广州大学《线性代数》课件-第4章特征值与二次型

第四章特征值与二次型

§4.1方阵的特征值与特征向量

§4.2对称矩阵的相似对角化§4.3二次型及其标准形§4.4正定性广州大学《线性代数》三、方阵相似对角化的条件

一、相似矩阵

二、方阵的特征值与特征向量

§4.1方阵的特征值与特征向量

称f(A)为方阵A

的多项式.一、相似矩阵

设多项式记

对于方阵B=

P-1AP,有

相似矩阵

设A,B

为n

阶方阵,若存在可逆矩阵P,使则称B

是

A

的相似矩阵.称P

为相似变换矩阵.

矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.

当P可逆时,P-1AP=L也即AP=

PL.

若存在可逆矩阵P,使P-1AP为对角阵L,则称方阵A可相似对角化.而对于对角阵

L=diag(l1,

,ln),此时有

可相似对角化方阵的多项式计算由此可方便地计算A

的多项式.有记P=(p1,

,pn),则

定理1

n阶方阵A与对角矩阵L=

diag(l1,

,ln)

相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,

,pn

满足

方阵的特征值与特征向量二、方阵的特征值与特征向量

设A

为方阵,如果存在数l和非零向量

p,使那么称数

l

为方阵A

的特征值,应于特征值

l

的特征向量.

称非零向量p为方阵A

对

定理1

n阶方阵A与对角矩阵L=

diag(l1,

,ln)

相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,

,pn

满足

非零向量

p

为方阵A

对应于特征值

l

的特征向量,也即p为齐次线性方程组(lE

-A)x=0的一个非零解.

方阵的特征值与特征向量二、方阵的特征值与特征向量

设A

为方阵,如果存在数l和非零向量

p,使那么称数

l

为方阵A

的特征值,应于特征值

l

的特征向量.

称非零向量p为方阵A

对

非零向量

p

为方阵A

对应于特征值

l

的特征向量,也即p为齐次线性方程组(lE

-A)x=0的一个非零解.

数l为方阵A

的特征值的充分必要条件是|lE

-A|=0.

对应于n

阶方阵A的特征值l

有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l

的线性无关特征向量组.

设A=(aij)为n

阶方阵,l为变元,则有其中>>>

数l为方阵A

的特征值的充分必要条件是|lE

-A|=0.

称

n次多项式|lE

-

A|为A

的特征多项式.

方阵A

的特征值也即A

的特征多项式的根.

设A=(aij)为n

阶方阵,l为变元,则有其中

在复数范围内,n阶方阵有n个特征值(重根按重数算).

设

l1,

,ln

为n阶方阵

A

的所有特征值,则有

特征值的性质(2)(1)A

的迹,记为tr(A).

数l为方阵A

的特征值的充分必要条件是|lE

-A|=0.

解方阵A

的特征多项式为方阵A

的特征值为例1求方阵的特征值和特征向量.解由得基础解系方阵A

对应于l1=-2的全部特征向量为例1求方阵当l1

=-2时,解方程组(-2E-A)x

=0.方阵A

的特征值为的特征值和特征向量.例1求方阵解当l2

=l3

=1时,解方程组(E-A)x

=

0.由得基础解系方阵A

对应于l2=l3=1的全部特征向量为方阵A

的特征值为的特征值和特征向量.(k2,k3

不同时为0)解方阵A

的特征值为l1

=2,l2

=

l3

=1.

方阵A

的特征多项式为

当l1=2时,解方程组(2E-

A)x

=

0,得基础解方阵A

对应于l1=2的全部特征向量为例2求方阵的特征值和特征向量.

当

l2

=

l3

=1时,解方程组(E-

A)x

=

0,得基础解方阵A对应于

l2

=

l3

=1的全部特征向量为例3设

l为方阵A

的一个特征值,试证

l2

为方阵A2

的一个特征值.证明存在非零向量p,使Ap

=

lp,于是因此

l2

为方阵A2

的一个特征值.

