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________．16．某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．三、解答题（本题共4小题）17．解不等式：(1) (2)18．解不等式组，并把其解集表示在数轴上．(1)． (2)．19．关于，的方程组且，满足．(1)求的取值范围；(2)已知，求的取值范围．20．方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题：某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？

第十一章一元一次不等式（复习讲义）1.理解不等式、不等式的解集的概念，会用数轴表示不等式的解集；2.掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法；3.会运用一元一次不等式和不等式组解决简单的实际问题。知识点重点归纳常见易错点不等式的概念及性质1.不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。2.不等式的解集：满足不等式的所有解的全体叫做不等式的解集。3.用数轴表示不等式的解集方法：x>ax<ax≥ax≤a4.不等式的基本性质：（1）不等式的传递性：如果a>b,b>c,那么a>c.如果a<b,b<c,那么a<c.（2）基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变.可以用符号表示为:如果a>b,那么a±c>b±c.（3）基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

可以用符号表示为:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或ac如果a>b,c<0,那么ac<bc(或ac不等式的定义中并没有要求不等式中一定含有未知数，所以像1<2这样的式子也是不等式。注意不等式与方程概念的区别，不要受方程概念的影响。不等式的基本性质与等式的基本性质有相似的地方，也有不同的地方，特别要注意基本性质2关于两边同乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变，这也是解不等式时最易错的一个地方。一元一次不等式1.一元一次不等式的定义：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1.2.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似）（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。（此步骤最易错）一元一次不等式需要满足三个要求，①不等式两边都是整式、②只含有一个未知数、③未知数的次数为1.，其中第一个要求最容易被忽略，就是要求不等式两边都是整式，也就是说未知数不能在分母中，所以这个不等式不是一元一次不等式，实际上1x=x-1可以看出这个其实是x的一元一次不等式组1.一元一次不等式组定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组。2.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集.3.不等式组的解集求法及口诀：口诀：同大取大同小取小大小小大中间找无解大大小小无处找不等式组的解法就相当于解多个不等式，关键步骤是求几个不等式解集的公共部分，可以借助数轴方便地求解公共部分，也可以借助口诀来求解，但如果出现三个或三个以上的不等式求公共解集时，最好利用数轴。不等式（组）的应用运用一元一次不等式（组）解决实际问题解题一般步骤：（1）审题：找出题目中的关于表示不等关系得关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等；（2）设元：根据需要设出适当的未知数；（3）列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组；（4）求解：解出不等式（组）的解集；（5）检验：检验解集是否符合题意和实际生活；（6）写答：写出答案。利用一元一次不等式或不等式组求解与生活实际相关的问题时，一定要检验所得的解或解集是否符合题意和生活实际，例如课本第136页例题3中就是这种情况，一定要注意。题型题型一不等式的概念与识别【例1】式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数．【详解】解：①用不等号连接，是不等式；②用不等号连接，是不等式；③用不等号连接，是不等式；④是代数式，没有不等号连接，不是不等式；⑤用不等号连接，是不等式；符合不等式定义的式子共有个．【变式1-1】在下面的式子中，不等式有（

）①；②；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等．【详解】解：①含有不等号，是不等式；②含有不等号，是不等式；③是等式，不含不等号，不是不等式；④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式；⑤含有不等号，是不等式；所以共有3个不等式．【变式1-2】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：∵不等式需含有不等号，∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式．而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式．∴共有个不等式.故选：B．题型二题型二根据不等式的基本性质判断变形正误【例2】若，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意，由得，则B成立，不符合题意，若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意，若，当时，，则D不一定成立，符合题意．【变式2-1】下列不等式运算不一定正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】C【详解】解：A、∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，A运算正确；B、∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，B运算正确；C、题中未说明的取值，当时，，当时，由可得，因此不一定成立，C运算不一定正确；D、∵，∴，又∵，∴，∴，D运算正确．【变式2-2】若，且c为实数，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：、∵，∴或或，故A不符合题意；B、∵，，∴，故B符合题意；C、∵，∴，故C不符合题意；D、∵，∴或或，故D不符合题意．题型三题型三一元一次不等式的概念由于识别【例3】下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式．【详解】解：A．含有两个未知数，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求；B．中未知数的最高次数是2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求；C．含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求；D．只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边都是整式，满足一元一次不等式的定义，符合要求．【变式3-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可．【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意，B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意，C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意，D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意．【变式3-2】下列各式中是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可．【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式；B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式；C、，没有不等号，故不是一元一次不等式；D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式；故选：A．题型四题型四根据一元一次不等式的概念求参数【例4】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（

