苏科版数学八年级上册 江苏扬州市邗江区 期末 含答案

2025—2026学年度第一学期期末考试八年级数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.在数，，，，中，其中无理数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知点与点关于x轴对称，则（

）A.1 B.5 C. D.3.下列各组数为勾股数的是（）A.，， B.4，5，6C.7，24，25 D.，，4.如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（）A B. C. D.5.如图，的角平分线、交于点，过点作，若的周长为19，为5，则的周长为（）A.5 B.19 C.14 D.246.如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（）A. B. C. D.37.如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（）A. B. C.或 D.或8.如图，在等腰中，，与的角平分线交于点D，若，，则的长为（

）A.7 B.8 C. D.二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.用四舍五入法把精确到百分位是______．10.比较大小：__________填“”“”或“”11.一个三角形的三边为3、7、，另一个三角形的三边为3、9、，若这两个三角形全等，则________．12.等腰三角形周长是26，其中一边长是6，则等腰三角形的腰长是__________．13.直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为_____平方厘米．14.如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为__________．15.如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________．16.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB=3cm，BC=5cm．则EC的长为_____cm．17.一次函数，当时，最大值与最小值的差为，则的值为____________．18.已知，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点P关于直线l对称的点总在x轴正半轴上，则直线l的函数表达式为__________．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：；（2）解方程：20.已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．21.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点均在正方形网格的格点上．（1）请你画出关于y轴的对称图形；（2）判断是否是直角三角形，并说明理由；22.【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：．【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系．请根据小强同学的思路写出证明的完整过程．23.如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．（1）根据图象直接写出不等式的解集为；（2）分别求出这两个函数的表达式；（3）求的面积．24.如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D．（1）求证：；（2）若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．25.某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电进价和售价如右表所示：设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．项目空调彩电进价（元/台）售价（元/台）（1）试写出与之间函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可以选择？（3）根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？26.如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F．（1）求证：；（2）若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：．27.学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决相关问题．（1）从数的角度，①当时，；②当时，；③当时，；显然，②和③均为相应一次函数的一部分．（2）从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象：①列表：……0123…………1210……根据函数表达式可求表格中，；②描点；③连线．（请在给出的平面直角坐标系中完成）（3）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的结论：①y随x的增大而减小；②该函数有最大值；③该函数图象关于y轴对称；其中正确的有：．（请写出所有正确结论的序号）（4）结合函数的图象，解决下列问题：①关于x的方程的解为；②若关于x的方程有且只有两个解m和n，且，请直接写出满足条件的b的取值范围．28.“夹角定位法”是传统意义上证明直线型路径最重要方法，即：在平面内，一个动点与两个固定参考点形成的夹角保持恒定，且满足特定几何条件时，则其运动轨迹为直线型．释义：如图①，点P在直线的同侧运动，且与直线上的两个定点A、B形成的始终为一个恒定的角度a，则点P的运动轨迹为直线型．【探究】如图②，在中，，点D是线段上一点（不与B、C重合），以为一边在右侧作，使，连接．①若，则点E的运动轨迹与线段形成的夹角；②在①的基础上，若，请写出三条线段之间的数量关系，并加以说明．【拓展】如图③，定点M在水平射线的上方，动点P在射线上，且，连接，并将线段绕点P顺时针旋转得到线段，请判断点P在运动的过程中，点N的运动轨迹是否是直线型，如果是，请求出点N的运动轨迹与射线形成的夹角，如果不是，请说明理由．

2025—2026学年度第一学期期末考试八年级数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.在数，，，，中，其中无理数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数．先判断每个数的类型：、是无限不循环小数（无理数）；是整数，是无限循环小数，是分数（后三者均为有理数）；统计无理数的个数为2个．【详解】解：是无理数，是无理数，是有理数，是有理数，是有理数，无理数有和，共2个．故选：B．2.已知点与点关于x轴对称，则（

）A.1 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了关于x轴对称的点的特征．根据关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再计算即可．【详解】解：∵点与点关于x轴对称，∴，∴．故选：B．3.下列各组数为勾股数的是（）A.，， B.4，5，6C.7，24，25 D.，，【答案】C【解析】【分析】本题考查的是勾股数，满足

的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义判断即可．【详解】解：A、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；B、，，5，6不是勾股数，不符合题意；C、，，24，25是勾股数，符合题意；D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；故选：C．4.如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形判定方法对各个选项依次分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意可知，A、添加，不能判定，故A选项符合题意；B、添加，根据，能判定，故B选项不符合题意；C、添加，根据，能判定，故C选项不符合题意；D、添加时，根据，能判定，故D选项不符合题意；故选：A．5.如图，的角平分线、交于点，过点作，若的周长为19，为5，则的周长为（）A.5 B.19 C.14 D.24【答案】C【解析】【分析】首先证明△BOD与△COE是等腰三角形，继而可得△ADE的周长等于AB＋AC．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，

