北京北京中学2025-2026学年第一学期九年级期中数学试卷（含答案）

2025北京北京中学初三（上）期中数学满分100分考试时间120分钟2025.11考生须知1．本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.3.将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（）A. B.C. D.4.已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（）A. B. C.且 D.且5.如图，抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则与x轴的另一交点的坐标是（）A. B. C. D.6.在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（）A.点 B.点 C.点 D.点7.下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中．…13……020…根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.8.将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转α，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（）①可能是直角三角形；②一定是等边三角形；③可能与全等；④．A.①③ B.①③④ C.②③④ D.②④二、填空题（共16分，每题2分）9.点关于原点对称的点的坐标是_______．10.一个二次函数满足：①开口向下；②经过点．此二次函数的解析式可以是______．11.已知一元二次方程的两个根分别是，，则_____．12.如图，将绕点C顺时针转得到．若A、D、E在同一条直线上，，则______（用含有的式子表示．）13.我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________．14.已知二次函数，当x<m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．15.若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是_______．16.在书法绘画社团的活动中，小圆和小方两名同学合作制作主题为“至真”“至善”“至美”“至诚”的折扇，每个折扇都先由小圆进行绘画，然后再由小方题字，两位同学完成每个折扇各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：至真至善至美至诚小圆9486小方7729（1）如果按照至真→至善→至美→至诚的顺序制作，两位同学合作完成这四个折扇的总时长最少为____分钟；（2）若想用最短的时间完成这四个折扇的制作，制作的顺序应该是_______．三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：．18.已知是方程的一个根，求代数式的值．19.如图，的三个顶点的坐标分别为：，，．（1）请画出将关于y轴轴对称的；（2）请画出将绕原点O顺时针旋转的；（3）在x轴上找一点P，使得的值最小，请直接写出点P的坐标_______．20.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；（2）若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值．21.已知二次函数．（1）二次函数图象的顶点坐标为_________；（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；（3）结合函数图象，当时，y的取值范围是_________．22.随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率．23.已知，，，点O为中点，射线与线段交于点D，将射线绕点O逆时针旋转，与线段交于点E．（1）完成作图，并证明：；（2）若，求点E到直线的距离．24.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表：刹车时车速(千米/时)051015202530刹车距离(米)00.10.30.611.62.1（1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．25.小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是_______；（2）下表是y与x的几组对应值．…0134……1441…表中的________；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______；（4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______．26.平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N．①当时，直接写出的长；②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围．27.已知等边，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，将射线绕点C顺时针旋转与射线交于点D，连接．（1）的度数是_______；（2）在图1中，过点A作于点E，求证：；（3）如图2，取的中点M，线段上是否存在一定点N，使得无论为何值，都满足？若存在，请指出点N所在的位置，并证明；若不存在，请说明理由．28.在平面直角坐标系中，对于图形P给出如下定义：图形P绕点顺时针旋转90°得到的图形记为图形Q，对于图形Q上任意一点，存在实数k满足，则称满足条件的k的最大值为图形P关于点M的“旋转最大值”．（1）若M为原点，，，线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段．①画出线段；②直接写出线段BC关于点M的“旋转最大值”：_______；（2）若M为原点，，，，直接写出线段关于点M的“旋转最大值”∶_______；（3）若M为，图形P是顺次连接，，，所组成的四边形，图形P关于点M的“旋转最大值”不超过，则t的取值范围是_____．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．