若

l为方阵A

的特征值,则f(l)为f(A)的特征值.

设

l为可逆矩阵A

的特征值,则l-1

为A-1

的特征值.例4设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,求|A

+3A-2E|.解则f(A)的特征值为A可逆,记于是

定理2

相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).证明

设矩阵A与B相似,则有可逆阵P,使P-1AP=

B.于是

若对角阵L

是方阵A

的相似矩阵,则L

以A

的特征值为对角元素.

定理1

n阶方阵A与对角矩阵L=

diag(l1,

,ln)

相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,

,pn

满足

对应于n

阶方阵A的特征值l

有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l

的线性无关特征向量组.

定理4设l1,

,lm

是方阵A

的

m个互不相等的特征值,Ai

(i

1,,m)为属于li

的线性无关特征向量组,则由A1,

,Am

的并集构成的向量组线性无关.

定理3设l1,

,lm

是方阵A

的m

个互不相等的特征值,p1,

,pm为对应的特征向量,则p1,

,pm

线性无关.>>>称k为l的代数重数;称n-R(lE-A)为l

的几何重数.

设l

是n

阶方阵A的特征多项式的k

重根(k重特征值),

定理1

n阶方阵A与对角矩阵L=

diag(l1,

,ln)

相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,

,pn

满足三、方阵相似对角化的条件

定理5n

阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

例1中的3阶方阵A有三个线性无关的特征向量,因此可相似对角化.

例2中的3阶方阵A只有两个线性无关的特征向量,因此不可相似对角化.

对应于n

阶方阵A的特征值l

有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l

的线性无关特征向量组.

定理1

n阶方阵A与对角矩阵L=

diag(l1,

,ln)

相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,

,pn

满足三、方阵相似对角化的条件

对应于n

阶方阵A的特征值l

有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l

的线性无关特征向量组.

当矩阵A的每一特征值的几何重数等于代数重数时,由定理4可推知,此时矩阵A有n个线性无关的特征向量,因此A可相似对角化.

定理6

方阵A可相似对角化的充分必要条件是A的每一特征值的几何重数等于代数重数.推论若n阶方阵A有n个不同的特征值,则A可相似对角化.

单特征值的几何重数等于代数重数,重数为1.

>>>这样就得到如下定理的充分性.(必要性就是P98,Th1.4)证明:由定理3和定理5即得.

定理5n

阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.或由定理6和以下结果即得.解例5当x

为何值时,矩阵能相似对角化?矩阵A

的特征多项式为l=

-1是单特征值,l=1是重特征值,代数重数为2.当x

=

-1时,R(E-A)=1,特征值l

=1的几何重数为2,等于代数重数,从而矩阵A能相似对角化.

对应于n

阶方阵A的特征值l

有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l

的线性无关特征向量组.(1)求出n阶方阵

A

的所有特征值li

.(2)求(li

E-A)x=0的一个基础解系(li

的特征向量组).(3)将求出的n

个特征向量排成矩阵P

(p1,,pn),则

方阵相似对角化的算法例6方阵的特征值为对应的特征向量分别为取则作业

习题4.1:1.5.9.11.证明当m=1时,由于特征向量不为零向量,故定理成立.假设m=

s-1

时,定理成立.设存在一组数k1,

,ks

,使(1)用方阵A

左乘(1)式两边,由Api

=li

pi(i=1,

,s),整理得(2)由(1),(2)二式消去ps

,得由归纳假设,p1,

,ps-1

线性无关,于是从而(1)式化为ks

ps

=

0,得ks

=0.因此p1,

,ps

线性无关,即m=s

时,定理也成立.由归纳原理,定理得证.

