数学花园探秘2025决赛初中组C卷真题含答案解析初中数学竞赛备考完整版可打印

PAGE2025年“数学花园探秘”科普活动初中年级组决赛试卷C解析版一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）算式的计算结果是____________．在平面直角坐标系中，满足的点围成的图形面积为____________．把连续自然数写成一个多位数，当写到时这个数第一次能被225整除，则的值为____________．已知三个连续正整数的乘积是比它们和的191倍多48，则这三个数中最小的一个为____________．从中取出五个不同的数组成递增的等差数列，则不同的取法共有____________种．如图，正方形ABCD中，，且，设的面积之比为（其中均为正整数且），则____________．将2025表示成几乎相等的正整数之和，不考虑加数的次序，共有____________种表示方法（“几乎相等”指任意两个加数相差不大于1）．计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数时按下这个按键，会等可能地将其替换为中的任意一个数．若初始时显示2025，反复按这个按键使得最终显示0，此过程中，设9、99都出现的概率是（其中均为正整数且），则____________．三．填空题Ⅲ（每小题14分，共42分）在平面直角坐标系xOy中，给定直线l及上一点Q，对于点，记点P关于l的对称点为，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果线段与直线l有交点，则称点K是点P关于直线l和点Q的“双垂点”．已知某点P在以为圆心、1为半径的圆M上，直线l：，若直线l上存在点K是点P关于直线l和l上某点Q的“双垂点”，则的最大值与最小值之和为____________．设是方程的三个不等实根，那么的值为____________．如图，圆的内接中，，在上，、为圆上两点，连结、分别交于、，若,,，则____________．已知开口向下的抛物线，对于给定的，有一个最大的正数，使得在这个区间上，不等式都成立．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）对于任意的，求的表达式．甲想好两个正数,并将它们的和、差、积、商告诉乙，但不告诉结果的顺序，例如甲想好了两个2，则可以告诉乙“四个结果是0、1、4、4”．求证：无论甲想好的是哪两个数，乙一定可以根据四个结果推出这两个数．

参考答案及解析1、〖答案〗2070

〖解析〗原式．

2、〖答案〗2

〖解析〗围成的图形是顶点为的正方形．

3、〖答案〗125

〖解析〗，所以有，，

∴，最小为125．

4、〖答案〗23

〖解析〗设三个正整数分别为，则有，

，，

∵，∴，．

注：因式分解有理根24，可以由猜测出来．

二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）5、〖答案〗1200

〖解析〗设首项为、公差为，由于，∴对给定的，有，

故取法总数为．

6、〖答案〗

〖解析〗不妨设AD，将三角形ADF逆时针旋转90°至三角形ABH，

可得，设，则，则有，

即，解得，，；

延长交于，，，，

，，，．

7、〖答案〗2025

〖解析〗设2025被表示为了个几乎相等的数之和，则，

一旦确定，则只需计算，然后将后个变为即可，

即对每个，表示方法唯一确定，所以表示方法有2025种．

8、〖答案〗1001

〖解析〗面对一个比大的数，由于第一次出现不大于的数时，是等概率的，

所以当面对一个比大的数时，过程中会出现的概率必为．

因此，过程中出现99的概率为、出现9的概率为，均出现的概率为．

9、〖答案〗10

〖解析〗作关于的对称图形，则．

对于固定的，绕逆时针旋转90°，等同于绕顺时针旋转45°并放大倍，

故将绕顺时针旋转45°并放大倍得到，则必落在上，

本题即找出所有，使得与有公共点．

当在上移动时，在上移动，且保持，

与有公共点要求只能在之间，

此时对应的在之间移动，故的最大值与最小值之和为．

10、〖答案〗9

〖解析〗，，；

由于且，

两式相减并分解得，∴，

故，

所以；又，故原式

11、〖答案〗11

〖解析〗，所以，

．

四．解答题（每小题18分，共36分）12、〖答案〗

〖解析〗，由于，故顶点在轴右侧，．

通过前两问的计算可知，需要对最高点与2的大小关系进行分类，故有如下分析：

若，即时，为方程的较小根，此时；

若，即时，为方程的较大根，此时．

（1），；（2），；

（3）．

13、〖答案〗

〖解析〗记两数为和．分类，（1）有0，则，，除1外的两个数（可能还有1）为，

二次方程韦达定理，可解；

（2）有负数，则只能有一个负数且必为，故、，

除之外剩余三个分类，

（i）三个全小于1，则最小的为，与一起，可解；

（ii）两个小于1，则不小于1的为，与一起，可解；

（iii）一个小于1，则小于1的为，与一起，可解；

（3）四个均为正数，则，将和差积商分别记为，

因为，设甲给出的四个数为，则必存在一组；