2027中考数学复习-解答题专项集训29 图形的相似

第1页（共1页）2027年中考数学复习解答题专项集训之图形的相似一．解答题（共20小题）1．如图，在矩形ABCD中，BC边上有一动点P（不与B，C点重合）连接AP，作PE⊥AP交CD于点E．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）已知AB＝4cm，BC＝6cm，若BP的长为xcm，CE的长为ycm．①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当BP的长为多少时，CE的长最大，最大为多少？2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（3，0）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△ABC放大为原来的2倍得到的△A1B1C1，请写出点B的对应点B1的坐标；（2）画出将△ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△A2B2C2，写出点C的对应点C2的坐标；（3）请在图中标出△A1B1C1与△A2B2C2的位似中心M，并写出点M的坐标．3．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题．（1）过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：PC2＝PB•PA．4．已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）．（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1；（3）直接写出△OA1B1的面积．5．综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中∠ACB＝∠AED＝90°，将Rt△ABC保持固定，Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转．初步探究：（1）“善思小组”提出问题：如图2，若∠ABC＝30°，当点E落在AB边上时，连接BD，取BD的中点F，连接AF．判断四边形ACBF的形状，并说明理由．深入探究：（2）“博学小组”提出问题：如图3，当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接CD，BE，取BE的中点P，连接AP交CD于点Q，试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由．拓展延伸：（3）当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接BE，M是射线AC上的一点，连接DM，过点A作DM的垂线交BE于点G，若G是BE的三等分点，请直接写出的值．6．平行线是研究三角形相似的基本工具．【初步尝试】（1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）【深入研究】（2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′．【应用拓展】（3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3．①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是____________________．7．如图，在▱ABCD中，在AD延长线上取一点P，连接BP交CD于点E，且．（1）求的值．（2）若△BCE的面积为9，求△ABP的面积．8．如图，AB，CD均为⊙O的直径，点E在上，连接AE，交CD于点F，连接DE．∠EDB+∠EAD＝45°，点G在BD的延长线上，AB＝AG．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若BG＝4，tan∠EDB，求EF的长．9．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆AB高度为_________m；（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.6m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝14m．据此可得旗杆AB高度为_________m；（3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度DE＝1.8m，标杆CF＝5m，小王到标杆距离EF＝2m，标杆到旗杆距离FB＝4m，求旗杆AB的高度．10．综合与探究问题情境：如图1，已知正方形ABCD外有一动点E，△CEF是等腰直角三角形，∠ECF＝90°，连接BE，DF，请探究BE，DF的位置关系．问题解决：（1）请直接写出BE，DF的位置关系__________．（2）如图2，将图1中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰直角三角形CEF变为Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．拓展探究：（3）在（2）中，若，将Rt△CEF绕点C逆时针旋转α（0＜α＜90°），使D，E，F三点在同一条直线上，请直接写出BE的长．11．如图，在△ABC中，∠CAB＞∠ABC，在AB上方作∠ABD，使∠ABD＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，且BD＝BC，连接CD．（1）如图1，求证：∠CAB＝∠ABD．（2）如图2，若∠ACB＝120°，BC＝2AC，连接AD．①求∠ADB的度数；②若，求CD的长．（3）若∠ACB＝90°，点E为BC中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，当△BEF为直角三角形时，请直接写出的值．