数学花园探秘2021决赛初一年级A卷真题含答案解析初中数学竞赛备考完整版可打印

PAGEPAGEPAGE2021年“数学花园探秘”科普活动初一年级组决赛试卷A（测评时间：2021年1月9日10:30—12:00）一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）算式的值是________．已知，则________．ABCDEF如图，AB∥CD，且∠BEF、∠C、∠B、ABCDEF已知实数满足，则________．二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）一个凸多面体有1000条棱，如果每个顶点均被一个靠近的截面截去，要求任意两截面不在多面体内部或表面相交（例如，正方体截法如图所示）．则截得的多面体的棱数减去顶点数的差为________．若，则的最大值为________．一个等差数列和一个等比数列，均至少有三项且每项均为整数．已知等差数列的公差为2，等比数列的公比为，并且两个数列的所有项之和都是43．那么这两个数列的最大项之和为________．琪琪将一根一米长的木棒分成长为整数厘米的两段，然后在纸上画出以这两段木棒长度为邻边的长方形．接下来，她任选其中一段，再分成长为整数厘米的两段，继续在纸上画出以这两段木棒长度为邻边的长方形，这样不断操作下去．某一时刻琪琪发现所有的长方形的面积之和为4908cm²，那么此时最长的木棒长度最大是________厘米．三．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）老王的司机小张每天早上准时从公司出发去接老王上班．今天天气好，老王提前1小时出门，步行前往公司，半路遇上小张后乘车前行，接着又在A地下车继续步行，抵达公司时比平时晚了20分钟，而小张早已开车抵达，比平时早到10分钟．则老王今天上班路上的步行时间一共是________分钟（步行和车行均为匀速，上下车时间忽略不计）．CDCBBAAAAEDCBA一枚棋子每步可沿水平或竖直直线隔过5或6格，跳到下一格．例如右图中从A格只能跳到B,C,D,E之一．在CDCBBAAAAEDCBA100个盒子中分别放有1,2,3,4,…,100个小球，先向球数为1的倍数的盒中各加入1个小球，则各盒中的球数变为；接着向球数为2的倍数的盒中各加入1个小球，则各盒中的球数变为；接着向球数为3的倍数的盒中各加入1个小球，依此类推，最后向球数为100的倍数的盒中各加入1个小球．则此时所有盒子中的小球共有________个．四．解答题（每小题15分，共30分）一个等差数列，各项均为正整数且互不相同，已知从第一项开始往后的连续若干项（不止一项）之和为，从最后一项开始往前的连续若干项（不止一项）之和为．问：此数列中所有数的和是多少？现有个的白色小正方体，至少需要将其中多少个面染成黑色，才能保证拼成的大正方体的6个面一定不是全白？参考答案及解析1、〖答案〗404

〖解析〗原式．

2、〖答案〗2022

〖解析〗∵，∴，

∴．

∴．

3、〖答案〗108

〖解析〗记∠BEF、∠C、∠B、∠BEC分别为，

则、、°、，

解得，．

4、〖答案〗4

〖解析〗∵、，

∴，即，

∴，．

故．5、〖答案〗1000

〖解析〗设原凸面体顶点数为，且发出条棱（），

∵每条棱有两个顶点，∴．

而每个点发出的每一条棱均被靠近这个点的截面截出一个新的顶点，

∴截得的多面体顶点数为2000．

∵原1000条棱仍为截得的多面体的棱，

且靠近顶点的截面必导致增加条棱，

∴截得的多面体顶点数为．

∴棱数减去顶点数的差为1000．

6、〖答案〗1050

〖解析〗，由三角不等式，，

同理，，，，…，，，

∴，

当、、、、…、、

、、、…、时等号成立．

7、〖答案〗107

〖解析〗（1）先考虑等差数列，设为，因为公差为2，故最大．

∵，且，

∴，，此时．

（2）考虑等比数列，设为，

则有．

∵时，，

∴，经试验得只有时成立，

此时最大，且．

综上，两个数列的最大项之和为．

8、〖答案〗9

〖解析〗第一个长方形恰好可以套在一个直角边为100cm的等腰直角三角形中，而选择其中的一边（以AB段为例）折断后拼成的长方形恰好可以套在以AB为直角边的等腰直角三角形中．这样不断重复下去，当所有的木棒都变成1cm时，生成的长方形如下右图所示（斜边阶梯的边长为1cm）．

由此可以得到结论：长度为n厘米的木棒最终被分成n段1厘米后，产生的所有长方形的面积之和为（即三角数）．因此边长为100厘米的木棒能产生的所有长方形面积之和为cm²，但现在只有4908cm²，若有边长为10的矩形出现，则相对于有图，阴影面积至少会减少cm²，故不成立，而显然边长为9的矩形显然可以出现，

所以最长木棒长度最大是9cm．

AB…

AB…9、〖答案〗88

〖解析〗设车速为、老王步行的速度为，车接到老王的地点为B，

∵老王提前1小时出发步行的路程，导致车相比平时早到10分钟，

∴B地距老王家的路程，车需要走5分钟（注意来回），

∴此时老王已经步行了55分钟，故，

故A到公司老王和车的时间比为．

又A到公司，车和老王的时间相差为30分钟，

∴老王需要用33分钟，车需要用3分钟，

∴老王总共的不行时间为分钟．

10、〖答案〗36

〖解析〗

（1）如图，将表格分为9个区域，并且对应区域标上字母A,B,C,D，则不同字母对应的区域不能互相走到，所以可以走到的方格不能超过标A的区域的方格数36．

（2）由于方格可以重复走，

所以从左上角出发，可以走遍第一行，也可以走遍第一列；

进而由A区域每列中任何一个格都可以由第一个格走到．

综上，最多可以走到36个方格．

11、〖答案〗10100

〖解析〗不大于100的最大质数为97，大于100的质数最小为101，

所以所有盒子中的小球最后都一定会变成101个；

最终所有盒子中的小球共有个．

评选题

12、〖答案〗8460

〖解析〗设等差数列为，

（1）假设，则，即．

∵且，

∴必有，，

∴一奇一偶，故公差为奇数．

（2）假设，则，其中且，

∴．

（i）若为偶数，由于公差为奇数，所以奇偶不同，

∴为奇数，故，，

∴公差小于0，又，所以，不成立；

（ii）若为奇数，则，，故中间一项，

∵，即，

∴，，

∴，，

∴此数列为，

∴所有数的和为8460．

13、〖答案〗168

〖解析〗对于任意的个的白色正方体方块，

记最少需要染黑的小正方体个数为．

（1）只要把个小正方体中两个对着的面染黑，

即可满足无法找到8个可以放在大正方体角上的小正方体，

故染个面为黑色可以满足要求，所以；

（2）只要把个小正方体中4个面染黑使得剩下两个面不相邻，

即可满足无法找到个可以放在大正方体棱上（非角）的小正方体，

故染个面为黑色可以满足要求，

所以；

（3）只要把个小正方体的所有面全染黑，

即可满足无