北京八十中2025-2026学年第一学期九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025北京八十中初三（上）期中数学2025.11一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.已知的半径为5，点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（）A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法确定4.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A. B.C. D.5.如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（）A. B. C. D.6.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A. B.C. D.7.如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（）A. B. C. D.8.如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（）A.点A B.点B C.点C D.点D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若点与点关于原点对称，则点的坐标为________．10.写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．11.点，在抛物线上，则__________（填“”“”或“”）．12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m．13.如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____．14.如图，A，B，C三点都在上，，则________．15.如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于_______．16.已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则；②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共68分，第17—18题每题4分，第19-21题每题5分，第22-25题每题6分，第26—28题每题7分）17.解方程：．18.解方程：．19.如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．（1）求证：；（2）连接，若，求的度数．20.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…012345…y…30038…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当时，y的取值范围为______．21.已知：和圆外一点，求作：过点的的切线．作法：①连接；②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，连接，交于点；③以为圆心，长为半径作，交于点，；④作直线，．所以直线，为的切线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，，，，，．，，是线段的垂直平分线．，为的直径，，在上，（______）（填推理的依据）．半径，半径，直线，为的切线（______）（填推理的依据）．22.已知关于的方程．（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围．23.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系满足，设公司获得的总利润为元．（1）求与之间的函数表达式；（2）当取何值时，最大？最大值是多少？24.如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点．（1）求证：是圆O的切线；（2）若为等边三角形，，求圆半径的长．25.在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间．铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究．记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水位（单位：厘米），部分数据如下：t010203040506001.52.83.94.85.56.002.04.06.08.010.012.0通过分析数据发现，可以用函数刻画与t，与t的关系，回答下列问题：（1）可以看作是关于t的正比例函数，解析式为________；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________（结果保留小数点后一位）；②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升．当受水壶水位为时，用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）．26.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．27.在中，，，于点．点在射线上，连接，作于点．连接，作于点，作交直线于点，连接．（1）当点在线段上时，在图1中补全图形，并直接写出的度数；（2）当点在线段的延长线上时，利用图2探究线段与之间的数量关系，并证明；（3）取线段的中点，连接，若，直接写出线段的长的最小值．28.在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”．（1）如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______；（2）已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围；（3）已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．12345678CABBADCB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为，故答案为：．10.【答案】设二次函数的表达式为(a≠0)，

∵图象为开口向上，且经过(0，1)，

∴a＞0，c=1，

∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．

故答案为：(答案不唯一)．11.【答案】解：把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，，∴．故答案为：．12.【答案】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示：∴，∴，∴；故答案为：1．13.【答案】∵，∴，解得x=3或x=-1，∴点B的坐标为（3，0），当x=0时，y=3，∴点A的坐标为（0，3），∴不等式的解集为,故答案为：．14.【答案】解：如下图所示，，，四边形是的内接四边形，，．故答案为：．15.【答案】解：∵分别切于A、C两点，∴，同理可得：，∵的周长为10，∴，∴，∴，故答案为：5．16.【答案】解：对于①：当时，函数变为，与只有一个交点，当时，，∴，故图像与轴只有一个交点时，或，①错误；对于②：当时，方程变为，有一个整数根为，当时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；对于③：由已知条件得到，且或，当时，开口向上，对称轴为，∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，∵，∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0；当时，开口向下，自变量离对称轴越远，∴其对应的函数值越小，∴时，函数取得最大值为，∵，∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误；对于④：时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故不符合；时，对于函数，当时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；当时开口向下，此时函数的最大值为，∵，∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确；综上所述，②④正确，故答案为：②④．三、解答题（本题共68分，第17—18题每题4分，第19-21题每题5分，第22-25题每题6分，第26—28题每题7分）17.【答案】解：，，，．18.【答案】解：∵，∴，∴，∴或，∴，．19.【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，由旋转得，，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴的度数是．20.【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，由表格可得：，解得：，∴该二次函数的解析式为；（2）解：由题意可得函数图象如下：（3）解：当时，，当时，，当时，函数有最小值，最小值为：，∴当时，y的取值范围为；故答案为：．21.【答案】（1）解：如图，直线，即为所求；（2）证明：连接，，，，，．，，是线段的垂直平分线，，为的直径，，在上，（直径所对的圆周角是直角），半径，半径，直线，为的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．22.【答案】（1）证明：由方程可得，，，，则判别式，则无论为何值，方程总有两个实数根；（2）解：由方程可得，解得，，由有一个根为负数可得，，解得．23.【答案】（1）解：由题意可得，，再由可得，，即，答：与之间的函数表达式为；（2）解：由（1）可得，，∵，开口向下，对称轴为，∴时，取得最大值，最大值为，答：当时，的值最大，最大值为．24.【答案】（1）证明：连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：为等边三角形，，是的直径，，，，，，，在中，，，，，．半径的长为2．25.【答案】（1）解：设，则，解得：，所以．（2）解：如图：函数，即为所求．（3）解：①当时，；观察函数图象，对于，当时，；当时，，∴推测：当时，，∴水位之差：．故答案为：．②当时，三壶补偿模型（标准时间）：分钟，单壶模型：由数据可得：时，分钟，∴单壶模型计时比标准时间慢，且慢分钟．故答案为：慢，7．26.【答案】（1）将代入二次函数，得：，令，得，解得：，，，对称轴：直线．（2）将抛物线解析式整理得．令，得，解得：，∴抛物线与x轴交点坐标分别为，．∵抛物线开口向上，且，∴结合图象可知．∵，，中有且只有一个大于零，．∴①当时，．，解得．②当时，．，解得．综上所述，，．27.【答案】（1）解：补全图形，如图所示：∵，，∴，取的中点，连接，，∴，∴，，，四点共圆，∴，∵，，，∴，∴；（2），理由如下：如图所示：∵，，，∴，，由（1）同理可得：，，，四点共圆，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴；（3）如图，取的中点，连接，，，取的中点，连接，由（2）同理可得：，而，∴，连接，∵，∴，∴，∴，而，∴，∴，∴，∴，∴，而为中点，为中点，∴，∴在以为圆心，半径为2的弧上运动，∴当，，三点共线时，最小，在中，此时，∴．28.【答案】（1）如图，∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦，∴线段是以点为中心的“关联线段”；∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦，∴若线段是以点P为中心的“关联线段”，则与关于P点成中心对称，则，而的坐标只能是，∴不可能在上，∴线段不是以点P为中心的“关联线段”，综上，以点P为中心的“关联线段