）A．4 B． C．3 D．【答案】A【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的“未知数次数为1且系数不为0”这两个条件列方程与不等式求解．根据一元一次不等式的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为零得到关于的方程求解即可．【详解】∵不等式是关于x的一元一次不等式，∴x的指数，且系数，解，得，即或，又∵，即，∴．故选A．【变式4-1】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______．【答案】0【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解．【详解】解：由题意，得且，解，得或，当时，，不符合题意；当时，，符合题意．【变式4-2】若是关于的一元一次不等式，则______．【答案】【分析】根据一元一次不等式的概念即可求解．【详解】解：由题意可知，，则题型五题型五一元一次不等式的解法【例5】解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上．【答案】；数轴见解析【分析】根据解不等式的步骤得到不等式的解集，在数轴上表示出来即可．【详解】解：不等式两边同乘6得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，在数轴上表示为：．【变式5-1】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．(1)； (2)．【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可；（2）根据解不等式的基本步骤求解即可．【详解】（1）解：，去括号，得．移项，合并同类项，得．用数轴表示为：（2）解：，去分母，得．去括号，得．移项，合并同类项，得．系数化为1，得，用数轴表示为：【变式5-2】下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：去分母，得第一步去括号，得第二步移项，合并同类项，得第三步两边同时除以，得第四步任务一：(1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________；任务二：(2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】(1)二；去括号时符号错误(2)，图见解析【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可；（2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可．【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是；（2）解：去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，两边同时除以，得：．解集在数轴上表示如下图所示：题型六题型六一元一次不等式的整数解问题【例6】求不等式的最小整数解．【答案】不等式的最小整数解为【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可．【详解】解：，，，，；故不等式的最小整数解为．【变式6-1】整式．(1)当时，求M的值；(2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解．【答案】(1)(2)，【分析】（1）把代入代数式中进行计算即可；（2）根据数轴列出的不等式进行解答即可．【详解】（1）解：把代入得：；（2）解：由数轴知，，即，解得，∵为负整数，，．【变式6-2】求不等式的正整数解．【答案】正整数解为，．【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：，∴正整数解为，．题型七题型七用数轴表示不等式的解集问题【例7】在数轴上表示不等式的解集正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出来．【详解】解：，得表示在数轴上如图所示【变式7-1】把不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可．【详解】解：，∴在数轴上表示为：∴选项符合题意．【变式7-2】不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集．【详解】解：，，解得，∴不等式的解集为，数轴表示为：．题型八题型八根据不等式的解集求参数的值或范围【例8】若不等式的解集为，则m必须满足_______．【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：由题意可得，，∵不等式的解集为，∴不等式的两边同时除以时，不等号方向发生了改变，∴，∴．【变式8-1】若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______．【答案】【分析】根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围．【详解】解：不等式可化为，，解得：．【变式8-2】若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据不等式的解集得出，解答即可．【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集为，即关于的一元一次不等式的解集为，∴，解得：．题型九题型九一元一次不等式组的解法【例9】求不等式组的所有整数解．解：解不等式①，得___________，解不等式②，得___________，将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示：不等式组的解集为___________．整数解为___________．【答案】，，图见解析，，或或或或【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示：不等式组的解集为．整数解为或或或或．【变式9-1】解不等式组：【答案】【分析】先求解两个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可解答．【详解】解：解不等式①，得解不等式②，得∴不等式组的解集为．【变式9-2】解不等式组：【答案】【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，因此，原不等式组的解为．题型十题型十根据不等式组的解集求参数的值或范围【例10】若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍．【详解】解∵不等式组恰有3个整数解，∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0，∴．【变式10-1】关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出的取值范围．【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解，∴两个不等式的解集没有公共部分，若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x，∴的取值范围是，故选：A.【变式10-2】若不等式组的解集为，则的值是__________．【答案】【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果．