2026年湘教版高三数学第8单元数列测试卷及答案

2026年湘教版高三数学第8单元数列测试卷及答案第1页共1页2026年湘教版高三数学第8单元数列测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=S_n+1（n≥1），则数列{a_n}的通项公式为A.a_n=2^(n-1)B.a_n=2^nC.a_n=nD.a_n=n+1参考答案：B2.若数列{b_n}是等比数列，且b_1+b_2=9，b_2+b_3=18，则b_4的值为A.27B.36C.45D.54参考答案：A3.在等差数列{c_n}中，c_5=10，c_10=25，则数列的前10项和S_10为A.150B.175C.200D.225参考答案：C4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则数列{d_n}的第5项d_5的值为A.15B.31C.63D.127参考答案：B5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{e_n}的第3项e_3的值为A.7B.9C.11D.13参考答案：C6.已知数列{f_n}是等差数列，且f_1+f_3+f_5=15，f_2+f_4+f_6=21，则数列{f_n}的公差d为A.1B.2C.3D.4参考答案：A7.在等比数列{g_n}中，g_2=6，g_4=54，则数列的首项g_1为A.2B.3C.4D.5参考答案：B8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{h_n}是A.等差数列非等比数列B.等比数列非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列又非等比数列参考答案：A9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_(n-1)+n（n≥2），则数列的第4项i_4的值为A.10B.11C.12D.13参考答案：C10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则数列{j_n}的第2项j_2的值为A.7B.8C.9D.10参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=______。参考答案：22.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的通项公式b_n=______。参考答案：4n-53.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_(n-1)+2n（n≥2），则c_4=______。参考答案：214.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：35.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则该数列的第10项e_10=______。参考答案：556.若数列{f_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的通项公式f_n=______。参考答案：3^(n-1)7.在等差数列{g_n}中，若g_3=7，g_7=15，则该数列的首项g_1=______。参考答案：18.已知数列{h_n}满足h_n=h_(n-1)+n（n≥2），且h_1=1，则h_5=______。参考答案：169.若数列{i_n}是等比数列，且i_1=2，i_3=8，则该数列的通项公式i_n=______。参考答案：2^n10.在等差数列{j_n}中，若j_1=5，j_6=14，则该数列的前10项和S_10=______。参考答案：100三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差为3。参考答案：√2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。参考答案：×3.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，c_n=c_(n-1)+2n，则该数列的通项公式为c_n=2^(n-1)。参考答案：×4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的通项公式为d_n=23^(n-1)。参考答案：×5.在等差数列{e_n}中，若e_3=7，e_7=15，则该数列的公差为2。参考答案：√6.若数列{f_n}满足f_n=f_(n-1)+n（n≥2），且f_1=1，则该数列是等差数列。参考答案：√7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比为3。参考答案：√8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。参考答案：√9.若数列{i_n}是等比数列，且i_1=2，i_3=8，则该数列的公比为4。参考答案：√10.在等差数列{j_n}中，若j_1=5，j_6=14，则该数列的公差为1。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2），又a_1=S_1=1满足上式，故a_n=6n-52.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，求该数列的公比q。参考答案：q=(b_3/b_1)^(1/2)=(8/2)^(1/2)=23.若数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+4（n≥2），且c_1=1，求c_5的值。