2026年人教版高三数学第11单元数列综合练习题及答案

2026年人教版高三数学第11单元数列综合练习题及答案第1页共1页2026年人教版高三数学第11单元数列综合练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d等于A.2B.3C.4D.5参考答案：B2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_4的值为A.7B.8C.9D.10参考答案：C3.若一个等比数列的前三项依次为1，2，4，则该数列的第四项为A.8B.16C.32D.64参考答案：A4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5的值为A.4B.6C.8D.10参考答案：B5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2-3n，则a_5的值为A.19B.20C.21D.22参考答案：D6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则该数列一定是A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.无法确定参考答案：A7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7的值为A.10B.12C.14D.16参考答案：C8.已知数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+n（n≥2），且a_1=1，则a_6的值为A.21B.22C.23D.24参考答案：B9.若一个等比数列的前三项依次为2，-6，18，则该数列的公比为A.-3B.3C.-2D.2参考答案：A10.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_10=17，则该数列的通项公式为A.a_n=2nB.a_n=3n-1C.a_n=4n-2D.a_n=5n-3参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则该数列的公差d等于______。参考答案：42.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式a_n等于______。参考答案：6n-93.若一个等比数列的前三项依次为1，2，4，则该数列的第四项a_4等于______。参考答案：84.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5的值等于______。参考答案：65.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2-3n，则该数列的前5项和S_5等于______。参考答案：376.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则该数列一定是______数列。参考答案：等差7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7等于______。参考答案：208.已知数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+n（n≥2），且a_1=1，则a_5等于______。参考答案：159.若一个等比数列的前三项依次为2，-6，18，则该数列的公比q等于______。参考答案：-310.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_10=17，则该数列的通项公式a_n等于______。参考答案：a_n=3n-1三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a₃=7，a₅=11，则该数列的公差为2。参考答案：×2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n²-2n，则该数列是等差数列。参考答案：√3.在等比数列{c_n}中，若c₁=3，c_n=2c_{n-1}（n≥2），则该数列的通项公式为a_n=3×2^{n-1}。参考答案：√4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=2^{n-1}-1，则该数列是等比数列。参考答案：×5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。参考答案：√6.在等差数列{f_n}中，若a₁=2，d=3，则该数列的前10项和为155。参考答案：√7.已知数列{g_n}是等比数列，g₁=1，g₃=8，则该数列的公比为2。参考答案：√8.若数列{i_n}的前n项和S_n=n²+3n，则该数列是等差数列。参考答案：√9.在等差数列{j_n}中，若a₄=10，a₇=19，则该数列的通项公式为a_n=3n+3。参考答案：√10.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+n（n≥2），且a₁=1，则该数列的前5项和为15。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2-3n，求a_4的值。参考答案：a_4=S_4-S_3=(24^2-34)-(23^2-33)=52.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-3，求该数列的前10项和S_10。参考答案：S_10=10/2(25+(10-1)(-3))=10/2(10-27)=-853.