2026-2027学年人教版八年级数学上册期末考试题（有答案和解析）

-2027学年人教版八年级数学上册期末考试题（有答案和解析）考试时间：120分钟满分：150分姓名：班级：学号：一二三*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前5分钟收取答题卡3、本试卷共35小题，篇幅20+页数,含详细答案解析第I卷客观题一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.)1．在平面直角坐标系中，点一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）cmA．8 B．4 C．2 D．123．如果点P（12m，m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（

）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分C．对角线相等 D．对角线平分一组对角7．如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（

）A． B． C． D．8．如图，菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．509．已知三角形的三边长a、b、c满足＋＋|c－|＝0，则三角形的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定10．已知点位于第二象限，并且，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个11．把一堆练习本分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后1名学生只有3本．设有x名学生，y本书，根据题意，可列方程组为：（）A． B． C． D．12．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5 D．5.513．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．5514．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为()A． B． C． D．15．学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种16．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n17．已知关于、的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④18．在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（）A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣419．如图是某学校的部分平面示意图，在同一平面直角坐标系中，若体育馆A的坐标为（﹣2，4），科技馆B的坐标为（﹣5，1），则教学楼C的坐标为（）A．（0，2） B．（1，﹣1） C．（2，0） D．（﹣1，2）20．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（

）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应的位置上.)(共10题；共30分)21．正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．所有正确结论的序号是_______．22．正数a的两个平方根是方程的一组解，则a＝_____．23．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.