定理3设l1,

,lm

是方阵A

的m

个互不相等的特征值,p1,

,pm为对应的特征向量,则p1,

,pm

线性无关.提示:例如3次多项式

韦达定理设n

次多项式的n

个根为

x1,x2,,xn

,则有下列关系式:证明记R(l0E-

A)=

r,则存在可逆矩阵P,Q,使于是A

的特征多项式由此知

定理

特征值的几何重数不大于代数重数.设l0

是n阶方阵A的k

重特征值,

定理1>>>

(实)对称阵的特征值为实数.

定理2

设

l1,l2

是对称阵A的两个不同特征值,p1,p2是对应的特征向量,则p1

与p2

正交.证明

由得§4.2对称矩阵的相似对角化因此即p1

与p2

正交.

定理3>>>

设

A

为对称阵,则存在正交阵P,使其中

L

为对角阵,以A的特征值为对角元素.

用正交的相似变换矩阵化对称阵为对角阵的算法

(1)求出n阶对称阵

A

的所有特征值li

.(2)求(li

E-A)x=0的一个规范正交基础解系.(3)将求出的n

个规范正交特征向量排成一个正交阵P,则P

-1AP

为对角阵.

不妨设则特别要注意的是,li

与pi

的位置次序一定要相同.解方阵A

的特征值为得基础解系方阵A

的特征多项式为例1设求一个正交阵P,使P-1AP为对角阵.当l1=2时,解方程组单位化得当l2=l3

=-1

时,解方程组得基础解系规范正交化得取正交阵单位化得当l2=l3

=-1

时,解方程组得基础解系规范正交化得则解例1设求一个正交阵P,使P-1AP为对角阵.作业

习题4.2:1.3.证明

设a+b

i为对称阵A的一个特征值,令则A1

仍为对称阵,且有两边乘以得因此,存在非零向量p,使得于是由此可知b=0.

定理1

(实)对称阵的特征值为实数.§4.2对称矩阵的相似对角化证明对于一阶对称阵,定理显然成立.

假设对于n-1阶对称阵,定理成立.l1

是对称阵A的特征值,p1

是对应的单位特征向量.取方程的解空间的一个规范正交基令则H

为正交阵,且有

定理3

设

A

为对称阵,则存在正交阵P,使其中

L

为对角阵,以A的特征值为对角元素.设A为n阶对称阵,易知A1为n-1阶对称阵.由归纳假设,存在正交阵P1,使其中L1为对角阵.取且有则

P为正交阵,因L

与A

相似,故L

以A

的特征值为对角元素.于是HTAH

可以表为分块形式则H

为正交阵,且有一、二次型及其对称矩阵二、二次型的标准形§4.3二次型及其标准形

三、用正交变换化二次型为标准形四、用配方法化二次形为标准形一、二次型及其对称矩阵

二次型

记

n

阶对称阵A

(aij),x(x1,,xn)T,则有表示式

称对称阵A

为二次型f(x)的矩阵.

称二次型f(x)为对称阵A

的二次型.

称秩R(A)为二次型f(x)的秩.二、二次型的标准形

在解析几何中,为了便于研究二次曲线的几何性质,可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形二、二次型的标准形

化二次型为标准形

寻求一个可逆线性变换

x=

Cy,使二次型f(x)化为只含y1,

,yn

的平方项的形式:

称y

的表达式为二次型f(x)关于y的一个标准形.

如果k1,

,kn

只在1,-1,0三个数中取值,则称规范形.

当变元从x

变换为y

时,二次型f

的矩阵从

A

变为

合同矩阵

设A,B

为两个n

阶矩阵,若存在可逆矩阵C,使则称矩阵A

与B合同.

矩阵的合同具有反身性、对称性和传递性.

对称阵的合同阵也为对称阵.

可逆线性变换不改变二次型的秩.

合同变换不改变矩阵的秩.

二次型的标准化问题,也即对称阵的合同对角化问题.

二次型的标准形中含有的项数,就是二次型的秩.