12．（1）【探究发现】如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D′E．求证：BE＝DF；（2）【类比迁移】如图2，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，CD′＝D′E，当CD′⊥DF时．①求证：△BCE∽△DCF；②若AB＝6，BC＝9，求CD′的长；（3）【拓展应用】如图3，已知四边形ABCD为菱形，AD＝5，AC＝6，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边CD上（顶点除外）时，且DF＝EF，求OF的长．13．如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）求证：AE2＝EF•EG．14．综合与探究：从特殊到一般是研究数学问题的常用思路，综合实践小组以特殊平行四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究．【特例研究】（1）在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．如图①，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为_______________；（2）如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；【类比探究】（3）如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并缩放得到△AEF（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时，求AE的长；（3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长．17．如图①所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图②是投石车投石瞬间的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G处，重锤挂在点P处，点A为支点，D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3m，CD＝3.6m，AG＝4m，投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，且CE＝0.8m，求此时点G到水平底板BC的距离．（结果保留整数）18．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（0，2），C（﹣3，4）．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B2C2，相似比为2，在网格图中画出△A2B2C2．19．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B，C重合），将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，连接DN，MN，AC．MN与边AD交于点E，与AC相交于点O．（1）求证：△ABM≌△ADN；（2）当AM平分∠BAC时，求证：AM2＝AC•AE．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在第四象限内将△A1B1C1按相似比2放大，画出放大后的图形△A2B2C2．

2027年中考数学复习解答题专项集训之图形的相似参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，在矩形ABCD中，BC边上有一动点P（不与B，C点重合）连接AP，作PE⊥AP交CD于点E．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）已知AB＝4cm，BC＝6cm，若BP的长为xcm，CE的长为ycm．①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当BP的长为多少时，CE的长最大，最大为多少？【分析】（1）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝90°，则∠BAP+∠BPA＝90°，再由垂线的定义和平角的定义可得∠BPA+∠CPE＝90°，则可证明∠BAP＝∠CPE，据此可证明结论；（2）①根据相似三角形的性质得到，即，据此可得答案；②利用二次函数的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠BPA+∠CPE＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAP+∠BPA＝90°．∴∠BAP＝∠CPE，∴△ABP∽△PCE；（2）解：①由题意得，CP＝BC﹣BP＝（6﹣x）cm，∵△ABP∽△PCE，∴，即，∴；②，∵，∴当x＝3时，y有最大值，最大值为，∴当BP＝3cm，CE的长最大，最大为．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，垂线的定义，平角的定义，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（3，0）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△ABC放大为原来的2倍得到的△A1B1C1，请写出点B的对应点B1的坐标；（2）画出将△ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△A2B2C2，写出点C的对应点C2的坐标；（3）请在图中标出△A1B1C1与△A2B2C2的位似中心M，并写出点M的坐标．【分析】（1）根据位似图形的性质，即可画出△A1B1C1；（2）根据平移的性质，即可画出△A2B2C2；（3）根据位似图形的性质，可得点M的坐标．