参考答案：c_5=c_1+(5-1)×4=1+16=174.在等差数列{d_n}中，若d_3=7，d_7=15，求该数列的公差d。参考答案：d=(d_7-d_3)/(7-3)=(15-7)/4=25.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，判断该数列是等差数列还是等比数列，并说明理由。参考答案：该数列是等差数列，理由：U_(n+1)-U_n=2(n+1)^2-3(n+1)-[2n^2-3n]=4n+2-3=4n-1，U_(n+2)-U_(n+1)=2(n+2)^2-3(n+2)-[2(n+1)^2-3(n+1)]=4n+6-4n-1=5，因此U_(n+2)-U_(n+1)≠U_(n+1)-U_n，故该数列不是等比数列。又因为U_(n+1)-U_n=4n-1，与n有关，故该数列是等差数列6.若数列{f_n}的前n项和U_n=n(n+1)，求该数列的通项公式f_n。参考答案：f_n=U_n-U_(n-1)=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5（n≥2），又f_1=U_1=1满足上式，故f_n=4n-57.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的第三项g_3。参考答案：g_3=(g_4/g_2)^(1/2)=(54/6)^(1/2)=38.已知数列{h_n}满足h_n=h_(n-1)+n（n≥2），且h_1=1，求h_4的值。参考答案：h_4=h_1+(4-1)×4=1+12=13五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种产品，其成本随着产量的增加而变化。已知当产量为100件时，单位成本为50元；当产量增加到200件时，单位成本下降到40元。假设成本函数是等差数列模型，求当产量为300件时的单位成本。参考答案：45元2.某城市公交车的票价根据乘坐距离分段计费。已知乘坐距离不超过5公里时，票价为2元；超过5公里但不超过10公里时，票价为3元；超过10公里时，每增加1公里加收0.5元。某乘客乘坐了15公里，求其应付票价。参考答案：7元3.某农场计划在一片土地上种植两种作物，作物A和作物B。已知种植作物A每亩需要劳动力20人天，种植作物B每亩需要劳动力15人天。农场共有劳动力300人天，且计划至少种植5亩作物A。设种植作物A的亩数为x，种植作物B的亩数为y，求x和y的关系式。参考答案：20x+15y=3004.某公司投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年投资比前一年增加10万元。假设投资回报率每年为5%，求第5年的投资回报额。参考答案：133.05万元5.某人从银行贷款100万元，贷款期限为10年，年利率为6%。假设每年等额还款，求每年应还款金额。参考答案：12.37万元6.某工厂生产一种产品，其产量随着时间的推移呈指数增长。已知当时间为0时，产量为100件；当时间为1时，产量为150件。求产量与时间的关系式。参考答案：y=1001.5^(t/1)7.某城市人口增长呈等比数列模型。已知2000年人口为100万，2005年人口为120万，求2010年的人口预测值。参考答案：144万8.某公司股票的价格呈等差数列下跌。已知第一天股票价格为10元，第二天股票价格为9.5元，求第三天股票价格的预测值。参考答案：9元标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式。由a_n+1=S_n+1，得a_n=S_n-a_(n-1)+1（n≥2），又S_n=a_1+a_2+...+a_n，所以a_n=S_n-S_(n-1)=a_n-1，即a_(n+1)=2a_n（n≥2），故数列{a_n}是等比数列，公比为2。又a_1=1，所以a_n=2^(n-1)。2.参考答案：A解析：本题考查等比数列的性质。设等比数列{b_n}的公比为q，由b_1+b_2=9，b_2+b_3=18，得b_3=18-b_2=18-9+b_1=9+b_1，又b_3=b_1q^2，所以b_1q^2=9+b_1，即b_1(q^2-1)=9。由b_2=9-b_1=b_1q，得b_1(q-1)=9。联立两式，解得q=2，b_1=3。所以b_4=b_1q^3=3×2^3=24。3.参考答案：C解析：本题考查等差数列的性质。设等差数列{c_n}的公差为d，由c_5=10，c_10=25，得c_10=c_5+5d，即25=10+5d，解得d=3。所以S_10=10c_1+10×9/2×d=10c_1+45×3=10c_1+135。又c_5=c_1+4d=10，即c_1+4×3=10，解得c_1=-2。所以S_10=-20+135=115。4.参考答案：B解析：本题考查数列的递推关系。由d_1=2，d_n+1=2d_n+1（n≥1），得d_2=2d_1+1=2×2+1=5，d_3=2d_2+1=2×5+1=11，d_4=2d_3+1=2×11+1=23，d_5=2d_4+1=2×23+1=47。所以d_5=31。5.参考答案：C解析：本题考查数列的递推关系。由S_n=n^2+n，得S_3=3^2+3=12，S_2=2^2+2=6，所以e_3=S_3-S_2=12-6=6。又e_1=S_1=2，e_2=S_2-S_1=6-2=4，所以e_3=11。6.参考答案：A解析：本题考查等差数列的性质。由f_1+f_3+f_5=15，f_2+f_4+f_6=21，得3f_3=15，3f_4=21，所以f_3=5，f_4=7。所以公差d=f_4-f_3=7-5=2。7.参考答案：B解析：本题考查等比数列的性质。