12345678DACDBACD二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】解：点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．10.【答案】解：∵二次函数的图象开口向下，二次函数经过点，∴，二次函数与轴交于点，即的值可以是，当，点是二次函数的顶点时，二次函数解析式为．经验证，二次函数，满足开口向下且过点．故答案为：（答案不唯一）．11.【答案】解：一元二次方程中，，，；∵，分别是一元二次方程的两个根，故，；；将，代入，原式．故答案为：．12.【答案】解：将绕点顺时针旋转得到．，，，点，，在同一条直线上，．．故答案为：．13.【答案】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺，根据勾股定理可列方程：，故答案为：．14.【答案】二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数递减；当时，函数递增，由题意，当时函数递减，故需；故答案为．15.【答案】函数，该函数为二次函数，开口向上，与x轴交于点和，方程，即，表示求函数与水平线的交点，二次函数顶点在轴下方，且在轴上方，方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧，已知，故．故答案是：．16.【答案】（1）∵小圆绘画顺序为至真、至善、至美、至诚，∴小圆绘画结束时间：至真结束于9分钟，至善结束于13分钟，至美结束于21分钟，至诚结束于27分钟．小方题字顺序按绘画完成顺序：至真题字从9分钟开始，结束于16分钟；至善题字从16分钟开始（因小方忙至16分钟），结束于23分钟；至美题字从23分钟开始，结束于25分钟；至诚题字从27分钟开始（因至诚绘画27分钟完成），结束于36分钟．∴总时长为36分钟，故答案为：36；（2）应用流水车间调度原理：对于每个折扇，比较小圆绘画时间（a）和小方题字时间（b）．将的折扇（至善、至诚）按a升序排列：至善（）、至诚（）．将的折扇（至真、至美）按b降序排列：至真（）、至美（）．合并序列：至善→至诚→至真→至美．此顺序下总时长最小，为29分钟．故答案为：至善→至诚→至真→至美．三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】∵∴，即∴或∴，．18.【答案】解：是方程的一个根，代入得，，19.【答案】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：如图所示，点P即为所求，∴，故答案为：．20.【答案】（1）解：，无论取何值，此方程总有两个实数根（2）解：关于的一元二次方程，得，.该方程的根都是正整数，，.为正整数，21.【答案】（1）解：，∴顶点坐标为，故答案为：；（2）解：函数图象过，描点连线即可；（3）解：由题意，当时抛物线有最小值；当时，；当时，，由图象可知，当时，．故答案为：．22.【答案】解：设全天包车数的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：全天包车数的月平均增长率为．23.【答案】（1）解：所作图形如图：连接．∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：作于点，设，∵，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，，即，∴，∵点O为中点，∴，∴，解得，∴点E到直线的距离为．24.【答案】（1）如图所示；（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数．∵图象经过原点，∴设二次函数的表达式为．选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得解得∴二次函数的表达式为．代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式．（3）∵当x=100时，y=21<40，∴汽车已超速行驶．25.【答案】（1）解：由题意得：，解得：，∴函数的自变量x的取值范围是；故答案为；（2）解：把代入函数得：，即；故答案为；（3）解：由（2）中表格可作函数图象如下：由图象可知：该函数的一个性质可以为图象关于直线对称；故答案为图象关于直线对称；（4）解：由（3）的图象可知：当点和点在函数的图象上，且成立，则可分：当点A、B在直线的左侧时，则，此时无解；当点A、B在直线的右侧时，则，解得：；当点A、B在直线的两侧时，即，解得，则需满足点A到直线的距离比点B到直线的距离更远，则，此时无解；综上所述：a的取值范围是；故答案为．26.【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：①在中，当时，，∴；在中，当时，，∴，∴；②联立，解得或，∴直线与抛物线交于点和点，∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；在中，当时，，∴；在中，当时，，∴，∴，∵，∴当时，随t的增大而减小．27.【答案】（1）解：设交于点，由旋转的性质得，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）证明：在上取点，使得，连接，则，由（1）知，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴；（3）解：存在，点为的中点，证明如下：过点A作交延长线于点E，分别取的中点，连接，则是的中位线，∴，，∵，∴，∵点是的中点，∴，∴，∵点是的中点，点是的中点，∴是的中位线，∴，由（2）知，即，∴，由（1）知，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，由（2）知，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴．28.【答案】（1）解：①，绕原点顺时针旋转90°得到点．如图所示，线段即为所求．②由①可知，∴线段上的所有点的横坐标为正数，纵坐标为非正数，设为线段上一点，则，∴，∴，∴是直线与线段的交点，∴当直线恰好经过点时，有最小值，即此时k有最大值，∴，∴，∴线段关于点M的“旋转最大值”为，故答案为：；（2）解：如图所示，设线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段，分别过点B，作y轴的垂线，垂足分别为F、G，∴，由旋转的性质可得，∴，∴，∴，∴，∴，同理可得；当m为一个