2026-2027学年广西柳州市柳江中学高二（上）自主练习数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广西柳州市柳江中学高二（上）自主练习数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|−1≤x≤10}，集合B={x|(x−3)(x+2)<0}，则A∩B等于(

)A.{0,1,2} B.[−1,3) C.{1,2} D.[−2,2)2.已知空间向量a=(0,2,0)，b=(1,0,−1)，则(aA.−2 B.−1 C.1 D.23.已知双曲线C：x2a2−y2bA.8 B.433 C.4或434.下列说法正确的有(

)A.直线y=3x−2在y轴上的截距为2

B.过点P(1,2)且在x，y轴截距互为相反数的直线方程为x−y+1=0

C.两条平行直线3x−y+1=0与23x−2y+3=0之间的距离为1

D.过点5.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB=2，A.8π B.9π C.10π D.11π6.设直线l的方程为2x−2ycosθ+3=0，则直线l的倾斜角α的范围是(

)A.[0,π] B.[π4,π2]7.已知曲线C：x2+y2=4，从C上任意一点P向y轴作垂线PP′，P′为垂足，则PP′的中点A.x2+y24=1 B.x8.函数f(x)=(−a−5)x−2,x≥2x2+2(a−1)x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(xA.[−4,−1] B.[−4,−2] C.(−5,−1] D.[−5,−4]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C：x2m−2+A.若曲线C表示圆，则m=3

B.若曲线C表示椭圆，则2<m<4

C.若曲线C表示双曲线，则m<−4或m>2

D.曲线C不可能表示等轴双曲线10.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，下列正确的是(

)A.ω=2,φ=π3

B.函数f(x)的图象关于直线x=π3对称

C.函数y=f(x+π6)11.已知圆C1：x2+y2=1，动圆C2的半径为A.若圆C1与圆C2相切，则m=2

B.若圆C1与圆C2相交，则1<m<2

C.若圆C1与圆C2相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1

D.过圆C2的圆心(m,n)作圆C1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是

．13.已知实数a，b满足lg(2a+3b)=lga+lgb，则2a+3b的最小值为

．14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上，直线PF1与椭圆C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C的圆心在直线x+2y−7=0上，且经过点A(1,2)，B(3,0)．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程．16.(本小题15分)

甲乙丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为12，乙能破译的概率为13，丙能破译的概率为14．

(1)求三人都破译出密码的概率；

(2)求密码被破译(至少一人破译出)的概率；

17.(本小题15分)

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(b,cosB)，n=(2c−a,cosA)，且m//n．

(1)求角B的大小；

(2)若b=3，D为边18.(本小题17分)

如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC=AM=2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连接PB，PC．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)若E为PC的中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)线段PC上一动点G满足PGPC=λ(0≤λ≤1)，判断是否存在λ，使平面GAD与平面PAD夹角正弦值为55，若存在，求出19.(本小题17分)

已知P(3,2)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，Q是P关于x轴的对称点，椭圆C的离心率为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．

①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值．

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】x+y−9=0或x−2y=0

13.【答案】24

14.【答案】10515.【答案】解：(1)因为A(1,2)，B(3,0)，所以线段AB的中点为M(2,1)，

直线AB的斜率为kAB=0−23−1=−1，

所以线段AB的垂直平分线方程为y−1=x−2，即x−y−1=0，

由x−y−1=0x+2y−7=0，解得x=3y=2，

所以圆C的圆心为C(3,2)，半径为r=(3−1)2+(2−2)2=2，

所以圆C的标准方程为(x−3)2+(y−2)2=4；

(2)点C(3,2)到直线x=1的距离为2，即直线x=1与圆C相切；

当切线斜率存在时，设切线方程为y−6=k(x−1)，即16.【答案】解：(1)甲乙丙三名同学独立破译一份密码，

甲能破译的概率为12，乙能破译的概率为13，丙能破译的概率为14，

记甲、乙、丙破译出密码分别为事件A，B，C，

则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，且A，B，C相互独立．

三人都破译出密码的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=12×13×14=124．

17.【答案】解：(1)因为m/​/n，所以bcosA=(2c−a)cosB．

在△ABC中，由正弦定理得，sinBcosA=(2sinC−sinA)cosB，

展开得，sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，即sinC=2sinCcosB．

因为sinC≠0，得cosB=12.又B∈(0,π2)，所以B=π3．

(2)因为点D是边AC的中点，由向量中线公式，得BD=12(BA+BC)，

两边平方得，|BD|2=14(|BA|2+|BC|2+2BA⋅BC)，即BD2=14(a2+c2+ac)．

因为b=3，B=π3，由余弦定理得，b2=a2+18.【答案】(1)因为A，D分别为MB，MC的中点，所以AD//BC．

因为BM⊥BC，所以BM⊥AD，所以PA⊥AD，

又因为PA⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD

(2)33

(3)19.【答案】解：(1)由题意知9a2+2b2=1a2=b2+c2ca=33，解得a=23b=2