专题03特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型-北师大版数学九年级上册几何模型

专题03特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型—北师大版数学九年级上册几何模型费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（PierredeFermat）‌在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA+PB+PC的值最小？费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌1．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB=AC=7,BC=23，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=；若AB=23,BC=2,2．如图，P是边长为2cm的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值是．1.费马点模型结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。）注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN．∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1）2.加权费马点模型结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=y(xyAP+BP+zyCP)，如图，B、模型1.费马点模型例题3．如图，已知矩形ABCD，AB=8，BC=12，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（）A．6+42 B．4+413 C．8+64．如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为（）A．4 B．3 C．3+3 D．5．如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为．6．四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB=6公里，BC=10公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为公里．7．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．8．【问题提出】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．（3）【问题解决】如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和（即模型2.加权费马点模型例题9．在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP+4BP+5PC的最小值．10．（1）问题背景：如图1，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为三角形，故PP'=PC，又P'A（2）问题解决：如图3，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；（3）问题应用：如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．现欲在△ABC内部建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1000元/km，1000元/km，1000311．如图①，在平面直角坐标系中，直线y=12x−4分别与x轴，y轴交于B，A两点，点C为AB中点，四边形OCED（1）求OC的长；（2）如图②，连接DF，CH，过点O作OI⊥CH于点I，延长IO交DF于点N，求证：FN=DN；（3）如图③，OF=8，点P在OH边上，且OP=6，Q为FG的中点，点M为正方形OFGH内部一点，连接MP，MQ，MO，请直接写出MP+212．如图，已知矩形ABCD，AB=8，BC=12，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（）A．6+42 B．4+413 C．8+613．如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A．43+3 B．221 C．23+6 D．4514．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=6，∠ABC=60°，P是平面内一点，则PA+PB+PC+PD的最小值为．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E是矩形内一个动点，且满足S△BCE=13S矩形ABCD，点P是16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE=1．点P是AB边上的动点，连接PE，将线段PE绕点E顺时针旋转90°得到线段EQ．若在正方形内还存在一点M，则点M到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．17．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，BC=3，则PA+PB+PC的最小值是18．如图，点P为矩形ABCD内一点，过点P作PG⊥CD，垂足为G，连接AP、BP，若AD=4，AB=6，则PG+PA+PB的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，D为其内部一点，连接DA、DB、DC，其中AB=1，则DA+DB+3CD的最小值为20．如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的有（填写序号）．①△AMB≌△ENB；②S四边形AMBE=S四边形ADCM；③连接AN，则AN⊥BE；④若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；⑤当AM+BM+CM的最小值为21．平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连AE，点F在线段AE上，连BF，连AC．（1）如图1，已知AB⊥AC，点E为BC中点，BF⊥AE．若AE=5，BF=26，求AF（2）如图2，已知AB=AE，∠BFE=∠BAC，将射线AE沿AC翻折交CD于H，过点C作CG⊥AC交AH于点G．若∠ACB=45°，求证：AF+AE=AG；（3）如图3，已知AB⊥AC，若∠ACB=30°，AB=2，直接写出AF+BF+CF的最小值．22．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为△ABC的费马—托里拆利点．【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C∴∠PAP'=60°，AP=A∴AP=PP'点C'可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC∴当B、P、P'、（1）观察图②中∠APB、∠BPC和∠CPA，试猜想这三个角的大小关系．（2）【类比探究】如图③，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连接PA，PB，PC，若BC=2．求PA+PB+PC的最小值；（3）【拓展应用】已知正方形ABCD内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+23．（1）问题提出如图①，已知ΔOAB中，OB=3，将ΔOAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B'，连接B（2）问题探究如图②，已知ΔABC是边长为43的等边三角形，以BC为边向外作等边ΔBCD，P为ΔABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q，连接DQ，求PA+PB+PC（3）问题解决如图③，矩形场地ABCD为一个货运场，其中AB=500米，AD=800米，顶点A、D为两个出口，现想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA、PD、PM.若修建专用车道的费用为10000元/米（车道宽度不计），当M、P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留根号）24．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D为边BC上一点．（1）如图1，若AD⊥BC于点D，AB=8，AC=6．求AD的长；（2）如图2，已知，AB=AC，延长BA至点E，以线段BE和线段BC为边作▱BCFE，连接DE、AF，若AD⊥AF于点A．求证：AF=AD+ED；（3）如图3，已知，AB=AC=2，将△ABC沿直线BC翻折，使点A落点M处．在线段BC上求一点P，使得PA+PB+PM的值最小．直接写出PA+PB+PM的最小值．（参考公式：(a25．【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；（2）【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形ABCD，点B与原点重合，C坐标为(4,0)，∠ABC=60°，若在菱形ABCD内部有一动点P，试求PA+PB+PC的最小值，并求出此时点（3）【生活实际】如图4，一个矩形菜地的A,B,C三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点P，经研究发现，运输点P到A,B,26．（1）阅读材料：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=2,∠ABC=30°，△ACE是等边三角形，M为△ABC内任意一点，连接CM，将CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接EN、AM、BM．①△CMN的形状是（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地ABCD建设口袋公园，四个顶点A、B、C、D为公园入口，公园内有两个凉亭E、F，为方便市民散步，需修建健身步道连接AE、BE、EF、DF、CF．为节约建设成本，应将E、F修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？27．在△ABC中，∠B=45°，E为平面内一点，连接AE、CE．（1）如图1，若点E在线段BC上，AC=EC，AB=42，BE=2，求线段AC（2）如图2，若点E在△ABC内部，AC=EC，∠BAE=∠ACE，求证：AE+2AB=2（3）如图3，若点E在△ABC内部，连接BE，AB=4，AB=AC，请直接写出2CE+AE+BE

参考答案1．5；22．(33．C4．D5．66．10+67．（1）是，理由见解析（2）见解析（3）①点M为BD的中点；②点M为CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，图及理由见解析8．（1）等边三角形（2）BC的最小值为5（3）平行四边形公园ABCD的面积为939．410．（1）等边；两点之间线段最短（2）5