专题二 特殊三角形（2）-浙教版数学八年级上册复习

专题二特殊三角形（2）—浙教版数学八年级上册复习一、题型五等腰三角形的边和角1．等腰三角形的两边长分别是4和8．则它的周长为（）A．16 B．20 C．20或16 D．242．若一个等腰三角形有一个角为70°，则这个三角形顶角为（）A．70° B．55°或70° C．40° D．70°或40°3．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为（）A．34 B．76 C．34或76 4．若a−12+b−25．用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果底边长是腰长的一半，求腰长；（2）能围成有一边长为11cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长．6．（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50∘,（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画个.想一想：如图2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50°过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形，这样的直线最多可以画条.算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数.二、题型六三线合一7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，且AD=8，BC=12，点E为AC中点，则DE的值为()A．5 B．5.8 C．6 D．6.58．如图，锐角三角形ABC中，∠C=2∠B，AB=86，BC+AC=32，则△ABC的面积为9．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是（1）求证：BM=DM；（2）求证：MN⊥BD．三、题型七等边三角形的性质10．如图，∠COD=30°，点A1,A2,A3均在射线OC上，点B1,B2A．2n B．2n−1 C．2n 11．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E分别为线段BC,AD上的点，∠ADC=60°，连接BE,CE，已知AE=BE，（1）若∠BAC=90°，则∠DCE=°；（2）若∠BAC=96°，则∠DCE=°．12．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.（1）求证：∠ACE=∠CBF：（2）若PG=1，求EP的长度.四、题型八等腰三角形的判定13．在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：214．如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发s时，△BCP为等腰三角形.15．如图，BD是等腰三角形ABC底边AC上的高线，DE//BC，交AB于点E.求证：△BED是等腰三角形．证明：在△ABC中∵AB=BC，BD⊥AC∴∠1=∠（等腰三角形）∵DE//BC，∴∠1=∠（两直线平行，内错角相等）∴∠=∠（等量代换）∴BE=ED（在同一个三角形中，）即△BED是等腰三角形．五、题型九等腰三角形性质与判定16．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A=∠ABE，若AC=10，BC=6，则BD的长为（）A．5 B．3 C．4 D．217．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,F是AB边上的中点，点D,E分别在AC,BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE,DF,EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是定值9；③△DFE的面积最小值为4.5；④DE长度的最小值为3．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④18．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．若∠BAC=45°，AF=6，则BD的长为．19．如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD=AE．（1）已知∠B=40°，求∠BAD的度数．（2）若EG=CG，求证：DG⊥CE．20．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点．（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，CE=8，BF=2，求CD的长．六、题型十等边三角形的判定21．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A=∠B=∠C B．AB=ACC．∠A=60°，∠B=6022．如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB=AD=2，BC=DC=2（1）求证：ΔABC≅ΔADC。（2）当∠BCA=45°时，求证：ΔABD是等边三角形。七、题型十一等边三角形的性质与判定23．如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上一点，∠BAD=26°，在AD右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠AOD的度数为（）A．86° B．88° C．90° D．92°24．如图，等边△ABC中，BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=6，BP=AQ=8，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）A．22 B．20 C．16 D．1425．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB=EF，若BD=4，BF=8，则线段DE的长为.26．如图，点O是△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．27．【问题背景】如图1，已知：在△ABC中，∠CAB=60°，P是CB的中点，D是AB延长线上的一点，BD=AC，连接DC，AP．【初步探究】（1）若∠ACD=90°，CP=3，求AD的长；【变式探究】（2）如图2，过点B作BE∥AC，交AP延长线于点E，试探究线段DC与AP间的数量关系，并说明理由；【拓展探究】（3）如图3，若【问题背景】中条件改为：∠CAB=45°，P是CB的中点，∠PAB=∠D，DC=2AP，AC=1，求BD的长．

参考答案1．B2．D3．C4．55．（1）解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm，

由题意可得，x+2x+2x=35，

解得x=7，

∴2x=14，

即腰长为14cm；​​​​​​（2）解：能围成有一边长为11cm的等腰三角形，

当腰长为11cm时，则底边长为35−11×2=13cm，

∵11+11>13，

∴能围成腰长为11cm的等腰三角形，

∴此时等腰三角形的底边长13cm；

当底边长为11cm时，则腰长为35−11÷2=12cm，

∵12+12>11，

∴能围成底边长为11cm的等腰三角形，

综上所述，等腰三角形的底边长为13cm或11cm．

6．（2）解：2；想一想：5算一算：

解：如图，△ACD与△BCD是等腰三角形，

①当DA=DC时，∠A=∠ACD=20°，此时，∠BDC=40°，若BD=BC，则∠BCD=∠BDC=40°，

∴∠B=180°−∠BCD−∠BDC=100°；若CD=BD，则∠B=∠BCD=180°−∠BDC2=70°；若

CD=CB，则∠B=∠BDC=40°；

②当AC=AD时，∠ADC=∠ACD=180°−∠A2=80°，则∠BDC=100°，此时CD=BD，

∴∠B=180°−∠BDC2=40°；

③当CA=CD时，∠ADC=∠A=20°，则∠BDC=160°，此时CD=BD，

∴∠B=180°−∠BDC7．A8．809．（1）证明：连接BM、DM，如图所示：∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=12AC∴BM=DM；（2）证明：如图所示：

