数学花园探秘2021决赛初中组C卷真题含答案解析初中数学竞赛备考完整版可打印

PAGEPAGEPAGE2021年“数学花园探秘”科普活动初中组决赛试卷C（测评时间：2021年1月9日10:30—12:00）填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）“孪生素数”是指两个相差为2的素数对，例如3和5，29和31等．已知是一对孪生素数，且为合数，那么的最小值为________．如果两两不等的实数满足成等差数列，那么的值为________．水池如图，水池周围的每个方格代表一个房间，有公共边的房间之间均有一扇门．甲准备从某个房间开始，依次通过若干扇门和房间后回到出发点（除了开始的房间，每个房间至多经过一次）．如果规定每通过一扇门得10分，那么甲最多可以得到________分．水池如果表示不超过x的最大整数，那么的计算结果除以10000的余数为________．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）如图，是圆的三条弦，与、分别交于、两点．如果，那么________．CDBGHFAECDBGHFAE使得关于的方程组有正整数解的有序正整数对的个数为________．如图，三角形ABC中，，是BC边上的三等分点．过D作，交AC于点F；过E作，交AB于点G．如果，，那么________．GFEDCBAGFEDCBA如果实数满足，那么的最大值为________．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）一次函数的图象与二次函数的图象交于两点，如果中点的纵坐标为，那么线段AB的中垂线与直线的交点的纵坐标为________．若实数满足：，，，则的最小值为________．一条与x轴垂直的直线分别交反比例函数和（c为小于100的正整数）的图象于点．设O为坐标原点，那么OA与OB长度之积的最小值为________．（评选题）解答题（每小题15分，共30分）ABDC如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC＝CD，AB＋CD＝2AD．求∠BADABDCa,b是两个绝对值不超过500的整数．当时，的绝对值小于．请写出所有满足条件的，并说明理由．参考答案及解析ABABDCEF〖答案〗119

〖解析〗经试验，时，相应的都是素数．

而时，．

∴的最小值为119．

2、〖答案〗2

〖解析〗据题意，，通分得，于是，．

3、〖答案〗320

〖解析〗如下左图，将所有房间分成两类：

ABABABABAABAB水BABABABABABAABAB水BABAABAB池BABAABABABABA123456732983130水1011282913122726池1415242517162322212019184、〖答案〗7010

〖解析〗注意到，和均不是整数，

∴．

∴，

除以10000的余数与相同，等于7010．

5、〖答案〗18

〖解析〗设，则，．解得，．

6、〖答案〗8

〖解析〗满足的有序正整数对是．代入原方程组的第一个方程，得到4个二元一次不定方程．分别解方程，得到8个不同的有序正整数对．

7、〖答案〗39

〖解析〗分别过作，垂足分别为点，

，∴，，

设，则，∴，

解得，则．

RQPSGFEDCBARQPSGFEDCBA8、〖答案〗120

〖解析〗，

又∵，

因此，

∴，当时可取等号．

9、〖答案〗4

〖解析〗联立一次函数与二次函数，得，

设A,B两点的坐标分别为，则有，

设AB的中垂线与直线的交点的坐标为，则有，

即，

化简可得，

即，

注意到，而，

∴，即，

整理得，而一次函数的斜率，

∴．

10、〖答案〗75

〖解析〗注意到时，，即．

令，分别代入上式，相加得到

，，．

当时，可以满足题目条件，且．

11、〖答案〗100

〖解析〗设A,B的坐标分别为．

当时，OA与OB长度之积的最小值是100，与c无关．

12、〖答案〗108°

〖解析〗如图，延长CA至E，使AE＝AB，连DE；

取CE中点F，连DF．

∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA．

∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠CDA＝180°．

从而∠EAD＝180°－∠CAD＝∠BAD．

∴△EAD≌△BAD．

有∠E＝∠ABD＝∠BDC．

由AC⊥BD知∠ECD＋∠E＝∠ECD＋∠BDC＝90°．

∵DF是直角△ECD斜边中线，

∴DF＝EC/2＝(CA+AB)/2＝(CD+AB)/2＝AD．

∴∠CDA＝∠CAD＝∠AFD＝2∠ACD．

从而∠CAD＝180°÷5×2＝72°，

∴∠BAD＝180°－72°