【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求作的三角形，点B1的坐标（4，4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，点C2的坐标（2，2）；（3）点M即为所求作．M（﹣2，4）．【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，平移变换，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．3．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题．（1）过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：PC2＝PB•PA．【分析】（1）过点C作CP⊥OC即可：作射线OC，以点C为圆心，任意长为半径画弧，与射线OC交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点C与该交点作射线交AB的延长线于点P即可；（2）证明△PBC∽△PCA即可，已知公共角∠BPC＝∠CPA，由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB＝90°，CP是⊙O的切线得到∠OCP＝90°，根据同角的余角相等，再结合OA＝OC，等边对等角得到∠CAO＝∠ACO，等量代换证明∠BCP＝∠CAO即可．【解答】（1）解：⊙O的切线CP，如图即为所求；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，CP是⊙O的切线，∴∠ACB＝90°，∠OCP＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∠BCP+∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠BCP．∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠BCP＝∠CAO．又∵∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA，∴，∴PC2＝PB•PA．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，作图﹣复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．4．已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）．（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1；（3）直接写出△OA1B1的面积．【分析】（1）按要求把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE即可；（2）按要求作出位似图形即可；（3）根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）△ODE即为所求；（2）△OA1B1即为所求；（3）△OA1B1的面积为．【点评】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．5．综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中∠ACB＝∠AED＝90°，将Rt△ABC保持固定，Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转．初步探究：（1）“善思小组”提出问题：如图2，若∠ABC＝30°，当点E落在AB边上时，连接BD，取BD的中点F，连接AF．判断四边形ACBF的形状，并说明理由．深入探究：（2）“博学小组”提出问题：如图3，当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接CD，BE，取BE的中点P，连接AP交CD于点Q，试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由．拓展延伸：（3）当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接BE，M是射线AC上的一点，连接DM，过点A作DM的垂线交BE于点G，若G是BE的三等分点，请直接写出的值．【分析】（1）由旋转可得AD＝AB，∠BAD＝∠BAC＝90°﹣30°＝60°，则△ABD是等边三角形，然后由三线合一得到AF⊥BD，而∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝90°，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明即可；（2）方法一：过点E作EF∥PA交BA的延长线于点F，交CD于点M，利用平行线分线段成比例定理证明AP是△BEF的中位线，则，然后证明△FAE≌△DAC（SAS），则EF＝CD，可得，记AE与CD相交于点N，由全等三角形得到∠AEF＝∠ACD，再结合对顶角以及平行线的性质即可证明位置关系；方法二：延长AP至点F，使PF＝AP，连接BF，证明△APE≌△FPB，从而证明AE∥FB，C、B、F共线，再证明△ABF≌△DAC，得到CD＝2AP，再由角度的互余关系证明∠FQC＝90°，则问题可证；（3）方法一：过点E作ET∥AG交BA的延长线于点T，交MD于点X，记AG与MD的交点为点W，然后分两种情况讨论，当点G为靠近点E的三等分点时，则，证明∠TAE∽△DAM即可求解的值，当点G为靠近点B的三等分点时，同理可求；方法二：延长CB交EG延长线于点F，证明△AGE∽△FGB，得到，再有MD⊥AG，和∠EAG+∠MAG＝90°证明∠EAG＝∠AMD，再证明∠MAD＝∠ABF，由AD＝AB△MAD≌△FBA，故得到AM＝BF，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可．