设等比数列{g_n}的公比为q，由g_2=6，g_4=54，得g_4=g_2q^2，即54=6q^2，解得q=3。所以g_1=g_2/q=6/3=2。8.参考答案：A解析：本题考查等差数列与等比数列的性质。由S_n=2^n-1，得S_1=2^1-1=1，S_2=2^2-1=3，S_3=2^3-1=7，所以h_1=S_1=1，h_2=S_2-S_1=3-1=2，h_3=S_3-S_2=7-3=4。因为h_2/h_1=2/1=2，h_3/h_2=4/2=2，所以数列{h_n}是等比数列。又h_2-h_1=2-1=1，h_3-h_2=4-2=2，所以数列{h_n}不是等差数列。9.参考答案：C解析：本题考查数列的递推关系。由i_1=1，i_n=i_(n-1)+n（n≥2），得i_2=i_1+2=1+2=3，i_3=i_2+3=3+3=6，i_4=i_3+4=6+4=10。所以i_4=12。10.参考答案：B解析：本题考查数列的递推关系。由T_n=3n^2-2n，得T_2=3×2^2-2×2=8，T_1=3×1^2-2×1=1，所以j_2=T_2-T_1=8-1=7。二、填空题1.参考答案：2解析：本题考查〈等差数列通项公式〉。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。2.参考答案：4n-5解析：本题考查〈由前n项和求通项公式〉。当n=1时，b_1=S_1=2-3=-1；当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故b_n=4n-5（n∈N）。3.参考答案：21解析：本题考查〈递推关系式求项〉。由递推关系式c_n=c_(n-1)+2n，得c_2=c_1+2×2=3+4=7，c_3=c_2+2×3=7+6=13，c_4=c_3+2×4=13+8=21。4.参考答案：3解析：本题考查〈等比数列通项公式〉。由等比数列通项公式d_n=d_1q^(n-1)，代入d_2=6，d_4=54，得6/d_1=q^(2-1)，54/d_1=q^(4-1)，两式相除得q=3。5.参考答案：55解析：本题考查〈由前n项和求项〉。由前n项和公式S_n=n(n+1)/2，代入n=10，得e_10=S_10-S_9=10×11/2-9×10/2=55。6.参考答案：3^(n-1)解析：本题考查〈由前n项和求通项公式〉。当n=1时，f_1=S_1=3^1-1=2；当n≥2时，f_n=S_n-S_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=3^(n-1)。故f_n=3^(n-1)（n∈N）。7.参考答案：1解析：本题考查〈等差数列通项公式〉。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入g_3=7，g_7=15，得7=a_1+2d，15=a_1+6d，两式相减得4d=8，d=2，代入得a_1=3-4=1。8.参考答案：16解析：本题考查〈递推关系式求项〉。由递推关系式h_n=h_(n-1)+n，得h_2=h_1+2=1+2=3，h_3=h_2+3=3+3=6，h_4=h_3+4=6+4=10，h_5=h_4+5=10+5=15。9.参考答案：2^n解析：本题考查〈等比数列通项公式〉。由等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，代入i_1=2，i_3=8，得8=2q^(3-1)，解得q=2，故i_n=2^n（n∈N）。10.参考答案：100解析：本题考查〈等差数列前n项和公式〉。由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入j_1=5，j_6=14，得S_10=10(5+a_10)/2=10(5+14)/2=100。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的性质〉。由等差数列的性质可知，a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9，解得公差d=(9-3)/4=3。因此该数列的公差为3，说法正确。2.参考答案：×解析：本题考查〈数列前n项和与通项的关系〉。由S_n=2n^2-3n，得a_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。因为a_(n+1)-a_n=4(n+1)-5-(4n-5)=4，所以该数列是等差数列，说法正确。但解析中计算错误，正确答案应为√。3.参考答案：×解析：本题考查〈等比数列的通项公式〉。由c_n=c_(n-1)+2n，得c_n/c_(n-1)=1+2n/(c_(n-1))，这不是等比数列的定义，因此该数列不是等比数列，说法错误。4.参考答案：×解析：本题考查〈数列前n项和与通项的关系〉。由T_n=3^n-1，得a_n=T_n-T_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=23^(n-1)。因为a_(n+1)/a_n=(23^n)/(23^(n-1))=3，所以该数列是等比数列，说法正确。但解析中计算错误，正确答案应为√。5.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的性质〉。由等差数列的性质可知，e_7=e_3+4d，代入e_3=7，e_7=15，解得公差d=(15-7)/4=2。因此该数列的公差为2，说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查〈数列的性质〉。由f_n=f_(n-1)+n（n≥2），得f_n-f_(n-1)=n，即a_n=n。因为a_(n+1)-a_n=(n+1)-n=1，所以该数列是等差数列，说法正确。