【详解】解：解不等式①得：解不等式②：得因此不等式组的解集为不等式组的解集为，解得，．题型十一题型十一不等式组与方程组的综合问题【例11】若方程组的解，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围．【详解】解：，∴，∴，∴，∵，∴∴，解得：．故选：B．【变式11-1】已知关于，的方程组的解满足以下条件：(1)若，求的值；(2)若为非正数，为负数，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值；（2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可．【详解】（1）解：，得，，，，，；（2）解：，得，，，将代入得，，，为非正数，为负数，，解得．【变式11-2】已知关于的方程组．(1)若该方程组的解满足，求的值；(2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围．(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值．【答案】(1)(2)(3)0【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解；（2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案；（3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解．【详解】（1）解：，由得：，∴，得：，∴，∵该方程组的解满足，∴，∴；（2）由（1）得：，∵该方程组的解满足为正数，为负数，∴，解得：；（3）解：∵，∴，∵不等式的解为，∴，解得：，由（2）可得，∴，∴的整数值为0．题型十二题型十二不等式（组）的实际应用【例12】某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元(1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？(2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？【答案】(1)甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元(2)甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可；（2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量．【详解】（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元根据题意可得解得，答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元；（2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得：，解得，因为是正整数，所以，则，答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副．【变式12-1】为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元．(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元(2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价；（2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案．【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元．根据题意得解得答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元．（2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本．∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元，∴解不等式，得．解不等式，得，即．解不等式得，．∴不等式组的解集为．∵为正整数，∴的取值为．答：学校共有6种购买方案，分别是：方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本．【变式12-2】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．(1)若①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h(2)已知两车在P处相遇．①若P与N重合，求V的值；②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．【答案】(1)①M，N；②(2)①，②或【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间；①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果．本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键．【详解】（1）解：①依题意，，，，，甲车从A地出发，始终以的速度行驶，甲车2小时共行驶了，甲车出发2小时，行至M处，乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶，乙车共行驶了，乙车行至N处，故答案为：M，N；②甲车行至的中点时，所用时间为：，此时乙车行驶所用时间：，故答案为：；（2）①两车在P处相遇，P与N重合，甲车所用时间为，此时乙车所用时间为，乙车的速度为；②P在非施工道路上不与M，N重合，若P在上，设甲的行驶时间为t，则，此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，，，，解得，限速为，，若P在上，设甲的行驶时间为t，，则，此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，，，，解得，限速为，，综上所述或．基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题（本题共10小题）1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案．【详解】解：①使用不等号连接，是不等式．②使用等号连接，是等式，不是不等式．③使用不等号连接，是不等式．④是多项式，没有不等号连接，不是不等式．不等式共有个．2．若，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到答案．【详解】解：∵∴，，，，∴A错误，B正确，C错误，D错误．3．下列不等式是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求；B、不是一元一次不等式，不符合要求；C、不是一元一次不等式，不符合要求；D、不是一元一次不等式，不符合要求；4．在数轴上表示不等式的解集正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出来．【详解】解：，得表示在数轴上如图所示5．不等式的负整数解的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的负整数，统计个数即可得到结果．【详解】解：移项得，合并同类项得，系数化为得，∴不等式的负整数解为，共个．6．下列是一元一次不等式组的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案．【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意；B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意；C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意；D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意；故选：C．7．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围．