【解答】解：（1）四边形ACBF是矩形，理由如下：由旋转可得AD＝AB，∠BAD＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝90°，∵点F是BD的中点，∴AF⊥BD，即∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠ACB＝∠CBD＝90°，∴四边形ACBF是矩形；（2），AP⊥CD；理由如下：方法一：如图3.1，过点E作EF∥PA交BA的延长线于点F，交CD于点M，∴，∵P是BE的中点，∴BP＝EP，∴AF＝AB，∴AP是△BEF的中位线，∴，根据旋转的性质可得AE＝AC，AD＝AB，∠CAE＝∠BAD＝90°，∴AF＝AD，∠FAD＝90°，∵∠FAE＝90°+∠DAE，∠DAC＝90°+∠DAE，∴∠FAE＝∠DAC，在△FAE和△DAC中，，∴△FAE≌△DAC（SAS），∴EF＝CD，又∵，∴，记AE与CD相交于点N，∴∠ANC＝∠END，∵∠CAE＝90°，∴∠ANC+∠ACD＝90°，∵△FAE≌△DAC，∴∠AEF＝∠ACD，∴∠DNE+∠AEF＝90°，∴∠CME＝90°，∵EF∥PA，∴∠CQP＝∠CME＝90°，即AP⊥CD；方法二：延长AP至点F，使PF＝AP，如图3.2，连接BF，∵P是BE的中点，∴BP＝PE，在△APE和△FPB中，∴△APE≌△FPB（SAS），∴AE＝FB，∠PAE＝∠PFB，∴AE∥FB，∵Rt△ADE是绕点A逆时针旋转90°得到，∴∠DAE＝∠CAB，∠DAB＝∠CAE＝90°，AD＝AB，∴AE∥CB，∴C、B、F共线，∵∠CAD＝∠CAB+∠DAB，∠ABF＝∠ACB+∠CAB，∴∠CAD＝∠ABF，在△ABF和△DAC中，∴△ABF≌△DAC（SAS），∴AF＝CD，∠BFE＝∠ACD，∵AF＝2AP，∴CD＝2AP，即，∵∠ACF＝∠ACD+∠QCB＝∠BFA+∠QCB＝90°，∴∠AQC＝180°﹣90°+∠BAF﹣∠BAF＝90°，∴AP⊥CD；（3）的值为2或．理由如下：方法一：当点G为靠近点E的三等分点时，则，如图4，过点E作ET∥AG交BA的延长线于点T，交MD于点X，记AG与MD的交点为点W，∴，由旋转可得，AE＝AC，AD＝AB，∠CAE＝∠BAD＝90°，∴∠TAD＝180°﹣∠BAD＝90°，，∵ET∥AG，AG⊥DM，∴TE⊥MD，∴∠TAD＝∠TXD＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠T＝∠D，∵∠TAE＝90°+∠DAE，∠DAM＝90°+∠DAE，∴∠TAE＝∠DAM，∴∠TAE∽△DAM，∴，∴；当点G为靠近点B的三等分点时，则，如图5，过点E作ET∥AG交BA的延长线于点T，交MD于点X，记AG与MD的交点为点W，∴，由旋转可得，AE＝AC，AD＝AB，∠CAE＝∠BAD＝90°，∴∠TAD＝180°﹣∠BAD＝90°，，∵ET∥AG，AG⊥DM，∴TE⊥MD，∴∠TAD＝∠TXD＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠T＝∠D，∵∠TAE＝90°+∠DAE，∠DAM＝90°+∠DAE，∴∠TAE＝∠DAM，∴∠TAE∽△DAM，∴，∴，综上所述，的值为2或；方法二：如图6，延长CB交EG延长线于点F，∵Rt△ADE是绕点A逆时针旋转90°得到，∴AD⊥AB，AC⊥AE，∴AE∥CB，∴△AGE∽△FGB，∴，∵AG⊥DM，∴∠AMD+∠MAG＝90°，∵∠EAG+∠MAG＝90°，∴∠EAG＝∠AMD，∵AE∥CB，∴∠EAG＝∠F，∴∠AMD＝∠F，∵∠MAD＝∠MAB+∠DAB，∠ABF＝∠ACB+∠CAB，∴∠MAD＝∠ABF，∵AD＝AB，∴△MAD≌△FBA（AAS），∴AM＝BF，∵G是BE的三等分点，∴当E时，，当时，，或2．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质，相似三角形判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6．平行线是研究三角形相似的基本工具．【初步尝试】（1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）【深入研究】（2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′．【应用拓展】（3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3．①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是．【分析】（1）作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求；（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′，证明△ADE∽△A′D′E′，△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到∠BAC＝∠B'A'C'，即可得证；（3）①作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P；过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN；连接CF，过点E作EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ；在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′；作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求．