由（1）知，BM=DM，

在△BMD中，点N是BD的中点，即MN是底边BD上的中线，

又BM=DM，

∴由等腰三角形“三线合一”性质可得，MN⊥BD．10．C11．15；1212．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC,在△ACE与△BCF中，AC=BC∠A=∠BCF∴△ACE≌△CBF(∴∠ACE=∠CBF（2）解：∵由(1)知∠ACE=∠CBF，又∠ACE+∠PCB=∠ACB=60°，∴∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPE=60°，∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，∴∠GEP=30°，∴在Rt△PGE中，PE=2PG，∵PG=1，∴PE=2.13．B14．2或2.5或1.415．证明：在△ABC中∵AB=BC，BD⊥AC∴∠1=∠2（等腰三角形三线合一）∵DE//BC，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴BE=ED（在同一个三角形中，等角对等边）即△BED是等腰三角形．16．D17．A18．319．（1）解：∵AD是BC边上的高线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠B=40°，

∴∠BAD=50°．（2）证明：连结DE，如图所示：

∵AD⊥BC，CE是AB边上的中线，

∴DE=AE=BE，

∵AE=CD，

∴DE=CD．

又∵EG=CG，

∴DG⊥CE．（等腰三角形三线合一）20．（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠ACB=∠ADB=90∴△ABC和△ABD都是直角三角形，∵点E为AB的中点，∴CE是Rt△ABC斜边AB∴CE=1又∵DE是Rt△ABD的斜边AB∴DE=1∴CE=DE，∴△ECD是等腰三角形；（2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点E为AB的中点，且CE=8，∴CE=AE=BE=8，CE⊥AB，∴∠CEB=90∵CD与AB交于点F，且BF=2，∴EF=BE−BF=6，在Rt△EFC中，由勾股定理得：CF=∵EH⊥CD于点H，∴由三角形的面积公式得：S△EFC∴EH=CE⋅EF在Rt△ECH中，由勾股定理得：CH=由1可知：△ECD是等腰三角形，∴DH=CH=32∴CD=DH+CH=64∴CD的长为6421．D22．（1）证明：在△ABC和△ADC中，

AB=AD所以△ABC≅△ADC（SSS）（2）因为△ABC≅△ADC，

所以∠BCA=∠DCA=45∘，所以∠BCD=90∘，

所以BD=BC2+CD23．A24．B25．226．（1）证明：∵△BOC≌△ADC，

∴CO=CD，

∵∠OCD=60°，

∴△OCD是等边三角形；（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC=150°，

∴∠ADO=90°，

∴∠AOD=360°−110°−150°−60°=40°，

∴△AOD是直角三角形；（3）解：由题意得：∠ADO=α−60°，∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，

∴∠OAD=180°−∠AOD+∠ADO=180°−190°−α+α−60°=50°；

①若OA=OD，则∠OAD=∠ADO，即50°=α−60°，

∴α=110°；

②若OA=AD，则∠AOD=∠ADO，即190°−α=α−60°，

∴α=125°；

③若OD=AD，则∠AOD=∠OAD，即190°−α=50°，

∴α=140°；

综上，当α等于110°或140°或27．解：（1）∵∠CAB=60°，∠ACD=90°，∴∠ADC=90°−60°=30°，

∴AD=2AC，

∵BD=AC，

∴AB+BD=AB+AC=2AC，

∴AB=AC，

∴△CAB为等边三角形，

∴AB=BC=AC=BD，

∵P是CB的中点，CP=3，

∴BC=6，

∴AD=6×2=12.

（2）CD=2AP，理由如下：

如图，连接DE，

∵BE∥AC，∠CAB=60°，

∴∠CAB=∠EBD=60°，∠CAP=∠BEP，

∵P为BC的中点，

∴CP=BP，

∵∠APC=∠EPB，

∴△ACP≌△EBP，

∴AC=BE，AP=EP，

∵BD=AC，

∴BD=BE，

∴△BED是等边三角形，

∴DE=BD=AC，∠ADE=60°=∠DAC，

∵AD=DA，

∴△ADC≌△DAE，

∴DC=AE，