湖北襄阳市第四中学2026届高三下学期阶段检测（二）数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北襄阳市第四中学2026届高三下学期阶段检测（二）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求.1.若，则复数（）A. B. C. D.【答案】A2.已知集合，⫋则符合条件的集合B的个数为（）A. B. C. D.【答案】C3.圆与圆的公共弦长为（）A.2 B. C. D.4【答案】D4.已知为递减的等比数列，且，，则公比（）A. B. C. D.【答案】B5.已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（）A. B. C. D.【答案】C6.已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B7.已知函数，且，则实数t的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A8.已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）A. B.C. D.【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】BC10.下列说法正确的是（）A.若，则的值为或．B.从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有种.C.的展开式中的系数为．D.从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为60．【答案】ACD11.已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（）A.B.的内心在定直线上C.若，则D.若，则的面积为【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的部分图象如图所示，则为________．【答案】13.已知曲线，，，，当轴时，________．【答案】14.2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次且竖直方向移动1次的概率为________．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴．（1）求的方程；（2）过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程.解：（1）因为点在上，所以，又为的右焦点，轴，则，故，所以，因此的方程为.（2）设直线的方程为，，因为斜率大于的直线与的右支交于两点，所以，即，故，联立方程，消去得，则，，所以，解得，即，故直线的方程为.16.小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立.（1）在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率；（2）若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望.解：（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件，，故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为，（2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王），则，由数学期望的性质可知，对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布，；；则.17.已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：对于任意，都有．（1）解：当时，由得，所以，即，当时，，所以，所以，故，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.（2）证明：，所以，当时，，不等式成立，当时，，综上.18.已知函数（1）当时，，求的取值范围；（2）函数有两个不同的极值点，（其中），证明：．（1）解：函数，，且，①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立；②当时，令，得，当时，此时单调递减，故，不满足题意；综上可知：，即的取值范围为．（2）证明：由，故，因为函数有两个不同的极值点，（其中），故，，要证：，只要证：，因为，于是只要证明即可，因为，，故，因此只要证，等价于证，即证，令，等价于证明，令，，因为，所以，故在上单调递增，所以，即.19.四面体是最简单的多面体，只需4个三角形面，6条棱，4个顶点，就能围成一个封闭空间，这种用最少元素实现三维存在的特性，让它在多面体家族中具有最原始而纯粹的地位．（1）已知四面体的棱长均为2，E，F分别是棱的中点，G为直线上一点，Q为底面内部的一个点，Q到侧面，侧面，侧面的距离分别是，，．（i）求的值；（ii）求直线与直线所成角的余弦值的最大值．（2）若存在具有如下性质的四面体，其中2条棱长度为a，另外4条棱长度为2，求实数a的取值范围．解：（1）（i）设到底面的高为，则由等体积公式可知又，．（ii）设正四面体的棱长为，，则，，，，，，，要使直线与直线所成角的余弦值最大，即最大，，当时，，当时，，当时，易知，，则，即