②延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°，根据题意得到△A′D′B′∽△A′C′Q，进而B′D′C′Q，则求出C′Qmin即可求得B′D′min，当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值，过点B′作B′H⊥C′Q于点H，解三角形即可解答．【解答】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求．（2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′．∵DE∥AC，D′E′∥A′C′，∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′，∵∠CAD＝∠C′A′D′，∴∠ADE＝∠A′D′E，又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ADE∽△A′D′E′，∴，∵，∴，∵DE∥AC，D′E∥A′C′，∴，，∴，即，∵DE∥AC，D′E′∥A′C′，∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′，∴，，∴，即，∴，又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′，∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'，即∠BAC＝∠B'A'C'，∴△ABC∽△A'B'C'．（3）解：①如图，△A′B′C′即为所求；作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P；第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN；第3步：连接CF，过点E作EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ；第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′；第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求．②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°，∵l2∥l3，∴△A′D′B′∽△A′C′Q，∴，∴B′D′C′Q，∴求出C′Qmin即可求得B′D′min，当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值，过点B′作B′H⊥C′Q于点H，∵l2，l3之间的距离为4，∴B′H＝4，∴C′Qmin，∴B′D′min，故答案为：．【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．如图，在▱ABCD中，在AD延长线上取一点P，连接BP交CD于点E，且．（1）求的值．（2）若△BCE的面积为9，求△ABP的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△PDE∽△BCE，由此即可求解；（2）根据题意得到，证明△DEP∽△ABP，由相似三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∴∠P＝∠CBE，又∵∠PED＝∠BEC，∴△PDE∽△BCE，∴；（2）∵，∴，∵S△BCE＝9，∴S△PDE＝1，∵，∴，∴，同理可证△DEP∽△ABP，∴，∴S△ABP＝16，即△ABP的面积为16．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键．8．如图，AB，CD均为⊙O的直径，点E在上，连接AE，交CD于点F，连接DE．∠EDB+∠EAD＝45°，点G在BD的延长线上，AB＝AG．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若BG＝4，tan∠EDB，求EF的长．【分析】（1）由∠EDB+∠EAD＝45°，∠EDB＝∠EAB，得∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝45°，由AB为直径，得∠ADB＝90°，由AB＝AG，得∠GAD＝∠BAD＝45°，得∠GAB＝90°，即可得AG与⊙O相切；（2）连接BE，由AB＝AG．∠GAB＝90°，BG＝4，得BDBG＝2，得ABBD＝2，得OA，由tan∠EAB＝tan∠EDB，BE2+AE2＝AB2，得（AE）2+AE2＝（2）2，得AE＝6，由∠BOD＝2∠BAD＝90°，得tan∠EAB，得OFOA，得AF，即可得EF＝AE﹣AF．【解答】解：（1）证明：由∠EDB+∠EAD＝45°，∠EDB＝∠EAB，得∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝45°，由AB为直径，得∠ADB＝90°，由AB＝AG，得∠GAD＝∠BAD＝45°，得∠GAB＝90°，得AG与⊙O相切；（2）解：连接BE，由AB＝AG．∠GAB＝90°，BG＝4，得BDBG＝2，得ABBD＝2，得OA，由tan∠EAB＝tan∠EDB，BE2+AE2＝AB2，得（AE）2+AE2＝（2）2，得AE＝6，由∠BOD＝2∠BAD＝90°，得tan∠EAB，得OFOA，得AF，得EF＝AE﹣AF．【点评】本题主要考查了切线和圆中有关计算，解题关键是勾股定理的正确应用．9．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆AB高度为11.3m；（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.6m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝14m．据此可得旗杆AB高度为11.2m；（3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度DE＝1.8m，标杆CF＝5m，小王到标杆距离EF＝2m，标杆到旗杆距离FB＝4m，求旗杆AB的高度．