北京市第十九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第十九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题一、选择题1.已知全集U=Z，集合A=x∈Z∣−2<x<2,B=−1,0,1,2，则(A.−1,2 B.1 C.0,1 D.22.设复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数zi在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知实数a,b满足a>b，则下列不等式中正确的是(

)A.a>b B.a>b C.a24.已知a=0.40.2，b=20.4，c=loA.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a5.若水以恒速(即单位时间内注入的体积相同)注入如图所示的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数图象是(

)

A. B. C. D.6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=2，C=π3，sinB=2sinA，则A.433 B.2337.已知向量a=(x,1),b=(−1,y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x，yA.a⋅b=0 B.|a|+|b8.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.5mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.3mg/cm3，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为(

)(参考数据：lgA.2 B.3 C.4 D.59.若数列an是存在负数项的无穷等比数列，则“数列an有最小项”是“数列an有最大项”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=1，BC=2，P是线段AB上的动点，则PC+4PD的最小值为(

)

A.35 B.6 C.2二、填空题11.已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn=2n12.已知角α的终边经过点3,4，把角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边，则sinβ=

．13.如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若OC=λOA+μOB，则λ=

；μ=

．14.设函数f(x)=x(x+2),x≤alnx,x>a，

①若a=1，则f(x)的零点的个数为

．

②若f(x)的值域为[−1,+∞)，则实数a的取值范围是

．15.已知函数fx=①函数fx②存在x0>0，使得③函数fx的图象与函数y=④函数fx的极值点个数为3其中所有正确结论的序号是

．三、解答题16.已知{an}是等比数列，满足a2=6，a3=−18，数列{b(1)求数列{an}(2)求数列{bn}的前17.设函数f(x)=Asin2x−2sin2x+1(A>0)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．

(Ⅰ)求A的值；

(Ⅱ)若f(x)在(0,m)上有且仅有两个极大值点，求m的取值范围．

条件①：f(π4)+f(7π12)=0；

条件②：将f(x)的图象向右平移π12个单位长度后所得的图象关于原点对称；

条件③：对于任意的实数x118.已知函数f(x)=x2−aex.曲线y=f(x)(1)求a,k的值；(2)求fx的最小值．19.如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均速度为20公里/小时送快件到C处，已知BD=10公里，∠DCB=450,∠CDB=300，▵ABD是等腰三角形，∠ABD=1200．

(1)试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？(2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车的平均速度为60公里20.已知函数f(x)=aln(x−a)+(I)若f(x)在x=4处取得极大值，求f(4)的值;(II)求f(x)的零点个数．21.已知Am=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m①a②对任意k∈1,2,3,⋯,n，存在i∈1,2,⋯,m,j∈1,2,⋯,m，使得ai,j(1)判断A3=123(2)若Γ2数表A4满足da(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得da1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】2

12.【答案】35

/0.613.【答案】23

；

；

；

；

；；14.【答案】2；[115.【答案】①②③

16.【答案】解：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，

则a2=a1q=6a3=a1q2=−18

解得a1=−2，q=−3，

所以，an=−2×(−3)n−1，

令cn=2bn+an，则17.【答案】解：(Ⅰ)条件①，f(x)=Asin2x+cos2x，

所以f(π4)+f(7π12)=Asinπ2+cosπ2+Asin7π6+cos7π6=0，

所以A−A2−32=0，

解得A=3，

条件②，f(x)=Asin2x+cos2x，

所以f(x)的图象向右平移π12后所得图象关于原点对称，

所以f(−π12)=0，即Asin(−π6)+cos(−π6)=−A2+32=0，

解得A=3，经验证：A=3符合题意，

条件③，18.【答案】(1)f′x依题意，f0=−a=−3f′(2)由(1)得ff′x令f′(x)=0，解得x=−1或3，x,f′(x),fxx(−∞,−1)−1(−1,3)3(3,+∞)f′(x)−0+0−f↘极小值↗极大值↘由表格可知，fx有极小值f因为当x∈(3,+∞)时，fx所以fx最小值为−2e

19.【答案】解：(1)已知：AB=10 (公里)，在△BCD中，

由BDsin45∘=BCsin30∘，

得BC=52(公里)．

于是，由于：10+5220×60≈51.21>50，

快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．

(2)在△ABD中，AD2=102+102−2⋅10⋅10⋅(−12)=300，

得AD=10320.【答案】(1)fx的定义域为a,+∞f′因为4是f(x)的极大值点，所以f′4=0，即4−2a3−a=0当a=2时，当x变化时，f′xx2,333,444,+∞f′+0−0+f↗极大值↘极小值↗此时，4是fx当a=3时，当x变化时，f′xx3,444,666,+∞f′+0−0+f↗极大值↘极小值↗此时4是fx因此a=3，此时f4(2)①当0<a<1时，当x变化时，f′xxa,2a2a2a,a+1a+1a+1,+∞f′+0−0+f↗极大值↘极小值↗f2a=alna−2a又f(4a+2)=aln3a+2>0，因此f(x)因此f(x)的零点个数是1．②当a=1时，对任意x>1,f′(x)≥0，f(x)在(1,+∞)上是增函数，又f(2)=−1<0,f(6)=ln5>0，由零点存在定理知，有因此f(x)的零点个数是1．③当a>1时，当x变化时，f′xxa,a+1a+1a+1,2a2a2a,+∞f′+0−0+f↗极大值↘极小值↗fa+1=−32又f(4a+2)=aln3a+2>0，因此f(x)在2a,+∞因此f(x)的零点个数是1．综上，当a>0时，f(x)的零点个数是1．

21.【答案】解：(1)

A3=1232d((2)由题可知

d(ai,j,a当

ai+1,j=1

时，有

d(所以

ai,j+当

ai+1,j=2

时，有

d(所以

ai,j+所以

a所以

a1,1+a1,2+a2,3+aa2,1+a3,2+aa1,4=1

或

a1,4=2

，

a4,1=1故各数之和

⩾6+3+3+4+4+1+1=22

，当

A4=1111(3)由于

Γ4

数表

A10

中共

100必然存在

k∈1,2,3,4

，使得数表中

k

的个数满足

设第

i

行中

k

的个数为

r当

ri≥2

时，将横向相邻两个

k则该行有

ri−1所以横向有向线段的起点总数

R=设第

j

列中

k

的个数为

cj(j