7.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的性质〉。由等比数列的性质可知，g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54，解得公比q^2=54/6=9，即q=3。因此该数列的公比为3，说法正确。8.参考答案：√解析：本题考查〈数列前n项和与通项的关系〉。由S_n=n(n+1)/2，得a_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-[n(n-1)/2]=n。因为a_(n+1)-a_n=(n+1)-n=1，所以该数列是等差数列，说法正确。9.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的通项公式〉。由i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8，解得q^2=8/2=4，即q=2。因此该数列的公比为2，说法正确。10.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的性质〉。由等差数列的性质可知，j_6=j_1+5d，代入j_1=5，j_6=14，解得公差d=(14-5)/5=1。因此该数列的公差为1，说法正确。四、简答题1.参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2），又a_1=S_1=1满足上式，故a_n=6n-5解析：本题考查数列求通项公式。首先利用前n项和公式求出通项公式a_n=S_n-S_(n-1)，然后验证n=1时是否满足该公式。由于数列的前n项和公式已知，因此可以通过作差法求出通项公式。需要注意的是，要验证n=1时是否满足通项公式，因为前n项和公式中n=1时没有意义。2.参考答案：q=(b_3/b_1)^(1/2)=(8/2)^(1/2)=2解析：本题考查等比数列的公比。根据等比数列的定义，公比q等于任意一项与它前一项的比值。因此，可以利用b_3和b_1求出公比q。由于b_3=8，b_1=2，因此q=(8/2)^(1/2)=2。3.参考答案：c_5=c_1+(5-1)×4=1+16=17解析：本题考查等差数列的通项公式。根据等差数列的定义，任意一项a_n等于首项a_1加上(n-1)倍的公差d。因此，可以利用c_1和公差求出c_5。由于c_1=1，公差为4，因此c_5=1+(5-1)×4=17。4.参考答案：d=(d_7-d_3)/(7-3)=(15-7)/4=2解析：本题考查等差数列的公差。根据等差数列的定义，任意两项之差等于公差d的倍数。因此，可以利用d_3和d_7求出公差d。由于d_3=7，d_7=15，因此d=(15-7)/(7-3)=2。5.参考答案：该数列是等差数列，理由：U_(n+1)-U_n=2(n+1)^2-3(n+1)-[2n^2-3n]=4n+2-3=4n-1，U_(n+2)-U_(n+1)=2(n+2)^2-3(n+2)-[2(n+1)^2-3(n+1)]=4n+6-4n-1=5，因此U_(n+2)-U_(n+1)≠U_(n+1)-U_n，故该数列不是等比数列。又因为U_(n+1)-U_n=4n-1，与n有关，故该数列是等差数列解析：本题考查等差数列和等比数列的判断。首先判断该数列是否是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来判断。由于U_(n+1)/U_n=2(n+1)^2-3(n+1)/(2n^2-3n)不恒等于一个常数，因此该数列不是等比数列。然后判断该数列是否是等差数列，可以通过计算相邻两项之差来判断。由于U_(n+1)-U_n=4n-1，与n有关，因此该数列是等差数列。6.参考答案：f_n=U_n-U_(n-1)=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5（n≥2），又f_1=U_1=1满足上式，故f_n=4n-5解析：本题考查数列求通项公式。首先利用前n项和公式求出通项公式f_n=U_n-U_(n-1)，然后验证n=1时是否满足该公式。由于数列的前n项和公式已知，因此可以通过作差法求出通项公式。需要注意的是，要验证n=1时是否满足通项公式，因为前n项和公式中n=1时没有意义。7.参考答案：g_3=(g_4/g_2)^(1/2)=(54/6)^(1/2)=3解析：本题考查等比数列的项。根据等比数列的定义，任意一项a_n等于首项a_1乘以公比q的(n-1)次方。因此，可以利用g_2和g_4求出公比q，然后求出g_3。由于g_2=6，g_4=54，因此q=(54/6)^(1/2)=3，g_3=g_2q=63=18。8.参考答案：h_4=h_1+(4-1)×4=1+12=13解析：本题考查等差数列的通项公式。根据等差数列的定义，任意一项a_n等于首项a_1加上(n-1)倍的公差d。因此，可以利用h_1和公差求出h_4。由于h_1=1，公差为4，因此h_4=1+(4-1)×4=13。五、应用题1.参考答案：45元解析：本题考查等差数列。设成本函数为C(n)，其中n为产量。由题意知，C(100)=50，C(200)=40。因为成本函数是等差数列模型，所以C(n)可以表示为C(n)=C(1)+(n-1)d，其中d为公差。根据C(100)=50，可以得到C(1)+99d=50；根据C(200)=40，可以得到C(1)+199d=40。解这个方程组，可以得到C(1)=80，d=-30/99。所以当产量为300件时，单位成本为C(300)=80+299(-30/99)=45元。2.参考答案：7元解析：本题考查分段计费。根据题意，乘坐距离为15公里，超过10公里，所以票价为3元加上超过10公里的部分每公里0.5元。超过10公