【分析】（1）由影长EF恰好等于自己的身高DE，知△DEF是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，故AB＝BC＝11.3m，（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE，∴△DEF是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC＝11.3m，故答案为：11.3；（2）如图：由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB，又∠DEC＝90°＝∠ABC，∴△DEC∽△ABC，∴，即，解得AB＝11.2，∴旗杆高度为11.2米，故答案为：11.2；（3）如图：过D作DH⊥AB于H，交CF于G，则DG＝EF＝2m，HG＝BF＝4m，DE＝GF＝BH＝1.8m，∴CG＝CF﹣FG＝3.2（m），∵CF⊥BE，AB⊥BE，∴CG∥AB，∴△CDG∽△ADH，∴，∴，∴AH＝9.6，∴AB＝AH+BH＝9.6+1.8＝11.4（m），答：旗杆AB的高度为11.4m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握似三角形的判定和性质定理是解题的关键．10．综合与探究问题情境：如图1，已知正方形ABCD外有一动点E，△CEF是等腰直角三角形，∠ECF＝90°，连接BE，DF，请探究BE，DF的位置关系．问题解决：（1）请直接写出BE，DF的位置关系BE⊥DF．（2）如图2，将图1中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰直角三角形CEF变为Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．拓展探究：（3）在（2）中，若，将Rt△CEF绕点C逆时针旋转α（0＜α＜90°），使D，E，F三点在同一条直线上，请直接写出BE的长．【分析】（1）证明△DCF≌△BCE，即可解答；（2）证明△DCF∽△BCE，即可解答；（3）同（2）原理可得△DCF∽△BCE，利用勾股定理列方程，即可解答．【解答】解：（1）如图，DC交BE于H，DF交BE于G，∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∴∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝∠ECF+∠DCE，即∠DCF＝∠BCE，在△DCF与△BCE中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴∠CDF＝∠GBC，∴∠CDF+∠DHG＝∠GBC+∠BHC＝90°，∴∠DGH＝90°，∴BE⊥DF；故答案为：BE⊥DF；（2）成立，理由如下：如图，设BE与DF，DC的交点分别为点H，G，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCE＝∠ECF+∠DCE，即∠BCE＝∠DCF，∵，∴△BCE∽△DCF，∴∠CBE＝∠CDF，∵∠BCD＝90°，∴∠BGC+∠CBE＝90°，∵∠BGC＝∠DGH，∴∠DGH+∠CDF＝90°，∴∠DHG＝90°，∴BE⊥DF；（3）如图，当点D，E，F在同一条直线上时，连接BD，∵四边形ABCD为矩形，∴，∠BCD＝90°，∵，∴，由勾股定理可得，，在Rt△CEF中，CF＝2，，∴，由勾股定理可得，，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCE＝∠ECF+∠DCE，即∠BCE＝∠DCF，∵，∴△BCE∽△DCF，∴，∴，由（2）可知BE⊥DF，∴BE2+DE2＝BD2，即，解得DE＝2或DE＝﹣8（舍去），∴．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用上述性质是解题的关键．11．如图，在△ABC中，∠CAB＞∠ABC，在AB上方作∠ABD，使∠ABD＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，且BD＝BC，连接CD．（1）如图1，求证：∠CAB＝∠ABD．（2）如图2，若∠ACB＝120°，BC＝2AC，连接AD．①求∠ADB的度数；②若，求CD的长．（3）若∠ACB＝90°，点E为BC中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，当△BEF为直角三角形时，请直接写出的值．【分析】（1）通过三角形内角和求证即可；（2）①延长AC，过点B作BE⊥AC，垂足为E，导特殊角易得∠CBE＝90°﹣∠ECB＝30°，可得AE＝BD，再证△DAB≌△EBA（SAS），即可得解；②连接DE，设CE与BD相交于点F．解三角形易得BE，由勾股可得AB＝7，再证△EDC∽△ACB，即可得解；（3）分类讨论，当∠BFE＝90°时，导角易证△DFB∽△BFE，可得DF＝2BF＝4EF，解Rt△BDF即可得解；当∠BEF＝90°时，易证△BDC是等边三角形，所以tan60°．【解答】（1）证明：∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，∵∠ABD＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，∴∠CAB＝∠ABD；（2）解：①如图1，延长AC，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则∠BEA＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝60°，∴∠CBE＝90°﹣∠ECB＝30°，∵∠BEA＝90°，∴BC＝2CE，∵BC＝2AC，∴AC＝CE，∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴AE＝BD，∵∠ABD＝∠CAB，AB＝BA，∴△DAB≌△EBA（SAS），∴∠ADB＝∠BEA＝90°；②解：如图2，连接DE，设CE与BD相交于点F．