2026-2027学年济南商河县实验中学九年级9月份数学月考考试试题以及答案

九年级数学月考考试试题（2026.9）（满分150分时间120分钟）一、选择题（每题4分，共40分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.

3x+52=0B.

x2+5y=3C.3x+x=7D.

x22.一元二次方程

x2+6x−7=0配方后可变形为（）

A.

(x+3)2=4B.

(x+3)2=16C.

(x−3)2=16D.

(x+3)2=73.把等式

7x=9y，写成比例式，其中错误的是（）

A.7y=9x​B.xy=97C.y9=x4.如图，四边形

ABCD

是平行四边形，下列结论中错误的是（）A.当

∠ABC=90∘，平行四边形ABCD是矩形

B.当

AC=BD，平行四边形ABCD是矩形

C.当

AB=BC，平行四边形ABCD是菱形

D.当

AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形5.已知关于

x的一元二次方程

mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m

的取值范围是（）

A.

m>−1且

m≠0B.

m<1且

m≠0C.

m<−1D.

m>16.根据下面表格中的对应值：

判断方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解

x

的范围是（）

A.

3.22<x<3.23B.

3.23<x<3.24C.

3.24<x<3.25D.

3.25<x<3.267.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛。设比赛组织者应邀请

x

个队参赛，则

x

满足的关系式为（）

A.

x(x+1)=28B.12x(x−1)=28C.

x(x−1)=28D.

128.如图，在矩形

ABCD

中，AB=5cm，在边

CD上适当选定一点E，沿直线

AE把

△ADE折叠，使点

D恰好落在边

BC上一点

F

处，且

△ABF的面积是

30cm2，则

CE

的长为（）A.512B.125C.2​9.如图，菱形

ABCD的对角线

AC，BD

相交于点O，过点A

作

AE⊥BC于点

E，连接

OE。若

OB=6，菱形

ABCD的面积为54，则

OE

的长为（）A.

4B.

4.5C.

5D.

5.510.如图，边长为

22的正方形

ABCD，对角线

AC,BD相交于点O，点

E

为

BC边上一动点（不与点

B，点

C重合），OF⊥OE交

CD于点

F，点

G

为

EF中点。给出如下四个结论：①

∠OEF=45∘；②点

E在运动过程中，△OEF面积不变；③

△CEF周长的最小值为

2+22；④点

E

在运动过程中，当

OG=FC时，∠EFC=60∘。其中正确的结论是（）A.①③B.②③C.①④D.①③④二、填空题（每题4分，共20分）11.已知ba=32，则a+bb12.如图，在矩形