若一个等比数列的前三项依次为3，6，12，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=32^(n-1)4.已知数列{b_n}满足b_n=b_{n-1}-2（n≥2），且b_1=10，求b_5的值。参考答案：b_5=10-2(5-1)=45.在等差数列{c_n}中，若c_3+c_9=24，求c_6的值。参考答案：c_6=(c_3+c_9)/2=126.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+2n，求d_3的值。参考答案：d_3=S_3-S_2=(3^2+23)-(2^2+22)=77.在等比数列{e_n}中，若e₁=1，e_n=64（n≥1），求该数列的公比q。参考答案：q=log_2(64/1)/(9-1)=38.已知数列{f_n}的前n项和S_n=3n-n^2，求f_4的值。参考答案：f_4=S_4-S_3=(34-4^2)-(33-3^2)=-3五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某医院为提高患者满意度，统计了每日预约挂号量与实际到诊量，数据如下表所示（单位：人）：|日期|预约挂号量|实际到诊量||||||星期一|120|110||星期二|150|140||星期三|180|160||星期四|200|180||星期五|160|150|假设从星期一到星期五的预约挂号量与实际到诊量分别构成等差数列和等比数列，求：①求这五天预约挂号量的通项公式；②求这五天实际到诊量的通项公式；③若医院希望下周的到诊率（实际到诊量/预约挂号量）达到80%，至少应使下周的预约挂号量比本周平均预约挂号量增加多少？参考答案：①a_n=120+(n-1)\times30=30n+90；②b_n=110\times(1+1/11)^{n-1}2.某工厂生产一种电子元件，其成本C随产量n的变化满足等差数列模型，已知当产量为100件时，成本为500元；当产量为200件时，成本为900元。求：①求该电子元件的成本函数C_n；②若该元件售价为每件12元，为使工厂盈利，至少应生产多少件电子元件？参考答案：①C_n=500+2(n-1)\times100=200n+300；②至少应生产250件电子元件3.某农场计划在5年内将粮食产量从100吨增加到160吨，假设每年的增长量构成等比数列，求：①求该农场每年粮食产量的通项公式；②求该农场5年内粮食产量的总增长量。参考答案：①a_n=100\times(1+r)^{n-1}，其中r=\sqrt[5]{160/100}-1；②5年内粮食产量的总增长量为60吨4.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计每年的收益构成等差数列，已知第3年的收益为30万元，第6年的收益为50万元。求：①求该项目的年收益函数S_n；②若该项目使用寿命为10年，求该项目的总收益。参考答案：①S_n=20n+280；②该项目的总收益为420万元5.某水库的蓄水量V随时间t的变化满足等比数列模型，已知当t=0时，蓄水量为100万立方米；当t=3时，蓄水量为125万立方米。求：①求该水库的蓄水量函数V_t；②若水库的最大蓄水量为200万立方米，求至少需要多少时间才能达到最大蓄水量？参考答案：①V_t=100\times(1+r)^t，其中r=\sqrt[3]{125/100}-1；②至少需要3年才能达到最大蓄水量6.某工厂生产一种产品的质量Q随时间t的变化满足等差数列模型，已知当t=0时，产品质量为90%；当t=5时，产品质量为95%。求：①求该产品的质量函数Q_t；②若该产品的质量必须达到98%才能出厂，求至少需要多少时间才能出厂？参考答案：①Q_t=90+2(t-1)\times5=10t+80；②至少需要3个时间单位才能出厂7.某城市的人口P随时间t的变化满足等比数列模型，已知当t=0时，人口为100万；当t=10时，人口为200万。求：①求该城市的人口函数P_t；②若该城市的人口增长率保持不变，求20年后该城市的人口。参考答案：①P_t=100\times(1+r)^t，其中r=\sqrt[10]{2}-1；②20年后该城市的人口为200万8.某公司员工的工资S随时间t的变化满足等差数列模型，已知当t=0时，工资为3000元；当t=3时，工资为3500元。求：①求该公司的工资函数S_t；②若该公司计划5年后员工的工资达到5000元，求该公司的年工资增长率。参考答案：①S_t=3000+2(t-1)\times500=1000t+2500；②该公司的年工资增长率为约33.33%标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质可得：a_5=a_1+4d，代入已知条件得：9=3+4d，解得d=3/2。故选B。2.参考答案：C解析：本题考查等比数列的递推关系。由递推关系可得：a_2=2a_1+1=2×1+1=3，a_3=2a_2+1=2×3+1=7，a_4=2a_3+1=2×7+1=15。故选C。3.参考答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质可得：q=a_2/a_1=2/1=2，a_4=a_3×q=4×2=8。故选A。4.参考答案：B解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得：a_3+a_7=2a_5，代入已知条件得：12=2a_5，解得a_5=6。故选B。5.参考答案：D解析：本题考查等差数列的前n项和。由等差数列的前n项和公式可得：a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，代入n=5得：a_5=4×5-5=15。故选D。6.参考答案：A解析：本题考查数列的性质。由题意可得：a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，这是一个等差数列。