专题02特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）-北师大版数学九年级上册几何模型

专题02特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）—北师大版数学九年级上册几何模型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。“瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。1．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在BC边上运动，连接DE并绕点D逆时针旋转45°得到DF，点E运动过程中，CF的最小值为．2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=4，D在AC延长线上，作平行四边形ABDE，则BD+BE的最小值为．条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定：①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。例题3．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF．将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为（）A．2 B．3 C．2−1 D．4．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A(0,4)，点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则A．2 B．22 C．2 5．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．6．如图，矩形ABCD的边AB=5，BC=3，E为AB上一点，且AE=12，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF=EG，连接CG，则CG的最小值为7．如图，线段AB长为6，点C是线段AB上一动点（不与A，B重合），分别以AC和BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形△ADC，△CEB，连接DE，点P是DE的中点．连接AP，BP，则AP+BP的最小值为．8．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，P为线段BD上的一个动点，连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°至CQ，连接OQ，则线段OQ的长的最小值为，最大值为．9．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=103，点E在线段BC上运动（含B，C两点），连接AE，以点A为旋转中心，将线段AE逆时针旋转60∘到AF，连接EF，DFA．6 B．9 C．53 D．9310．如图，在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(0,2)，点P是x轴上一动点，作平行四边形ABPQ，当A．(−23,−2) B．(−1,−2)11．如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM=30°，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，则线段DF长度的最小值等于（）A．42−4 B．22−2 C．12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动点(不与A重合)，以线段AE为边在正方形内作等边△AEF，M是边EF的中点，连接PM，则在点E运动过程中，PM的最小值是（）A．32 B．7 C．33213．如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连接CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB=2，则BE的最小值为．14．如图，线段AB的长为12，点D在AB上（不与端点重合），以AD为边向上作等边△ADC，过D作与CD垂直的射线DP，点G是DP上一动点（不与点D重合），以DC、DG为边作矩形CDGH，对角线CG与DH交于点O，连接OB，则线段BO的最小值为．15．如图，已知P是线段AB上的动点（P不与点A，B重合），AB=6，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是．16．如图，在△ABC中，∠CAB=120°，CA=AB=6，点N在直线BC上运动，以AN为边向AN的右侧作菱形ANEF，且∠NAF=120°，M为AC中点，连接MF，则点N在运动过程中，MF的最小值为．17．如图，矩形ABCD的对角线AC, BD交于点O，∠AOD=120°．E是线段AO上的动点，以BE为边作等边三角形BEF，点F, A分别位于BE两侧．在点E运动的全过程中，OF的最大值为a，CF的最小值为b18．如图，正方形ABCD的边长等于3，点E在AB边上，且BE=2AE，F是BC边上任意一点，以EF为边作菱形EFGH，且顶点H恰好落在射线AD上，连接CG，则CG的最小值=．19．等边△ABC边长为6，D是BC中点，E在AD上运动，连接BE，在BE下方作等边△BEF，则△BDF周长的最小值为．20．如图，正方形ABCD的边长为42，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为21．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线DC上的动点，连接BE，作BF⊥BE，且BF=BE，连接CF，则CF的最小值为．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，D为AB边上一动点，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接BE，则BE的最小值为．23．如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，∠A=60°，点E是AD中点，F是直线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值．24．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，∠A=60°，E为AD的中点，F为EC上一动点，G为BF中点，连接GD，则GD的最小值是25．在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD．将线段CD绕点C逆时针旋转至CE，记旋转角为α，连接AE．取AE的中点为点G，连接CG．（1）【问题探究】如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，α=90°，延长AC至点F，使CF=AC，连接EF．请直接写出EF与BD的数量关系，CG与BD的数量关系；（2）【类比迁移】如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC，∠ACB=120°，α=60°．探究线段CG与BD的数量关系，并证明你的结论；（3）【变式拓广】如图3，已知在△ABC中，BC=13，AC=7，∠ABC=30°，∠ACB=180°−α．延长AC至F，使CF=BC=13，连接EF．在点D的运动过程中，求线段CG长度的最小值．26．如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=3，对角线BD⊥AD．点P在边AB上，点Q在边CD上，且BP=DQ，连结PQ交BD于点O，以PQ为底边作等腰直角三角形PQM，使点A、M在直线PQ的同侧．（1）求证：DO=BO．（2）求五边形BCQMP面积的最小值．（3）连结DM，直接写出DM的最小值．（4）连结DM，当点M在∠ABD内部，且点M到∠ABD的某条边的距离等于DM的