专题02 矩形的性质与判定-北师大版数学九年级上册重难点复习精讲

专题02矩形的性质与判定—北师大版数学九年级上册重难点复习精讲一、重难目标1、理解矩形定义，掌握矩形角、对角线的独有性质，结合勾股定理完成线段与角度计算。2、熟记矩形各类判定定理，区分以平行四边形、任意四边形为起点的判定条件，防止概念混淆。3、掌握矩形对角线形成等腰三角形的模型，理解直角三角形斜边中线定理及其推导来源。4、综合运用矩形性质与判定进行几何证明，规范推理步骤，提升几何综合分析能力。二、重难知识1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。【注意】矩形的定义包含两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角。矩形是平行四边形的基础上增加“有一个角是直角”这一特殊条件。易错提醒：定义本身既是矩形的性质（矩形一定是平行四边形且有一个角是直角），也是矩形的判定方法之一（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。2.矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质，此外还有以下特殊性质：（1）角：矩形的四个角都是直角。（2）对角线：矩形的两条对角线相等。（3）对称性：矩形是轴对称图形，有2条对称轴（分别是通过对边中点的直线）；矩形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。（4）从三个方面看矩形的性质:从边看：对边平行且相等从角看：四个角都是直角从对角线看：对角线互相平分且相等【注意】矩形是特殊的平行四边形，过对称中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分。3.直角三角形斜边上的中线的性质:在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。证明思路：通过构造矩形来证明——将直角三角形的斜边作为矩形的对角线，则斜边上的中线等于对角线的一半，即等于斜边的一半。【注意】这一性质与矩形有着密切的联系——矩形的对角线相等且互相平分，因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以看作是矩形对角线性质的直接推论。4.矩形的判定:矩形的判定方法共有三种方法一（定义法）有一个角是直角的平行四边形是矩形。几何语言：在▱ABCD中，若∠A=90°（或任一内角为90°），则▱ABCD是矩形。方法二（对角线法）对角线相等的平行四边形是矩形。几何语言：在▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形。方法三（三角法）有三个角是直角的四边形是矩形。几何语言：在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是矩形。【注意】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定矩形；第三种方法是在四边形的基础上直接判定（因四边形内角和为360°，三个角为直角则第四个角也必为直角）。三、重难题型题型01斜边的中线等于斜边的一半【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥BC于点（1）求证：DE=证明：∵D是AB中点，∠ACB=90°∴在Rt△ABC中，CD∴△CDB又∵DE⊥∴DE为等腰△CDB∴E是BC的中点，∴DE是△ABC∴DE=（2）若AC=8，BC=6，求5【试题标签】【解析】【分析】（1）略（2）解：在Rt△ABC中，AB∵D是AB中点，∴在Rt△ABC中，CD【题型】证明题【分值】【变式】1．如图，已知：在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ACB=90°，E为AB的中点，过点E作EF∥CD，交边AD于点F（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；（2）如果∠ADC=90°，BC=6，AB=10题型02利用矩形的性质证明【典例】2．如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，O是四边形AECF对角线的交点，且AC⊥EF，（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=6，CE−BE（3）如图2，若P是矩形ABCD外一点，求证：PA【变式】3．如图，在矩形ABCD中，BC=6，连接AC，∠BAC=30°，动点E从点A出发，沿AC方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时动点G从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E运动的时间为t秒t>0，过点E作EF⊥AB（1）用含t的式子表示EF的长度：EF=（2）求证：四边形EFGC是平行四边形；（3）连接EG，当∠EGF=90°时，直接写出t题型03求矩形在坐标系中的坐标【典例】4．如图，将面积为30的矩形ABCD放在平面直角坐标系中，若顶点B、D的坐标分别为0,−1、0,9，则顶点C的坐标为（）A．3,8 B．4,8 C．3,7 D．4,7【变式】5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,3，点B的坐标为4,0，连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO题型04矩形与折叠问题【典例】6．如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'A．52 B．533 C．53或53【变式】7．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△（2）若OD=1，AB=3题型05证明四边形是矩形【典例】8．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OA，连接CE，（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AC=6，BD=10，求【变式】9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是线段BC的中点，CE∥AD，EA（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AD=8，BC=12，求题型06根据矩形的性质与判定求角度【典例】10．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE=15°．连接OE，则下面的结论：①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC=2AB；④A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式】11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；题型07根据矩形的性质与判定求线段长【典例】12．如图1，在平行四边形ABCD中，AB=AD，AC=24，BD=18，AC，BD相交于点O，且CE∥（1）求AB的长；（2）求证：OE=（3）如图2，设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．【变式】13．菱形ABCD的对角线相交于O，E是CD的中点，EF⊥BC于F，OG⊥（1）菱形ABCD的周长为；（2）求证：四边形OEFG是矩形；（3）若OG=4，求BD题型08根据矩形的性质与判定求面积【典例】14．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠OBC=∠OCB，且（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形（3）求证：四边形OCED是菱形．【变式】15．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=2，BD=4，（1）求证∠BAC=90°（2）下面两小题任选一题完成：（要求先尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，再计算）①分别在边AD，BC上确定点E，F，使得四边形AECF为矩形，并求出矩形AECF的面积S；②分别在边AD，BC上确定点E，F，使得四边形AECF为菱形，并求出菱形AECF的面积S．

参考答案1．（1）证明：∵∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=∴∠CAE=∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∴∠CAD=∴AD∥又EF∥∴四边形CDFE是平行四边形；（2）1.42．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵BE=∴BC−BE=∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥∴四边形AECF是菱形；（2）45（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，PD，过点P作MN⊥AD交AD的延长线于点M，交∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴四边形ABNM，四边形DCNM都是矩形，∴∠M=∠N=90°，AM∴PA2=PM2+∴PA2+∴PA3．（1）t（2）证明：由题意可知CG=由（1）得EF=∴EF=∵四边形ABCD是矩形，∴AB又∵EF⊥∴EF∥∴四边形EFGC为平行四边形；（3）244．A5．7,46．D7．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，∴AB=AE，∴AE=CD，在△AOE和△COD中∴△AOE（2）38．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=∵DE=∴DE=∵DE∥∴四边形OCED为平行四边形，又∵OE=∴四边形OCED是矩形．（2）349．（1）证明：∵AB=AC，点D∴BC∵EA∴EA又∵CE∴四边形ADCE是平行四边形．∵EA∴∠DAE∴平行四边形ADCE是矩形．（2）4.810．B11．（1）证明见解析；（2）135°．12．（1）15（2）证明：∵CE∴四边形OBEC为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC∴四边形OBEC为矩形．（一个角是直角的平行四边形是矩形），∴OE∴OE（3）313．（1）40；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，即点O是∵E是CD的中点，∴OE是△BCD∴OE∥∵EF⊥BC，∴EF∥∴四边形OEFG是平行四边形，又∵EF⊥∴四边形OEFG是矩形；（3）4514．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=12∵∠OBC=∴OB=∴12AC=∴四边形ABCD是矩形．（2）16（3）证明：∵DE∥AC，∴四边形OC