故选A。7.参考答案：C解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得：a_5+a_7=2a_6，又由a_1+a_9=2a_5，可得：a_5+a_7=2a_5，代入已知条件得：20=2a_5，解得a_5=10。故选C。8.参考答案：B解析：本题考查数列的递推关系。由递推关系可得：a_2=a_1+2=1+2=3，a_3=a_2+3=3+3=6，a_4=a_3+4=6+4=10，a_5=a_4+5=10+5=15，a_6=a_5+6=15+6=21。故选B。9.参考答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质可得：q=a_2/a_1=-6/2=-3。故选A。10.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质可得：a_10=a_1+9d，代入已知条件得：17=2+9d，解得d=15/9=5/3。故通项公式为：a_n=2+(n-1)×5/3=3n-1。故选B。二、填空题1.参考答案：4解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=10，得到10=2+4d，解得d=2。故公差d等于4。2.参考答案：6n-9解析：本题考查数列的前n项和与通项公式的关系。由S_n=3n^2-2n，得到a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-9。故通项公式a_n等于6n-9。3.参考答案：8解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的通项公式a_n=a_1q^(n-1)，代入a_1=1，q=2，得到a_4=12^3=8。故第四项a_4等于8。4.参考答案：6解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质，a_3+a_7=2a_5，代入a_3+a_7=12，得到2a_5=12，解得a_5=6。故a_5的值等于6。5.参考答案：37解析：本题考查数列的前n项和。由S_n=2n^2-3n，得到S_5=25^2-35=37。故前5项和S_5等于37。6.参考答案：等差解析：本题考查数列的递推关系。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得到a_n=a_{n-1}+a_n，即a_n-a_{n-1}=0，故该数列是等差数列。7.参考答案：20解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质，a_1+a_9=2a_5，代入a_1+a_9=20，得到2a_5=20，解得a_5=10。同理，a_5+a_7=2a_6，代入a_5=10，得到2a_6=20，解得a_6=10。故a_5+a_7等于20。8.参考答案：15解析：本题考查数列的递推关系。由a_n=a_{n-1}+n（n≥2），且a_1=1，得到a_2=1+2=3，a_3=3+3=6，a_4=6+4=10，a_5=10+5=15。故a_5等于15。9.参考答案：-3解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的通项公式a_n=a_1q^(n-1)，代入a_1=2，q=-3，得到a_2=2(-3)^1=-6，a_3=2(-3)^2=18。故公比q等于-3。10.参考答案：a_n=3n-1解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_10=17，得到17=2+9d，解得d=15/9=5/3。故通项公式a_n等于3n-1。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查〈等差数列的性质〉。由等差数列的性质可知，a₅-a₃=2d，代入a₅=11，a₃=7，得11-7=2d，解得d=2。但题干仅说“该数列的公差为2”，未说明是否为等差数列，若为等比数列，则公差不为2，故错误。2.参考答案：√解析：本题考查〈数列求和与通项关系〉。由S_n=n²-2n，得a₁=S₁=1²-2×1=-1，a₂=S₂-S₁=(2²-2×2)-(-1)=-1，a₃=S₃-S₂=(3²-2×3)-(2²-2×2)=-1，…，可知a_n=-1（n∈N），即数列是常数列，常数列既是等差数列也是等比数列，故正确。3.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的通项公式〉。由c_n=2c_{n-1}（n≥2），可知数列是等比数列，公比q=2，首项c₁=3，故通项公式为a_n=c₁q^{n-1}=3×2^{n-1}，故正确。4.参考答案：×解析：本题考查〈数列求和与通项关系〉。由S_n=2^{n-1}-1，得a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=(2²-1)-1=2，a₃=S₃-S₂=(2³-1)-3=4，…，可知a_n=2^{n-1}，即数列是等比数列，公比q=2。但题干未说明是否为等比数列，若为等差数列，则前n项和不为2^{n-1}-1，故错误。5.参考答案：√解析：本题考查〈数列求和与通项关系〉。由S_n=n(n+1)/2，得a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=3-1=2，a₃=S₃-S₂=6-3=3，…，可知a_n=n，即数列是等差数列，公差d=1，故正确。6.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的前n项和公式〉。