24．把二元一次方程2x-3y+1=0改写成用含有x的式子表示y的形式为______．25．如图三个天平都保持平衡左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体2号和3号天平右盘中砝码的质量分别为13克和11克，则1号天平右盘中砝码的质量为________克．26．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____．27．如图所示，在平面直角坐标系中△ABC中点A的坐标为（﹣1，3），在y轴上有一个点P（0，﹣1），将△ABC在网络线内平移使其顶点与P重合，则平移后A点的对应点的坐标为_____．28．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________；（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________；（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形．29．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是__．30．在平面直角坐标系中，P（m，﹣2），Q（3，m﹣1），且PQ∥x轴，则PQ＝___．第卷主观题、解答题(本大题共5小题，共60分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.)(共5题；共60分)31．如图在边长为1个单位长度的小正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上．（1）将三角形ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）求三角形A1B1C1的面积．32．【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，，垂足为点C，，点P直线MN上的任意一点．求证：．（1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的证明过程．【定理应用】如图②，作图①中的的边AP的垂直平分线DE，交PA，PC于点D，E，连结AE．（2）若，，求的周长；（3）在（1）的条件下，直接写出EP的长为________．33．综合与实践（1）问题发现：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如图①所示的方式放置，点F在AB上，连接AE、CF，则AE、CF的数量关系为，位置关系为．（2）类比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°<α≤360°)，请问（1）中的结论还成立吗？请就图②说明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AB=2BF=4，在等腰直角△BEF旋转的过程中，当CF为最大值时，请直接写出DE的长．34．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0，−3)，B(−2，0)．（1）如图①，则三角形OAB的面积为_______；（2）如图②，将线段AB向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到平移后的线段A′B′．连接OA′，OB′．①求三角形OA′B′的面积；②P(−1，m)（m>0）是一动点，若SΔPOB′=10，请直接写出点P坐标．35．将下列各式分解因式：(1)；(2)．答案及解析1．B【分析】先判断，可知点的符号特征是，据此判断点所在的象限即可解题．【详解】解：∵，；∴点的符号特征是，故点在第二象限，故选：B．【点睛】本题考查点坐标与象限，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．B【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：如图1中，，如图2中，，∵，∴爬行的最短路径是cm．故选B【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．3．B【分析】互为相反数的两个数的和为0，求出m的值，再判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．【详解】解：∵点P（1-2m，m）的横坐标与纵坐标互为相反数∴解得m=1∴1-2m=1-2×1=-1，m=1∴点P坐标为（-1，1）∴点P在第二象限故选B．【点睛】本题考查了点的坐标和相反数的定义，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号特点：第一象限(+，+)，第二象限(-，+)，第三象限(-，-)，第四象限(+，-)．4．C【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解．【详解】解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，可以看出，9=，15=，21=，得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数，点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3，，即，故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为，∴A2021（3033，-3030），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．5．B【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【详解】解：因为点（﹣1，m2+1），横坐标﹣1＜0，纵坐标m2+1一定大于0，所以满足点在第二象限的条件．故选：B．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里象限的坐标，熟练掌握每个象限的坐标符号特点是解题的关键．6．C【分析】根据正方形和菱形的性质逐项判断即可得．【详解】A、正方形和菱形的四条边都相等，则此项不符题意；B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，则此项不符题意；C、正方形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，则此项符合题意；D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，则此项不符题意；故选：C．【点睛】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解题关键．7．A【分析】由矩形的性质可得AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，由平行线的性质可折叠的性质可得∠DAC=∠ACE，可得AF=CF，由勾股定理即可得求DF的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，根据折叠的性质得：∠ACB=∠ACE，∴∠DAC=∠ACE，∴AF=CF，设DF=，则CF=AF=AD-DF=，在Rt△CDF中，，∴，解得：，即DF=，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求DF的长是本题的关键．8．C【分析】由题意可知EF为△ABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长．【详解】解：∵E，F分别是，的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴，∵四边形是菱形，∴，∴菱形的周长为故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为△ABD的中位线是解题的关键．9．C【分析】根据非负数的性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．【详解】解：∴，，∴，，又∵∴该三角形为直角三角形故选C．【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理．10．B【分析】根据第二象限的点的特点可知，即可得，，计算可得；a，b均为整数，所以或；据此分别可求出A点的坐标，即可得本题答案．【详解】解：∵点位于第二象限，∴，∴，，∴∴，∵a，b均为整数，∴或，当时，，；当时，，或或或；综上所述，满足条件的点A个数有5个．故选：B．【点睛】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标的符号特点，是解决本题的关键．11．C【分析】根据“每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后1名学生只有3本”,列出二元一次方程组即可．【详解】解：由题意可得故选C．【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．12．B【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】如图，设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝＝4.8，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．