由①知，，．在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，，在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，根据勾股定理得，．由①知，△DAB≌△EBA，∴EA＝DB，∵∠ABD＝∠CAB，∴FA＝FB，∴，DF＝EF，∴，∵∠AFB＝∠DFE，∴∠FAB＝∠FDE＝∠FED，∵∠ACB＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣∠CAB＝60°﹣∠CAB，∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝∠CAB﹣（60°﹣∠CAB）＝2∠CAB﹣60°，∵BD＝BC，∴，∴∠CDE＝∠BDC+∠FDE＝120°﹣∠CAB+∠FAB＝120°，∴∠CDE＝∠ACB，∴△EDC∽△ACB，∴，∴，∴；（3）根据题意可知∠EBF≠90°，则分两种情况讨论：①∠BFE＝90°时，方法一：∵E是BC中点，∴设BE＝CE＝a，则BC＝BD＝2a，设∠CAB＝∠ABD＝α，则∠ABC＝90°﹣α，∠BDF＝90°﹣α，∴∠EBF＝∠BDF，∵∠BFE＝∠DFB＝90°，∴△DFB∽△BFE，∴，∴DF＝2BF，BF＝2EF，在Rt△BDF中，BF2+DF2＝BD2，∴4BF2+DF2＝4a2，解得BFa，DFa，∴EFa，∴DE＝DF﹣EFa，∴；方法二：设∠CAB＝∠ABD＝α，则∠ABC＝90°﹣α，∠BDF＝90°﹣α，∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝2α﹣90°，∵BD＝BC，∴135°﹣α，∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDF＝45°，如图，延长DC交BA延长线于点M，则△DFM是等腰直角三角形，∴DF＝MF，∠M＝45°，∵E是BC中点，∴设BE＝CE＝a，则BC＝BD＝2a，∵∠EBF＝∠BDF＝90°﹣α，∠BFE＝∠DFB＝90°，∴△DFB∽△BFE，∴，∴DF＝2BF，在Rt△BDF中，BF2+DF2＝BD2，∴4BF2+DF2＝4a2，解得BFa，∴MF＝DFa，∴MB＝MF+BFa，∵∠CDE＝∠M，∠MDB＝∠DCE，∴△DCE∽△MDB，∴；②当∠BEF＝90°时，此时可知DE垂直平分BC，∴DC＝DB，∵BD＝BC，∴BD＝BC＝CD，∴△BDC是等边三角形，∴tan60°；综上，的值为或．【点评】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关导角是解题的关键；本题出题反模型、反套路，是近年中考几何趋势．12．（1）【探究发现】如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D′E．求证：BE＝DF；（2）【类比迁移】如图2，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，CD′＝D′E，当CD′⊥DF时．①求证：△BCE∽△DCF；②若AB＝6，BC＝9，求CD′的长；（3）【拓展应用】如图3，已知四边形ABCD为菱形，AD＝5，AC＝6，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边CD上（顶点除外）时，且DF＝EF，求OF的长．【分析】（1）延长BE交DD′于H，根据对称可得BH⊥DF，然后证明∠EBC＝∠EDH，推出△BCE≌△DCF（ASA），从而得到BE＝DF；（2）①延长BE交DD′于H，同（1）可证BH⊥DF，∠EBC＝∠EDH，即可证明；②先判断出BE∥CD′，再根据平行线分线段成比例，得到DE＝CE＝3，下一步通过△BCE∽△DCF，求得CF，最后通过勾股定理和求得答案；（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD的交点即为点E，延长AF交DE于点G，同（1）可得，∠GDF＝∠OAF，再证明∠OAF＝∠ODA，通过tan∠OAF＝tan∠ODA即可得出答案；【解答】（1）证明：延长BE交DD′于H，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵D关于BE的对称点为D′，∴BD＝BD′，DE＝D′E，∴BE是DD′的垂直平分线，∴BH⊥DF，即BE⊥DF，∵∠BHD＝∠BCD＝90°，∠DEH＝∠BEC，∴180°﹣∠BCD﹣∠BEC＝180°﹣∠BHD﹣∠DEH，∴∠EBC＝∠EDH，又∠BCD＝∠DCF＝90°，BC＝DC，∴△BCE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF；（2）解：①延长BE交DD′于H，∵D关于BE的对称点为D′，∴BD＝BD′，DE＝D′E，∴BE是DD′的垂直平分线，∴BH⊥DF，DH＝D′H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠DCF＝90°，∵∠BHD＝∠BCD＝90°，∠DEH＝∠BEC，∴180°﹣∠BCD﹣∠BEC＝180°﹣∠BHD﹣∠DEH，∴∠EBC＝∠EDH，又∠BCD＝∠DCF，∴△BCE∽△DCF；②∵BH⊥DF，CD′⊥DF，∴BE∥CD′，∴，∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝9，∴CD＝AB＝6，∴DE＝CE＝3，∵△BCE∽△DCF，∴，∴，∴CF＝2，∴，∵，∴；（3）解：以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD的交点即为点E，延长AF交DE于点G，∵DF＝EF，AD＝AE，∴AG垂直平分DE，同（1）可得，∠GDF＝∠OAF，∵四边形ABCD为菱形，AD＝5，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝CO＝3，∠ODC＝∠ODA，∴∠OAF＝∠ODA，，∴tan∠OAF＝tan∠ODA，∴，即，∴．