ABCD中，AD=10，AB=6，E为

BC上的一点，ED平分

∠AEC，则

CE的长为。13.如图，四边形

ABCD的两条对角线

AC,BD互相垂直，A1,B1,C1,D1是四边形

ABCD各边的中点，如果

AC=8,BD=10，那么四边形

A1B1C1D1的面积为。14.如图，在矩形

ABCD中，AB=6，BC=8，P是

AD上的动点，PE⊥AC于

E，PF⊥BD于

F，则

PE+PF的值是。15.如图，在正方形

ABCD中，点

E,F分别在

BC,CD上，连接

AE,AF,EF，∠EAF=45∘。若

∠BAE=α，则

∠EFC一定等于。三、解答题（本题共9道大题，共90分）16.解下列一元二次方程：

（1）2x2=32；（2）x2+6x+4=0；（3）4(x2−x)=−1；

（4）2x2−x+1=0；（5）(x−1)2=3x−3；（6）x2−5x−6=0。17.如图，∠B=∠D，∠1=∠2。求证：△ABC∽△ADE。18.如图，矩形

ABCD的对角线

AC,BD交于点O，∠AOB=60∘，AB=3，求

BD

的长。19.如图，有一矩形花坛，其长为

30m、宽为

20m，在其中修互相垂直的两条等宽小道，若剩余面积为

551m2，小道的宽为多少米？20.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边

AB,CD的中点，连接

DE,BF,BD。

（1）求证：△ADE≌△CBF。

（2）若

AD⊥BD，则四边形

BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。21.已知关于

x的一元二次方程

x2+2(m−1)x+m2−2=0有两个不相等的实数根

x1,x2。

（1）求

m

的取值范围。

（2）若

x12+x22−x1x2=3，求

m

的值。22.商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同。

（1）求该商品销售量的月增长率；

（2）该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？23.已知：如图，在

△ABC

中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm。点

P

从点

A

开始沿

AB

边向点

B以

1cm/s的速度移动，同时点

Q

从点

B

开始沿

BC

边向点

C

以

2cm/s的速度移动。当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为

t

秒。

（1）请用含

t的代数式表示

PB,BQ的值，PB=__________，BQ=

__________；

（2）求几秒后，△PBQ的面积等于

6cm2？

（3）P,Q在运动过程中，是否存在时间

t，使得

△PBQ的面积最大，若存在求出时间

t

和最大面积，若不存在，说明理由。24.如图（1），四边形

ABCD为正方形，E为对角线

AC

上一点，连接

DE,BE。

（1）求证：BE=DE；

（2）如图（2），过点

E

作

EF⊥DE，交边

BC

于点

F，以

DE,EF为邻边作矩形

DEFG，连接

CG。

①求证：矩形

DEFG是正方形；

②若正方形

ABCD的边长为9，CG=32，求正方形

DEFG的边长。答案一、选择题（每题4分，共40分）1.下列方程中是一元二次方程的是（D）

A.

3x+52=0B.

x2+5y=3C.3x+x=7D.

x22.一元二次方程

x2+6x−7=0配方后可变形为（B）

A.

(x+3)2=4B.

(x+3)2=16C.

(x−3)2=16D.

(x+3)2=73.C把等式

7x=9y，写成比例式，其中错误的是（C）

A.7y=9x​B.xy=97C.y9=x4.如图，四边形

ABCD

是平行四边形，下列结论中错误的是（D）A.当

∠ABC=90∘，平行四边形ABCD是矩形

B.当

AC=BD，平行四边形ABCD是矩形

C.当

AB=BC，平行四边形ABCD是菱形

D.当

AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形5.已知关于

x的一元二次方程

mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m

的取值范围是（A）

A.

m>−1且

m≠0B.

m<1且

m≠0C.

m<−1D.

m>16.根据下面表格中的对应值：

判断方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解

x

的范围是（C）

A.

3.22<x<3.23B.

3.23<x<3.24C.

3.24<x<3.25D.

3.25<x<3.267.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛。设比赛组织者应邀请

x

个队参赛，则

x

满足的关系式为（B）

A.

x(x+1)=28B.12x(x−1)=28C.

x(x−1)=28D.

128.如图，在矩形

ABCD

中，AB=5cm，在边

CD上适当选定一点E，沿直线

AE把

△ADE折叠，使点

D恰好落在边

BC上一点

FF

处，且

△ABF的面积是

30cm2，则

CE

的长为（B）A.512B.125C.2​9.如图，菱形

ABCD的对角线

AC，BD

相交于点O，过点A

作

AE⊥BC于点

E，连接

OE。若

OB=6，菱形

ABCD的面积为54，则

OE

的长为（B）A.

4B.

4.5C.

5D.

5.510.如图，边长为

22的正方形

ABCD，对角线

AC,BD相交于点O，点

E

为

BC边上一动点（不与点

B，点

C重合），OF⊥OE交

CD于点

F，点

G

为

EF中点。给出如下四个结论：①

∠OEF=45∘；②点

E在运动过程中，△OEF面积不变；③

△CEF周长的最小值为

2+22；④点

E

在运动过程中，当

OG=FC时，∠EFC=60∘。其中正确的结论是（D）A.①③B.②③C.①④D.①③④二、填空题（每题4分，共20分）11.已知ba=32，则a+bb=12.如图，在矩形

ABCD中，AD=10，AB=6，E为

BC上的一点，ED平分

∠AEC，则

CE的长为2。13.如图，四边形

ABCD的两条对角线

AC,BD互相垂直，A1,B1,C1,D1是四边形

ABCD各边的中点，如果

AC=8,BD=10，那么四边形

A1B1C1D1的面积为20。14.如图，在矩形

ABCD中，AB=6，BC=8，P是

AD上的动点，PE⊥AC于

E，PF⊥BD于

F，则

PE+PF的值是24515.如图，在正方形

ABCD中，点

E,F分别在

BC,CD上，连接

AE,AF,EF，∠EAF=45∘。若

∠BAE=α，则

∠EFC一定等于90°﹣2α。三、解答题（本题共9道大题，共90分）16.解下列一元二次方程：

（1）2x2=32；（2）x2+6x+4=0；（3）4(x2−x)=−1；

解：x2=16解：（x+3）2=5解：（2x﹣1）2=0x1=4，x2=﹣4x+3=±5x1=x2=1x1=﹣3+5，x2=﹣3﹣5（4）2x2−x+1=0；（5）(x−1)2=3x−3；（6）x2−5x−6=0。解：∵b2﹣4ac=1﹣8=﹣7＜0解：x2﹣5x+4=0解：（x﹣6）（x+1）=0此方程无解（x﹣1）（x﹣4）=0x1=6，x2=﹣1x1=1，x2=417.如图，∠B=∠D，∠1=∠2。求证：△ABC∽△ADE。证明：∵∠1=∠2

∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD

即∠BAC=∠DAE

又∵∠B=∠D

∴△ABC∽△ADE18.如图，矩形

ABCD的对角线

AC,BD交于点O，∠AOB=60∘，AB=3，求

BD

的长。解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO=12BD，

又∵∠AOB=60°，

∴△AOB为等边三角形，

∴BO=AB=3，

19.如图，有一矩形花坛，其长为

30m、宽为

20m，在其中修互相垂直的两条等宽小道，若剩余面积为

551m2，小道的宽为多少米？解：设小道的宽为xm，则剩余部分可合成长为(30-x)m，宽为(20-x)m的矩形，

根据题意得：(30-x)(20-x)=551，

整理得：x²-50x+49=0，

解得：x₁=1，x₂=49(不符合题意，舍去)。

答：小道的宽为1米。20.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边

AB,CD的中点，连接

DE,BF,BD。

（1）求证：△ADE≌△CBF。

（2）若

AD⊥BD，则四边形

BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。(1)

证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD。

∵E，F分别为AB，CD的中点，

∴AE=CF。

在△ADE和△CBF中，AD=CB∠A=∠CAE=CF(2)

解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形。

证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°。

∵E是AB的中点，

∴DE=12AB=BE。

∵在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，

∴EB//DF且EB=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形。

又∵DE=BE，

21.已知关于

x的一元二次方程

x2+2(m−1)x+m2−2=0有两个不相等的实数根

x1,x2。

（1）求

m

的取值范围。

（2）若

x12+x22−x1x2=3，求

m

的值。解：(1)∵关于x的一元二次方程x²+(2m-2)x+m²-2=0有两个不相等的实数根x₁，x₂。

∴Δ=(2m-2)²-4×1×(m²-2)>0，

解得：m<32(2)∵x₁和x₂是一元二次方程x²+(2m-2)x+m²-2=0的两根，

∴x₁+x₂=2-2m，x₁x₂=m²-2，

∵x₁²+x₂²-x₁x₂=3，

∴(2-2m)²-3m²+6=3.

∴m²-8m+7=0，

解得：m₁=7，m₂=1，

∵m<32，

22.商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同。

（1）求该商品销售量的月增长率；

（2）该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？解：(1)设该商品销售量的月增长率为x，

依题意得：150(1+x)²=216，

解得：x₁=0.2=20%，x₂=-2.2(不合题意，舍去)，

答：该商品销售量的月增长率为20%；(2)设售价应定为y元，则销售量为(400-y﹣585×40)件，

依题意得：(y-48)(400-(y-58)/5×40)=6048，

整理得：y²-156y+5940=0，

23.已知：如图，在

△ABC

中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm。点

P

从点

A

开始沿

AB

边向点

B以

1cm/s的速度移动，同时点

Q

从点

B

开始沿

BC

边向点

C

以

2cm/s的速度移动。当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为

tt

秒。

（1）请用含

t的代数式表示

PB,BQ的值，PB=__________，BQ=

__________；

（2）求几秒后，△PBQ的面积等于

6cm2？

（3）P,Q在运动过程中，是否存在时间

t，使得

△PBQ的面积最大，若存在求出时间

t

和最大面积，若不存在，说明理由。（1）5﹣t2t(2)

解：12×(5-t)×2t=6

(5-t)×2t=12

10t-2t²=12

t²-5t+6=0

(t-2)(t-3)=0

解得t₁=2，t₂=3

(3)

解：设△PBQ的面积为S，

S=12×(5-t)×2t

=-t²+5t

=-(t-52)²+254

∵-1<0，且t=52在0<t≤3.5范围内，

∴当t=52时，S取得最大值254cm²。24.如图（1），四边形

ABCD为正方形，E为对角线

AC

上一点，连接

DE,BE。

（1