2026年考研英语数学一概率论真题训练卷

2026年考研英语数学一概率论真题训练卷考试时间：120分钟满分：100分一、单选题1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其期望值E(X)为多少？A.1B.λC.2λD.λ^22.在等可能抽取的三个数中，至少有两个数相同的概率是多少？A.1/3B.2/3C.1/2D.3/43.设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(0,1)，Y服从参数为λ的泊松分布，则E(X+Y)等于多少？A.1B.λC.1+λD.04.在连续型随机变量中，如果随机变量X的分布函数F(x)在x处连续，那么X的分布函数在x处的值是多少？A.F(x)-1B.F(x)C.F(x+1)D.F(x)-0.55.已知随机变量X的方差D(X)为4，则X的平方的方差D(X^2)是多少？A.16B.8C.2D.1/46.在掷一枚公平的六面骰子时，至少掷出两次6点的事件的概率是多少？A.1/6B.5/6C.1/36D.5/367.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则P(X≤-1)等于多少？A.0.1587B.0.8413C.0.5D.18.设随机变量X和Y独立同分布，且X的分布函数F(x)已知，则Y的分布函数G(y)是多少？A.F(y)B.F(-y)C.1-F(-y)D.F(y)-19.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的指数分布，Y服从参数为μ的指数分布，则X+Y的分布函数F(x+y)是多少？A.1-e^-(λ+μ)(x+y)B.e^-(λ+μ)(x+y)C.1-e^-(λ+μ)x*e^-(λ+μ)yD.e^-(λ+μ)x*e^-(λ+μ)y10.设随机变量X和Y相互独立，且X的分布函数F(x)已知，Y的分布函数G(y)已知，则X和Y的联合分布函数F(x,y)是多少？A.F(x)G(y)B.F(x+y)C.F(x)+G(y)D.F(x)G(-y)二、多选题1.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的泊松分布，Y服从参数为μ的指数分布，则以下哪些说法是正确的？A.P(X+Y=1)=P(X=0)P(Y=1)B.P(X+Y=1)=P(X=1)P(Y=0)C.P(X+Y=1)=P(X=0)P(Y=0)D.P(X+Y=1)=P(X=1)P(Y=1)E.P(X+Y=1)=P(X=0)+P(Y=1)2.在下列哪些情况下，随机变量X和Y是独立的？A.X和Y都是离散型随机变量，且它们的分布函数分别为F_X(x)和F_Y(y)B.X和Y都是连续型随机变量，且它们的概率密度函数分别为f_X(x)和f_Y(y)C.X和Y都是离散型随机变量，且它们的联合分布律为P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)D.X和Y都是连续型随机变量，且它们的联合概率密度函数为f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)E.X和Y都是离散型随机变量，且它们的联合分布律为P(X=x,Y=y)=P(X=x)+P(Y=y)3.设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，以下哪些说法是正确的？A.E(X)=npB.Var(X)=np(1-p)C.P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)D.P(X=k)=C(n,k)p^kE.P(X=k)=C(n,k)(1-p)^k4.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)，以下哪些说法是正确的？A.f(x,y)=0对所有x和y成立B.f(x,y)≥0对所有x和y成立C.∫∫f(x,y)dxdy=1D.f(x,y)=0当x<0或y<0E.f(x,y)=0当x>0或y>05.设随机变量X和Y的联合分布函数为F(x,y)，以下哪些说法是正确的？A.F(x,y)是单调不减的B.F(x,y)在整个平面上是连续的C.F(x,y)的偏导数存在且连续D.F(x,y)=0当x<0或y<0E.F(x,y)=1当x>0或y>0三、判断题1.随机事件的概率总和等于1。（）2.在二项分布中，n增加，p减小，则方差增大。（）3.大数定律保证了一组随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而接近理论概率。（）4.连续型随机变量的概率密度函数可以大于0也可以等于0。（）5.如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的和Z也一定独立。（）四、填空题1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(X=2)=______；P(X≥3)=______；E(X)=______；D(X)=______；2.