13．C【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=11+5=16，故选C．【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．14．C【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1(2)互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x,故选C.【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组15．B【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．【详解】设购买了种奖品个，种奖品个，根据题意得：，化简整理得：，得，∵，为非负整数，∴，，，∴有3种购买方案：方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.故选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．16．B【详解】【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．【详解】第一个正方形的面积为1=20，第二个正方形的面积为（）2=2=21，第三个正方形的边长为22，…第n个正方形的面积为2n﹣1，故选B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到Sn的规律是解题的关键．17．B【分析】①把k=0代入方程组求出解，代入方程检验即可；②方程组消元k得到x与y的方程，检验即可；③表示出y-x，代入已知不等式求出k的范围，判断即可；④方程组整理后表示出x+3y，检验即可．【详解】解：①把k=0代入方程组得：，解得：，代入方程得：左边=-2-2=-4，右边=-4，左边=右边，此选项正确；②由x+y=0，得到y=-x，代入方程组得：，即k=3k-1，解得：，则存在实数，使x+y=0，本选项正确；③，解不等式组得：，∵，∴，解得：，此选项错误；④x+3y=3k-2+3-3k=1，本选项正确；∴正确的选项是①②④；故选：B.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．D【分析】先根据平移得到点的坐标，再根据点在第四象限构建不等式解决问题．【详解】解：由题意，点的坐标为（，），即：（，），∵点位于第四象限，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型．19．D【分析】直接利用已知点坐标进而建立平面直角坐标系，即可得出C点坐标．【详解】解：如图所示：教学楼C的坐标为（-1，2）．故选：D．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．20．A【分析】根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点与点重合，，，根据勾股定理得：，解得：．．故选：A．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．21．①②④【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形；故正确的结论序号是①②④.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键．22．4【分析】先根据平方根的性质可得，再代入方程求出x的值，由此即可得出答案．【详解】由题意得：，，，将代入得：，解得，则，故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、二元一次方程的解等知识点，熟练掌握平方根的性质是解题关键．23．25.【详解】试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=25（尺）．故答案为25．考点：平面展开最短路径问题24．【分析】由题意得将原式表示成的形式．【详解】解：移项得：，解得：，故答案是：．【点睛】本题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是掌握基本的运算法则．25．8【分析】设，，根据天平的等量关系列出二元一次方程组运算即可．【详解】解：设，则解得：∴故答案为：【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，利用天平的等量关系建立二元一次方程组是解题的关键．26．20【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD．∴△AOB是直角三角形．∴．∴此菱形的周长为：5×4=20故答案为27．（-2，0）或（1，2）【分析】根据题意平移图形观察平移后的坐标点即可．【详解】解：已知将△ABC在网络线内平移使其顶点与P重合，结合图像知当点A平移到P点时不满足题意，（舍去）；当点B平移到P点时，满足题意，此时点A的对应点的坐标为（1，2）；当点C平移到P点时，满足题意，此时点A的对应点的坐标为（-2，0）；故答案为：（-2，0）或（1，2）．【点睛】此题结合坐标系考查坐标的平移，难度一般，找到平移规律是关键．28．锐角三角形或钝角【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x的值；（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角三角形；（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，∴52+122=x2，∴x=13，当12是斜边，则52+x2=122，解得：x=，综上所述：x=13或．故答案为：13或；（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，∴a2＞b2+c2，∴该三角形是钝角三角形．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．29．16【详解】试题分析：先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴AB=2EF=4，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，∴菱形ABCD的周长=4×4=16．考点：（1）菱形的性质；（2）三角形中位线定理．30．4【分析】根据PQ∥x轴，可得：点P，Q的纵坐标相同，可求出m的值，即可求解．【详解】∵PQ∥x轴，∴，解得：，∴点P（-1，-2），Q（3，-2）∴．故答案为：4【点睛】本题主要考查了在平面直角坐标系内，平行于坐标轴的点的坐标的特征，即平行于x轴的点的纵坐标相同；平行于y轴的点的横坐标相同，解题的关键是熟练掌握平行于坐标轴的点的坐标的特征．31．（1）见解析；（1，0）；（2）5.5【分析】（1）直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用三角形A1B1C1所在矩形面积减去周围多余三角形面积，即可得出答案．【详解】解：（1）如图所示：三角形A1B1C1即为所求，点A的对应点A1的坐标（1，0）；（2）三角形A1B1C1的面积为：3×4﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×3＝5.5．【点睛】本题主要考查坐标平面内的平移变换以及三角形面积求法，正确的得出对应点的坐标位置是解题的关键．32．（1）见解析；（2）17；（3）【分析】(1)根据可得,,根据边角边可证三角形全等,根据全等三角形的性质可得:;(2)根据线段垂直平分线的性质可得:.易得,根据勾股定理可得,根据三角形周长即可求解;(3)根据线段垂直平分线的性质可得:.易得,根据勾股定理即可求解.【详解】(1)解：∵，∴.∵，，∴，∴.（2）∵垂直平分AP，∴.易得.在中，，由勾股定理，得，∴，∴.（3）设AE=x，因为AE=PE，所以CE=AP-PE=AP-AE=13-x,在中，，由勾股定理，得，∴解得x=,即PE=.【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质和勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理.33．（1）相等，垂直；（2）成立，见解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△CBF，延长CF交AB于点M，证明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的证明方法求解即可；（3）根据题意，得点F在以B为圆心，BF为半径的圆上运动，根据直径最大原理，知道当C，B，F三点一线时，CF最大，此时点E恰好在AB的延长线上，连接DE，利用勾股定理求值即可.【详解】（1）如图①，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBA=∠FBC=90°，BE=BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延长CF交AE于点M，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AFM=∠BFC，∴∠AMF=∠FBC=90°，∴AE⊥CF，故答案为：相等，垂直