当变元从x

变换为y

时,二次型f

的矩阵从

A

变为

对称阵合同对角化的初等变换解法例1

求一可逆线性变换

x=Cy,化如下二次型为

y的标准形.行变换相应列变换解二次型f(x)的矩阵为所以可逆线性变换x=Cy,其中将所给二次型化成标准形三、用正交变换化二次型为标准形

定理

设

A

为对称阵,则存在正交阵P,使其中

L

为对角阵,以A的特征值为对角元素.

设二次型f(x)=

xTAx,则存在正交阵P,使其中l1,

,ln

是A的特征值.令

x=

Py,则f(x)的法式(标准形)例2

求一个正交变换

x=

Py,化二次型为

y的标准形.解二次型f(x)的矩阵为由§4.2节例1,求得正交阵使取正交变换x=Py,则

二次曲面2xy

2xz2yz1通过正交变换化为标准方程此方程表示一旋转双叶双曲面.

因为正交变换保持几何形状不变,所以二次曲面也是一旋转双叶双曲面.四、用配方法化二次型为标准形

用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,但正交变换的算法较繁琐.

如果只考虑二次型的代数特点,我们可以更一般地讨论,用可逆线性变换化二次型为标准形.

拉格朗日(Lagrange)配方法

如果有xi

的平方项,则把含xi的所有项归并配方;

如果没有平方项,则把x1xi

化为其中令解令即就将所给二次型化成标准形例3

求一个可逆线性变换

x=

Cy,化二次型为

y的标准形.例4

化二次型为标准形.解令得令即所用可逆线性变换为

x=

Cz,其中就将所给二次型化成标准形作业

习题4.3:2.3.4.§4.4正定性

惯性定理

二次型化为标准形的方法并不唯一,标准形有无数个.即使如此,标准形还是有一些不变量,如秩,以及标准形中正负系数项的个数等.

二次型的任何标准形中,正(负)系数项的个数为定值.称此定值为正(负)惯性指数.

二次型的对称矩阵的所有正特征值的代数重数之和就是正惯性指数.

二次型的对称矩阵的所有负特征值的代数重数之和就是负惯性指数.

二次型的负惯性指数等于秩减去正惯性指数.

正定空间与正定指数

设V

为Rn

的一个子空间,如果对V

中任一非零向量x,恒有f(x)>0,那么称V

为n

元二次型f(x)的一个正定空间.

对于二次型f(x),记

惯性定理*

二次型的任何标准形中正系数项的个数等于正定指数.

二次型f(x)=xTAx

的正定空间和正定指数也称为对称阵A

的正定空间和正定指数,并记p(A)=p(f).

p(f)=max{f(x)的正定空间的维数}

二次型的正惯性指数也即正定指数.

称p(f)为f的正定指数.证明不妨设可逆线性变换x=Cy,使f(x)化为标准形其中ki(i=1,

,r)全为正数,r为f(x)的秩.

设

e1,

,en

为

n维单位坐标向量组,记ai

=Cei,易知dimV1

=

p,dimV2

=

n-p,且有(1)(2)由(1)知V1

为f(x)的一个正定空间,因此p(f)

p.对f(x)的任一正定空间V,由(2)知V

V2

为零空间,于是即得dimV

p,从而p(f)

p,(3)结合(3)得p=

p(f).

二次型的任何标准形中正系数项的个数等于正定指数.

设

f(x)=

xTAx

为

n

元二次型,若

x

0

时,恒有

f(x)>0那么称f(x)为正定二次型,称A为正定矩阵.

正定二次型与正定矩阵

定理1

n元二次型f(x)

xTAx

为正定的充分必要条件是对称阵A

的特征值全为正数,也即f(x)的正惯性指数等于

n.

n元二次型f(x)=

xTAx

为正定的充分必要条件是

p(A)=

p(f)=

n.推论

若对称阵

A为正定,则|A|>0.

霍尔维茨(Hurwitz)定理

n阶对称阵

A=(aij)为正定的充分必要条件是其中|Ak|称为A的k

阶顺序主子式.

必要性的证明

对任一非零k(k<n)维向量

x