【详解】解：，解不等式得∶，解不等式得∶，∵不等式组的解集是，∴，8．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】先求解不等式得到x关于a的解集，再根据正整数解只有1，2，3确定的取值范围，即可求出a的范围．【详解】解：解不等式，得∵不等式的正整数只有1,2,3∴最大正整数解为3，且4不是该不等式的解解得．9．若方程组的解，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围．【详解】解：，∴，∴，∴，∵，∴∴，解得：．故选：B．10．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个，由题意得，故选：C．二、填空题（本题共6小题）11．若是关于的一元一次不等式，则值为________．【答案】0【分析】根据一元一次不等式的定义可得，的次数等于，且的系数不为，据此列等式和不等式求解即可．【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，∴且，解得：，验证：当时，，即符合条件．12．写出不等式的一个负整数解：________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求解不等式得到解集，再从中找出符合要求的负整数解即可．【详解】解：，，不等式的负整数解为，，．13．已知不等式组的解集是，则的值为_______．【答案】1【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到含a，b的解集，结合已知解集求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，∵不等式组的解集是，∴，∴，∴．14．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：，由①②得：，即，∵，∴，解得，故答案为：．15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组．【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为：．故答案为：．16．按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意求出四次的操作结果，再根据题意列不等式组解答即可求解．【详解】解：由程序可得，第一次的操作结果为，第二次的操作结果为，第三次的操作结果为，第四次的操作结果为，∵操作四次才停止，∴，解得，即的取值范围是．三、解答题（本题共4小题）17．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．(1)；(2)．【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可；（2）根据解不等式的基本步骤求解即可．【详解】（1）解：，去括号，得．移项，合并同类项，得．用数轴表示为：（2）解：，去分母，得．去括号，得．移项，合并同类项，得．系数化为1，得，用数轴表示为：18．解不等式组：(1)；(2)，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】(1)无解；(2)，数轴见解析【详解】（1）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∵，∴不等式组无解；（2）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集是，在数轴上表示为：19．已知关于，的方程组的解满足以下条件：(1)若，求的值；(2)若为非正数，为负数，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值；（2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可．【详解】（1）解：，得，，，，，；（2）解：，得，，，将代入得，，，为非正数，为负数，，解得．20．某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元(1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元；(2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？【答案】(1)A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元；(2)最多可购买B型一体机12台．【分析】（1）设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可；（2）设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，根据题意列出不等式，据此求解即可．【详解】（1）解：设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，依题意，得：，解得：．答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元；（2）解：设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，依题意，得：，解得：．为整数，的最大值为12．答：最多可购买B型一体机12台．能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题（本题共10小题）1．下列按要求列出的不等式中，正确的是（

）A．不是负数，即 B．不大于3，即C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即【答案】C【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键；根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较．【详解】解：A、a不是负数表示,但选项为，错误，不符合题意；B、x不大于3表示，但选项为，错误，不符合题意；C、x与4的和是负数表示，与选项一致，正确，符合题意；D、x与3的差是非负数表示,但选项为，错误，不符合题意．故选：C．2．下列各式中，是不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键．【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意；B、是代数表达式，无不等号，不符合题意；C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意；D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意；故选：A．3．若，则下列各式中，错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质，逐项判定即可．【详解】，，故A正确，不符合题意；，，故B错误，符合题意；，，故C正确，不符合题意；，，故D正确，不符合题意．4．若，且，则的最小整数值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴的最小整数值为2．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集为，解集在数轴上表示为，∴选项符合题意．6．已知整数满足，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】由题意易得，然后可得，则根据“a、b为整数”可得，进而问题可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵a、b为整数，∴，∴．7．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可．【详解】解：解不等式移项得合并同类项得系数化为得不等式组的解集是．8．若方程组的解，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围．【详解】解：，∴，∴，∴，∵，∴∴，解得：．故选：B．9．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个