∵DE∥BC，

∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，

∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC，

∴BD＝OD，CE＝OE，

∴△ADE的周长是：AD＋DE＋AE＝AD＋OD＋OE＋AE＝AD＋BD＋CE＋AE＝AB＋AC＝19−5＝14．故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．6.如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接，是的垂直平分线，，设，，，在中，，即，解得：（负值舍去），则，，，，故选：B．7.如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】本题考查一次函数的图象性质、直线与三角形边的交点问题，确定直线的定点是解题关键．先确定直线恒过定点，结合图形可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，求出直线过顶点、时的值即可得出的取值范围．【详解】解：对于，当时，令，即，解得，此时点的坐标为，当时，令，此时直线为轴，直线经过点，综上所述，直线一定经过点，由图可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，当直线经过点时，，解得；当直线经过点时，，解得；由图可知，当直线和的边有公共点时的取值范围为．故选：．8.如图，在等腰中，，与的角平分线交于点D，若，，则的长为（

）A.7 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键．根据分别是与的角平分线，，求得，延长交于点E，过点D作，设长度为x，根据含角的直角三角形的性质和角平分线的性质，用含x的式子将线段表示出来，根据用勾股定理列方程，即可求解．【详解】解：，，分别是与的角平分线，，，，如图，延长交于点E，过点D作，设长度为x，是等腰三角形，，平分，，，，平分，，，，，根据勾股定理，可得，即，解得或（不合题意舍去），线段的长度为．故选：D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.用四舍五入法把精确到百分位是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了有理数的近似数，根据四舍五入法法则准确根据要求进行四舍五入是解题的关键．此题精确到百分位，需看千分位上的数字进行四舍五入即可．【详解】解：千分位数字是1，1小于5，因此舍去，故精确到百分位是．故答案为：．10.比较大小：__________填“”“”或“”【答案】【解析】【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为和，然后比较大小．【详解】解：，，且，，，故答案为：．11.一个三角形的三边为3、7、，另一个三角形的三边为3、9、，若这两个三角形全等，则________．【答案】16【解析】【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，通过分析可能的对应关系，得出x和y的值，解答即可．本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∴对应边相等；由于两个三角形都有边长为3的边，因此3对应3，则7对应y，x对应9，即，∴，故答案为：16．12.等腰三角形周长是26，其中一边长是6，则等腰三角形的腰长是__________．【答案】10【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．等腰三角形的一边长为6，可能为底边或腰，需分类讨论并检验三角形三边关系【详解】解：当6为底边时，设腰长为x，则，解得，此时三边为10、10、6，满足三角形三边关系；当6为腰时，底边为，此时三边为6、6、14，但，不满足三角形三边关系，故舍去；因此腰长为10．故答案为：10．13.直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为_____平方厘米．【答案】24【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的面积等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用直角三角形斜边上的中线性质求斜边长，再根据面积公式计算即可【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为6厘米，∴斜边长为厘米．又∵斜边上的高为4厘米，∴三角形面积为平方厘米．故答案为24．14.如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的解的关系．直接根据函数图象作答即可．【详解】解：∵直线与直线相交于点，∴即的解为．故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，求旋转后点的坐标．过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据A点坐标得到，根据旋转的性质得到，证明，得到，根据点在第一象限即可求出点的坐标．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，∵A点坐标为，∴，由旋转得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∵点在第一象限，∴点的坐标为．故答案为：．16.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上点F处，折痕为AE．已知AB=3cm，BC=5cm．则EC的长为_____cm．【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质可得出AD=AF、DE=FE，在Rt△ABF中利用勾股定理可求出BF的长度，进而可得出CF的长度，设EC=xcm，则EF=ED=（3-x）cm，在Rt△CEF中利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】∵△AEF由△AED折叠而来，∴AD=AF，DE=FE．在Rt△ABF中，AB=3cm，AF=5cm，∴BF==4cm，∴CF=BC-BF=1cm．设EC=xcm，则EF=ED=（3-x）cm，在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即（3-x）2=x2+12，解得：x=．故答案为．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元一次方程，在Rt△CEF中利用勾股定理找出关于EC长度的一元一次方程是解题的关键．17.一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为____________．【答案】或【解析】【分析】本题考查一次函数的增减性和最值问题．根据一次函数的性质，当时，函数值随增大而增大；当时，函数值随增大而减小；当时，分两种情况讨论最大值与最小值的差，列方程求解即可．【详解】当时，函数值随增大而增大，当时，最大值为，最小值为，差值为，由题意，解得，当时，函数值随增大而减小，当时，最大值为，最小值为，差值为，由题意，解得，综上可得的值为或．故答案为：或．18.已知，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点P关于直线l对称的点总在x轴正半轴上，则直线l的函数表达式为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三线合一定理，勾股定理，一次函数与几何综合，根据点P的坐标可得点在直线上，根据轴对称的性质可得直线与x轴的夹角（锐角）的平分线所在的直线为直线l；设直线与x轴交于点A，取点，在直线上截取，连接交直线l于点D，求出点A的坐标得到的长，即的长，利用勾股定理建立方程求出点B的坐标，则可求出点D的坐标，再利用待定系数法即可求出直线l的解析式．