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13．如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）求证：AE2＝EF•EG．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，然后通过“SAS”证明△ADE≌△CDE即可；（2）由四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，所以∠DAF＝∠F，由全等三角形性质可得∠DAF＝∠DCE，AE＝CE，故有∠DAF＝∠F，然后证明△GEC∽△CEF，得，即CE2＝EF•EG，所以AE2＝EF•EG．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS）；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠F，∵△ADE≌△CDE，∴AE＝CE，∠DAF＝∠DCE，∴∠DCE＝∠F，又∵∠GEC＝∠CEF，∴△GEC∽△CEF，∴，∴CE2＝EF•EG，∴AE2＝EF•EG．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．14．综合与探究：从特殊到一般是研究数学问题的常用思路，综合实践小组以特殊平行四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究．【特例研究】（1）在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．如图①，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为45°，k的值为；（2）如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；【类比探究】（3）如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并缩放得到△AEF（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由．【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可；（2）由题意得△AEF∽△AOB，推出∠EAB＝∠EAO，，再得到△AFB∽△AEO，推出，根据正方形的性质求解即可；（3）同理可证△AFB∽△AEO，得到，根据线段垂直平分线的性质求得AB＝2BG，再根据余弦函数的定义求解即可．【解答】解：（1）如图①，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，∴∠OAB＝∠DAC＝45°，，∴旋转角为45°，，故答案为：45°，；（2）根据题意得△AEF∽△AOB，∴∠EAF＝∠OAB，，∴∠FAB＝∠EAO，，∴△AFB∽△AEO，∴，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，∴，∴；（3）的值与α无关；理由如下：如图3，过点O作OG⊥AB于点G，同理可证△AFB∽△AEO，∴，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，∴AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴AB＝2BG，，∴，∴，∴的值与α无关．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2．【分析】（1）利用旋转的性质得出A，B，C对应点A1，B1，C1的位置进而得出答案，再根据点C1的位置写出坐标即可；（2）利用位似图形的性质得出A，B，C对应点A2，B2，C2的位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1（1，2）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，【点评】此题主要考查了旋转变换以及位似变换，点的坐标，正确利用旋转的性质得出对应点位置是解题关键．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时，求AE的长；（3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）证明△ABD∽CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，从而判断点F的运动路径为线段，再分别找出当点D与点B重合时，F点在F1的位置，当点D与点C重合时，F点在F2的位置，求出AF1与AF2进而即可求解．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠B＝∠ACB，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∵△ABD∽△DCE；∴△ABD∽△CBA，∴，即，解得，∵DE∥AB，∴，即，解得；（3）解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，∵AB＝AC，∴BM＝CM＝16÷2＝8，又∵AB＝10，∴，∴，∵∠ADE＝∠B，∴，∵∠ANF＝∠AMD＝∠DAF＝90°，∴∠FAN+∠AFN＝∠FAN+∠MAD＝90°，∴∠AFN＝∠MAD，∴△AFN∽△DAM，∴，即，∴点F到AM所在直线的距离为，∴点D从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径是线段，当点D与点B重合时，F点在F1的位置，此时，∠BAF1＝90°，∵，∴，当点D与点C重合时，F点在F2的位置，此时，，如图，连接F1F2，∵∠BAF1＝∠CAF2，∴∠F1AF