湖北省新八校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省新八校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i(1+i)(i是虚数单位A.(1,1) B.(−1,−1) C.(1,−1) D.(−1,1)2.若平面α的一个法向量为n=2,1,1，直线l的一个方向向量为m=1,2,−1，则l与αA.π3 B.π6 C.2π33.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，O为A1C1与B1D1的交点，设AB=aA.DO=a−b+12c 4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为13，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为(

)A.1112 B.12 C.565.已知n1=−1,9,1，n2=m,−3,2，n3=A.3 B.5 C.1 D.76.如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω=1,2,3,4,5,6,7,8，记事件A=“得到的点数为偶数”，记事件B=“得到的点数不大于4”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(

)

A.事件B与事件C互斥，事件A与事件C相互对立

B.PABC≠PAPBPC，但事件A，B，C两两独立

C.PABC=PA7.设▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−ab=c2，若角C的内角平分线A.23 B.1 C.43 8.O是空间中任意一点，若互不相等的单位空间向量OPi(i=1,2,3,4)满足|P1PA.(3,4] B.[3,4] C.[3,4) D.(3,4)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据x1,x2,⋯,xn，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为a1,b1,c1,d1。由这组数据得到新样本数据y1,y2,⋯,yn，其中yi=2xi−2026(i=1,2,⋯,n)，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为A.a2=2a1−2026 B.b2=2b1−2026 C.10.已知点O为▵ABC所在平面内一点，且2OA+3OB+4A.AO=13AB+59AC

B.直线AO不过BC边的中点

11.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC=90∘，AB=2DC=2BC=4，E为AB的中点，将▵ADE沿DE折起，使得点A到达点P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE，如图2，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B、C不重合)，F是PC上的动点(与点P、C不重合)，则(

)

A.EM⊥PC

B.EM⊥平面BMN

C.不存在点N，使得平面EMN与平面BCDE的夹角余弦值为26

D.若点H在平面PBE内，当CF=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数−1+3i是关于x的实系数方程x2+2px+q=0的一个根，则实数p的值为

．13.已知向量a，b满足a=2，b=1，a+2b=3,1，则14.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3asinC+ccosA=a+b，且▵ABC的面积为3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知(2c−b)cos(1)求A；(2)若点M在BC上，满足BM=2MC,AM=2，求16.(本小题15分)某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前20%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9；落在70,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在60,80内的平均成绩和方差．(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x1，s12；n，x2，s217.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，PA=AD=6，点M，N分别为棱PB，PD上靠近点P的三等分点，点E在棱AD上，AD=4AE．

(1)求证：直线AM//平面BNE；(2)若AB=43，求直线AM与平面(3)在(2)的条件下，求平面AMN与平面BNE所成的夹角的余弦值．18.(本小题17分)甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局计分规则：①三人手势全部相同：每人各得1分；

②三人只出现两种手势：赢的人得2分，输的人负1分；

③三人三种手势都出现：三人均得0分．当任意一人得分≥4分时游戏结束，得分最高者获胜．已知三人之间及每局游戏之间互不影响．(1)求甲在一局中得−1分的概率P1(2)求游戏经过两局后甲恰好得4分且为唯一获胜者的概率P2．19.(本小题17分)在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=a,b,c，点P0x0,y0,z0.若直线l以u为方向向量且经过点P0，则直线l(1)已知直线l1过点A1,0,−1且方向向量为v1=2,−1,2，直线l2过点B0,1,1(2)已知平面α1：2x+y−2z+3=0，平面外一点P2,1,−1.若直线l过点P且与平面α1垂直，求直线(3)(ⅰ)若集合M={x,y,zx2+y2≤4,(ⅱ)若集合N=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,z+x≤21.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】ABC

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】1

13.【答案】14

/0.2514.【答案】6+215.【答案】解：

(1)由已知得(2c−b)cosA=acosB，根据正弦定理将边化为角得(2sinC−sinB)cosA=sinAcosB，整理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)，又△ABC中A+B+C=π，故sin(A+B)=sinC，∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，两边同除以sinC得2cosA=1，即cosA=12，又A∈(0,π)，故A=π3；

(2)设AB=c，AC=b，则△ABC的面积S=1216.【答案】解：(1)一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均数=45×0.10+55×0.15+65×0.15+75×0.30+85×0.25+95×0.05=71，由图可知，众数为75．以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分．(2)前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.80，前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.80，则第80%分位数落在第5组，设为x，则0.70+x−80×0.025=0.80，解得“防溺水达人”的成绩至少为84分．(3)60,70的频率为0.15，70,80的频率为0.30所以60,70的频率与60,80的频率之比为0.150.15+0.3070,80的频率与60,80的频率之比为0.300.15+0.30设60,80内的平均成绩和方差分别为x2,ss2所以60,80内的平均成绩为71，方差为913

17.【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD．

∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，

以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

设AB=a(a>0)，由题意得A(0,0,0)，B(a,0,0)，D(0,6,0)，P(0,0,6)，M(a3,0,4)，N(0,2,4)，E(0,32,0)．

则AM=(a3,0,4)，EB=(a,−32,0)，EN=(0,12,4)．

设平面BNE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅EB=ax−32y=0n⋅EN=12y+4z=0，取y=8，得n=(12a,8,−1)．

∵AM⋅n=a3×12a+0×8+4×(−1)=0，即AM⊥n，

又AM⊄平面BNE，∴直线AM/​/平面BNE．

(2)解：当AB=43时，C(43,6,0)，AM=(433,0,4)，

又DC=(43,0,0)，DP=(0,−6,6)，

设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则n1⋅18.【答案】解：

(1)每局甲、乙、丙各有3种手势选择，共3×3×3=27种等可能基本事件，甲在一局中得−1分对应仅出现两种手势且甲为输方，设甲的手势为X，克制X的手势为Y，则乙、丙手势只能为X或Y，且不能全为X，故乙、丙手势组合数为2×2−1=3种，甲的手势共3种选择，符合条件的基本事件数为3×3=9种，由古典概型公式得P1=927=13．

(2)单局甲的得分可能为−1,0,1,2，要使两局总得分恰好为4，仅存在每局都得2分这一种情况．

①计算甲单局得2分的概率：对应规则②且甲为赢方，与甲得−1分的情况对称，符合条件的基本事件数为9种，故单局甲得2分的概率为927=13，甲两局都得2分的概率为13×13=19．

②计算甲两局都得2分的前提下，甲为唯一获胜者的概率：甲单局得2分时，该局仅存在两种手势：甲的手势X、被X克制的手势Y，且至少1人出Y，故每局乙、丙的得分有3种等可能情况：乙得2分丙得−1分、乙得−1分丙得2分、乙丙均得−1分，两局乙、丙得分的组合共3×3=9种，其中仅两局均为乙得2分丙得−1分时乙总得分419.【答案】解：(1)设直线l1与l2所成角为θ.由题意，直线l1直线l2的方向向量v所以cosθ所以直线l1与l2所成角的余弦值为(2)平面α1：2x+y−2z+3=0的法向量为n因为直线l⊥平面α1，所以直线l的方向向量与平面α1的法向量平行，可取方向向量为又因为直线l过点P2,1,−1，设直线方程为：x−2令x−22=y−11=z+1−2代入平面α1的方程：22+2t+1+t将