云南开远市第一中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南开远市第一中学2025-2026学年下学期期中考试高一试题（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，请将答题卡上交.4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A3.设，则（）A. B.C. D.【答案】B4.已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C5.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B6.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】C7.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C8.已知平面向量满足，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为B.复数在复平面中对应的点在第三象限C.D.【答案】BC10.一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（）A.事件与事件是互斥事件 B.事件与事件是对立事件C.事件与事件相互独立 D.【答案】BC11.已知函数，则（）A.是奇函数B.C.在上单调递减D.若，则的最大值为【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________.【答案】1013._____．【答案】14.在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若的面积为，求a、b的值．【答案】解：（1）由余弦定理有，因为，可得.（2）由题意有，可得，由余弦定理得：，将，代入可得：，可得，所以，所以，由，解得或，故，或，．16.已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】解：（1）由题意可得：，解得：.（2）由（1），则，对称轴为直线，当，即时，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，所以．综上所述，17.已知函数的最小正周期为，最大值为.（1）求函数的解析式和对称中心；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】解：（1）由，得

，而，得.所以由，得，而，所以，则.由解得，，所以的对称中心为，.（2）将的图象向左平移个单位，得到函数，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数.由函数在区间上有两个不同的零点，即在区间上有两个不同的交点.而时单调递增，时单调递减，且，，，所以有.18.某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值以及自习时间在内的学生人数；（2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知：，解得，一个学期自习时间在内的学生人数为.（2）该校学生一个学期自习平均时间，即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时.（3）一个学期自习时间落在的抽取人数为，这4人分别记为A，B，C，D，一个学期自习时间落在的抽取人数为，这2人分别记为a，b，再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为：，共有15个样本点，其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点，所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.19.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且．（1）若二面角的大小为，求DM的长；（2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围．【答案】解：（1）取中点P，过P点作，交于点Q，连接．由直四棱柱，可得平面，而平面，所以，即，又因为，所以，因为底面是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，则，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，即为二面角的平面角，所以．在平面中，由，可得．在中，，，则，解得.（2