由等差数列的前n项和公式S_n=n(a₁+a_n)/2，可知a_{10}=a₁+9d=2+9×3=29，故S_{10}=10(2+29)/2=155，故正确。7.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的性质〉。由等比数列的性质可知，g₃/g₁=q²，代入g₁=1，g₃=8，得8/1=q²，解得q=2（q=-2舍去），故公比为2，故正确。8.参考答案：√解析：本题考查〈数列求和与通项关系〉。由S_n=n²+3n，得a₁=S₁=4，a₂=S₂-S₁=7-4=3，a₃=S₃-S₂=12-7=5，…，可知a_n=2n+1，即数列是等差数列，公差d=2，故正确。9.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的通项公式〉。由等差数列的性质可知，a₇-a₄=3d，代入a₇=19，a₄=10，得19-10=3d，解得d=3，又a₁=a₄-3d=10-3×3=1，故通项公式为a_n=a₁+(n-1)d=1+(n-1)×3=3n-2，故正确。10.参考答案：√解析：本题考查〈数列求和与通项关系〉。由a_n=a_{n-1}+n（n≥2），且a₁=1，可知a₂=a₁+2=3，a₃=a₂+3=6，a₄=a₃+4=10，a₅=a₄+5=15，故S₅=1+3+6+10+15=35，故正确。四、简答题1.参考答案：a_4=S_4-S_3=(24^2-34)-(23^2-33)=5解析：本题考查数列的前n项和与通项关系。首先计算S_4和S_3，然后作差得到a_4。S_4=216-12=20，S_3=29-9=9，所以a_4=20-9=5。2.参考答案：S_10=10/2(25+(10-1)(-3))=10/2(10-27)=-85解析：本题考查等差数列的前n项和公式。利用公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入a_1=5，d=-3，n=10计算得到S_10=-85。3.参考答案：a_n=32^(n-1)解析：本题考查等比数列的通项公式。由前三项可知公比q=6/3=2，所以通项公式为a_n=a_1q^(n-1)=32^(n-1)。4.参考答案：b_5=10-2(5-1)=4解析：本题考查等差数列的递推关系。由递推式b_n=b_{n-1}-2，可得b_2=b_1-2，b_3=b_2-2，...，b_5=b_1-2(5-1)，代入b_1=10计算得到b_5=4。5.参考答案：c_6=(c_3+c_9)/2=12解析：本题考查等差数列的性质。由等差中项性质可知c_6=(c_3+c_9)/2，代入c_3+c_9=24计算得到c_6=12。6.参考答案：d_3=S_3-S_2=(3^2+23)-(2^2+22)=7解析：本题考查数列的前n项和与通项关系。首先计算S_3和S_2，然后作差得到d_3。S_3=9+6=15，S_2=4+4=8，所以d_3=15-8=7。7.参考答案：q=log_2(64/1)/(9-1)=3解析：本题考查等比数列的通项公式。由e_n=e₁q^(n-1)，代入e₁=1，e_n=64，n=9计算得到q=3。8.参考答案：f_4=S_4-S_3=(34-4^2)-(33-3^2)=-3解析：本题考查数列的前n项和与通项关系。首先计算S_4和S_3，然后作差得到f_4。S_4=12-16=-4，S_3=9-9=0，所以f_4=-4-0=-3。五、应用题1.参考答案：①a_n=120+(n-1)\times30=30n+90；②b_n=110\times(1+1/11)^{n-1}解析：本题考查等差数列与等比数列的通项公式。①由题意知，预约挂号量构成等差数列，首项a_1=120，公差d=150-120=30，故通项公式为a_n=120+(n-1)\times30=30n+90。②由题意知，实际到诊量构成等比数列，首项b_1=110，公比q=140/120=7/6，故通项公式为b_n=110\times(1+1/11)^{n-1}。③本周平均预约挂号量为120+150+180+200+160/5=160人，平均到诊量为110+140+160+180+150/5=140人，到诊率为140/160=87.5\%。设下周预约挂号量为x人，则到诊量为0.8x人，根据等差数列性质，下周预约挂号量应为160+30=190人，故至少应增加190-160=30人。2.参考答案：①C_n=500+2(n-1)\times100=200n+300；②至少应生产250件电子元件解析：本题考查等差数列的应用。①由题意知，成本C随产量n的变化构成等差数列，首项C_1=500，公差d=900-500=400，故成本函数为C_n=500+2(n-1)\times100=200n+300。②设应生产n件电子元件，则收入为12n元，成本为200n+300元，盈利为12n-(200n+300)=-188n-300元。为使盈利大于0，需-188n-3000，解得n-300/188，由于n必须为正整数，故至少应生产250件电子元件。3.参考答案：①a_n=100\times(1+r)^{n-1}，其中r=\sqrt[5]{160/100}-1；②5年内粮食产量的总增长量为60吨解析：本题考查等比数列的应用。①由题意知，粮食产量构成等比数列，首项a_1=100，第5项a_5=160，故公比r=\sqrt[5]{160/100}-1，通项公式为a_n=100\times(1+r)^{n-1}。②5年内粮食产量的总增长量为160-100=60吨。4.参考答案：①S_n=20n+280；②该项目的总收益为420万元解析：本题考查等差数列的应用。①由题意知，年收益构成等差数列，设首项为S_1，公差为d，则S_3=S_1+2d=30，S_6=S_1+5d=50，解得S_1=10，d=8，故年收益函数为S_n=20n+280。②该项目的总收益为\sum_{n=1}^{10}S_n=10\times10+8\ti