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(μ_X,σ_X^2)，Y~N(μ_Y,σ_Y^2)，则X+Y的分布为______；E(X+Y)=______；D(X+Y)=______；3.设随机变量X和Y独立同分布，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则P(X>Y)=______；P(X≤Y)=______；P(X<Y)=______；4.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为n的卡方分布，则X+Y的分布为______；E(X+Y)=______；D(X+Y)=______；5.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为p的伯努利分布，则P(X=1,Y=0)=______；P(X=0,Y=1)=______；P(X=1,Y=1)=______；五、计算题1.某城市居民购买某种品牌手机的概率为0.3，不购买的概率为0.4。现在随机抽取3位居民，求这3人中恰好有1人购买该品牌手机的概率。2.一个班级有40名学生，其中有30名学生参加了数学竞赛。如果随机抽取5名学生，求这5名学生中至少有3名参加了数学竞赛的概率。3.某城市每天发生交通事故的概率为0.005。假设一天内任意时刻发生交通事故的事件是独立的，求一天内至少发生一次交通事故的概率。4.某工厂生产的电子元件中，良品率为0.95。从生产线上随机抽取10个电子元件，求其中恰好有2个次品的概率。5.一个袋子里有5个红球和7个蓝球，随机从袋子中取出3个球，求取出的3个球中有2个红球和1个蓝球的概率。参考答案单选题1.B泊松分布的期望值E(X)等于其参数λ。2.B等可能抽取的三个数中，有3种情况是两个数相同，6种情况是三个数都不同，总共有9种情况，所以概率为2/3。3.C由于X和Y相互独立，所以E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+λ=λ。4.B连续型随机变量的分布函数在其定义域内是连续的，所以F(x)在x处的值就是F(x)。5.AD(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=D(X^2)+[E(X)]^4=4+0^4=4。6.D至少掷出两次6点的概率为1减去一次也不掷出6点的概率，即1-(5/6)^3=5/36。7.A标准正态分布的累积分布函数值在-1处为0.1587。8.C由于X和Y独立同分布，Y的分布函数为1-F(-y)。9.AX和Y独立同分布，所以X+Y的分布函数为1-e^-(λ+μ)(x+y)。10.AX和Y独立，所以X和Y的联合分布函数为F(x)G(y)。多选题1.AB由于X和Y相互独立，P(X+Y=1)=P(X=0)P(Y=1)和P(X=1)P(Y=0)都是正确的。2.CD选项C和D符合独立随机变量的定义。3.ABC选项A、B和C是二项分布的基本性质。4.BCE选项B、C和E是联合概率密度函数的基本性质。5.ABD选项A、B和D是联合分布函数的基本性质。判断题1.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。2.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。3.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。4.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。5.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。填空题1.λ^2/2!；1-λ^2/(e^λ)；λ；λ泊松分布的公式为P(X=k)=λ^k/(k!)*e^(-λ)，其中k为非负整数。根据泊松分布的性质，P(X≥3)=1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))。期望E(X)=λ，方差D(X)=λ。2.N(μ_X+μ_Y,σ_X^2+σ_Y^2)；μ_X+μ_Y；σ_X^2+σ_Y^2对于两个独立的正态分布随机变量X和Y，它们的和也是一个正态分布，其均值是两个随机变量均值的和，方差是两个随机变量方差的和。3.1/2；1/2；1/4由于X和Y独立同分布，且都服从[0,1]上的均匀分布，因此P(X>Y)=1/2，P(X≤Y)=1/2，P(X<Y)=1/2。4.χ^2(2n)；2n；2n对于两个独立的卡方分布随机变量X和Y，它们的和也是一个卡方分布，其自由度为两个随机变量自由度的和。卡方分布的期望和方差与自由度有关。5.p(1-p)；p(1-p)；p^2对于两个独立的伯努利分布随机变量X和Y，它们的和也是一个伯努利分布，其概率由两个随机变量的概率相乘得到。计算题1.P=C(3,1)*0.3*0.7^2=0.441根据题目条件，这是一个二项分布问题，其中n=3，p=0.3，q=0.7。使用二项分布公式计算概率。2.P=0.541这是一个超几何分布问题，其中N=40，K=30，n=5。使用超几何分布公式计算概率。3.