湖南衡阳市第七中学2026届高三下学期全真模拟(考前测试)数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南衡阳市第七中学2026届高三下学期全真模拟(考前测试)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C2.若，则（）A. B. C.1 D.5【答案】A3.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.8【答案】A4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B5.已知为等比数列的前项积，若，且（）A. B. C. D.【答案】B6.若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C7.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在区间上单调递增 B.的最小值为C.方程的解有个 D.导函数的极值点为【答案】ABD11.棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）A.B.若直线AK与平面PQR的交点为M，则C.四面体ABCD外接球的表面积是D.四面体KPQR的体积是【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为____________．【答案】13.记为正项数列的前n项积，已知，则________；________．【答案】2；202714.已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是，的中点，记平面与平面的交线为l．（1）证明：直线平面；（2）求与平面的正弦值．（1）证明：，分别是，的中点，；平面，平面，平面；平面平面，平面，.平面底面，平面底面，，平面，平面，平面.（2）解：设与平面的夹角为.是的中点，平面即平面；由（1）可知，平面，，平面.与平面的夹角，.即与平面的正弦值为1.16.已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中．（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.解：（1）由，得，而，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，则，当时，an=显然满足上式，则.由，得：，，以上个式子相乘，可得bnb即bn=n又满足上式，所以.（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则an+1-整理得，所以，=4则3T两式相减得：-2所以Tn17.某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立.（1）求的分布列；（2）记随机变量.已知，.（ⅰ）证明：，；（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.（1）解：依题意，均服从完全相同的超几何分布，故的分布列为.（2）（ⅰ）证明：由题可知，，故，（ⅱ）解：由（ⅰ）可知的均值先计算的方差所以依题意有解得，．所以可以估计，．18.已知函数．（1）若，，求证：有且仅有一个零点；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；（3）若满足第（2）问所得的取值范围，且，求在时的最小值，并指出取到最小值时的取值．（1）证明：由题意，当时，fx=ex+sinx-因此Fx=ex当x≥3π4时，有又ex≥e3π故在3π4,又F3π4所以当x≥3π4时，当0≤x<3π4时，sinx令Hx=ex-13x-1又，所以．当时，；当时，，从而．故当0≤x<3π4当-π4≤x<0时，有ex所以F'故在-π4又F-π4=e-π4综上，当，x≥-π4时，有且仅有一个零点．（2）解：因为f0=若对任意，恒成立，则是在区间上的最小值点，因此f'0≤0．又f'x=-ae-ax+cosx+sinx故是必要条件．下面证明也是充分条件．当x≤-π4时，因为且，所以e-ax令，则t≥π4，于是e因为sint+cost=2sint+π当-π4≤x≤0时，仍有因为p'x在-π4,0上，x且e-x≥1，所以p'x≤又，所以当-π4≤x≤0时，，从而综上，实数的取值范围为．（3）解：由第（2）问可知，当满足题意时，，且对任意，都有．又因为，所以1+sinx≥0于是当时，gx因此在时的最小值不小于．当时，，所以．当（）时，有且，所以1+sinx=0，从而．故在时的最小值为，取到最小值时或，其中．19.在直角坐标平面内，设P是圆上的动点，轴，垂足为点Q，点M在的延长线上，且，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设l是过点的动直线．①当直线l的斜率为时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线与x轴的交点为F，求面积的最小值．解：（1）设，则，∵QPQM=23代入中得，整理得，故曲线C的方程为.（2）的直线方程为，整理得，如图，，与椭圆相切于点，当在如图所示的位置时，点到直线