【详解】解：∵，∴点在直线上，∵点P关于直线l对称的点总在x轴正半轴上，∴直线与x轴的夹角（锐角）的平分线所在的直线为直线l，如图所示，设直线与x轴交于点A，取点，在直线上截取，连接交直线l于点D，在中，当时，，∴，∴，∴；设，则，解得或（舍去），∴，∴，∵平分，∴是的中点，∴；设直线l的解析式为，∴，∴，∴直线l的解析式为，故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：；（2）解方程：【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，求平方根的方法解方程，正确计算是解题的关键．（1）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案；（2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）．（2），，，，解得或；20.已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的定义，无理数的估算，掌握其基本定义是解题的关键．（1）利用算术平方根以及立方根的定义可以求出a、b，根据的估值可以求出c；（2）将（1）求出的值代入计算即可．【小问1详解】解：因为的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，所以，解得；，解得；，；；【小问2详解】解：，所以的平方根为．21.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上．（1）请你画出关于y轴的对称图形；（2）判断是否是直角三角形，并说明理由；【答案】（1）见解析（2）不是直角三角形，理由见解析【解析】【分析】本题考查了轴对称的作图，勾股定理及其逆定理，掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键．（1）先作出关于y轴的对称的点，再连线，即可求解；（2）根据图形，求出线段的长度，再用勾股定理的逆定理进行判断，即可求解．【小问1详解】解：如图所示．【小问2详解】解：不是直角三角形，理由，根据图形可知，，，，，不是直角三角形．22.【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：．【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系．请根据小强同学的思路写出证明的完整过程．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明．【详解】证明：延长至E，使，连接，∵是中线，∴，在和中，，，，，，，，．23.如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．（1）根据图象直接写出不等式的解集为；（2）分别求出这两个函数的表达式；（3）求的面积．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象与待定系数法求解析式是解题的关键．（1）直接根据函数图象作答即可；（2）利用待定系数法求解析式即可求解；（3）分别求出点和点坐标，进一步即可求出的面积.【小问1详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为，故答案为：；【小问2详解】解：将点分别代入和，得，，解得，，，；【小问3详解】解：当时，，点，当时，，点，，的面积.24.如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D．（1）求证：；（2）若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2），证明见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系构造全等三角形．（1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得；（2）证明，得．小问1详解】证明：，，，和中，，，；【小问2详解】解：，证明如下：∵∴，∵，，在和中，，，，，．25.某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电的进价和售价如右表所示：设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．项目空调彩电进价（元/台）售价（元/台）（1）试写出与之间的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可以选择？（3）根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？【答案】（1）（2）有三种购买方案：方案1：购买空调台，彩电台，方案2：购买空调台，彩电台，方案3：购买空调台，彩电台（3）购买空调台，彩电台时，利润最大，最大利润为元【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用．(1)根据空调和彩电的利润列出与之间的函数关系式；(2)根据总利润不低于万元，进货资金不超过万元，列不等式组，解不等式组可得，又因为为整数，可得进货方案；(3)根据一次函数的性质可得最大利润．【小问1详解】解：购进空调台，则购进彩电台，销售空调的利润是元，销售彩电的利润是元，，与之间的函数关系式是；【小问2详解】解：由题意得：，解得：，为整数，或或，有三种购买方案，方案1：购买空调台，彩电台，方案2：购买空调台，彩电台，方案3：购买空调台，彩电台；【小问3详解】解：一次函数，中，该函数随的增大而增大，当时，取得最大值，此时，时，利润最大，最大利润为元．26.如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，延长线交于F．（1）求证：；（2）若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明，掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据题意，可知为等腰直角三角形，则证，得，再根据，得到，即可求证；（2）根据，将代入，即可求证．【小问1详解】证明：，，，，在和中，，，，，，．【小问2详解】证明：∵，∴，根据图形可知，即，∴．27.学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决相关问题．（1）从数的角度，①当时，；②当时，；③当时，；显然，②和③均为相应一次函数的一部分．（2）从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象：①列表：……0123…………1210……根据函数表达式可求表格中，；②描点；③连线．（请在给出的平面直角坐标系中完成）（3）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的结论：①y随x的增大而减小；②该函数有最大值；③该函数图象关于y轴对称；其中正确的有：．（请写出所有正确结论的序号）（4）结合函数的图象，解决下列问题：①关于x的方程的解为；②若关于x的方程有且只有两个解m和n，且，请直接写出满足条件的b的取值范围．【答案】（1）（2），图象见解析（3）②③（4）①，②【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，画函数图象，函数与方程的关系，掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据一个负数的绝对值等于它的相反数，即可求解；（2）将和代入解析式，即可