《概率论与数理统计》第六章样本及抽样分布-第七章参数估计

第6章

样本及抽样分布教学目的：熟练掌握随机样本的概念，初步掌握抽样分布定理。重点：抽样分布定理。难点：抽样分布定理。数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测.由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来.客观上，只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，我们只能获得局部观察资料.数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结论.在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.数理统计方法具有“部分推断整体”的特征.在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的某一项(或几项)数量指标和为此，对这一指标进行随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该数量指标的分布情况.这时，每个具有的数量指标的全体就是总体.每个数量指标就是个体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体

一个统计问题总有它明确的研究对象.1.总体…研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为总体，总体一、总体和样本总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.总体中每个成员称为个体，总体有限总体无限总体因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量…).由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性.从而可以把这种数量指标看作一个随机变量X，因此随机变量X的分布就是该数量指标在总体中的分布.

总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.某批灯泡的寿命总体

寿命X可用一概率（指数）分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.如说总体X或总体F(x).

类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.

统计中，总体这个概念的要旨是：总体就是一个概率分布.参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.2.样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5抽到哪5辆是随机的总体分布一般是未知，或只知道是包含未知

一旦取定一组样本X1，…,Xn

,得到n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.n称为这个样本的容量.最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.定义：

由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.

简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.=F(x1)F(x2)…F(xn)

若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为其简单随机样本的联合概率密度函数为=f(x1)f(x2)…f(xn)

事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10人测量身高,得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3.总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）？样本样本值统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.1.统计量这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.一、统计量与经验分布函数定义请注意:几个常见统计量样本平均值它反映了总体均值的信息样本方差它反映了总体方差的信息样本标准差它反映了总体k阶矩的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩的信息统计量的观察值请注意:2.经验分布函数经验分布函数请看演示二、统计三大抽样分布记为分布1、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：

所服从的分布为自由度为n

的分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分注n=4n=1n=101.

设相互独立,都服从正态分布则这个性质叫分布的可加性.3．若近似正态分布N(0,1).(应用中心极限定理可得)

2．设

且X1,X2相互独立，

E(X)=n,D(X)=2n.概率密度函数为：

定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.2、t分布由定义可见，3、F分布~F(n2,n1)定义:设U与V相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.1.F分布的数学期望为:若n2>2若F~F(n1,n2)，F的概率密度为2.F分布的分位数三、几个重要的抽样分布定理当总体为正态分布时，给出几个重要的抽样分布定理.定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本，是样本均值，则有n取不同值时样本均值的分布请注意:定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有n取不同值时的分布定理3(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理4(两总体样本均值差、样本方差比的分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是来自X的样本,是取自Y的样本,这两个样本的样本方差,则有Y1,Y2,…,样本均值，分别是四、例题例1解例2解例3解例4解五、课堂练习解1解2解3六、小结在这一节中我们学习了统计量的概念,几个重要的统计量及其分布,即抽样分布.要求大家熟练地掌握它们.常用的统计量样本平均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩抽样分布t分布F分布抽样分布定理样本均值的分布样本方差、均值的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布二、小结研究对象的全体称为总体总体中每个成员称为个体第七章参数估计参数：反映总体某方面特征的量63647.1参数的点估计65（一）矩估计法66基本步骤67采用的矩不同，得出的参数估计也不同。686971727374极（最）大似然估计的原理介绍考察以下例子：假设在一个罐中放着许多白球和黑球，并假定已经知道两种球的数目之比是1:3，但不知道哪种颜色的球多。如果用放回抽样方法从罐中取5个球，观察结果为：黑、白、黑、黑、黑，估计取到黑球的概率p.7677798183848586878890919294977.2估计量的评选准则

从前一节看到，对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？四条评价准则：(1)无偏性准则(2)有效性准则(3)相合性准则

1001.无偏性准则103104105107108

纠偏方法1092.有效性准则110113114

3.均方误差准则1151161174.相合性准则118120因此，(3)和(4)成立。1237.3区间估计124(一）置信区间的定义125126

单侧置信限128单侧置信限和双侧置信区间的关系：130Neyman原则：在置信度达到一定的前提下，选取精确度尽可能高的区间。同等置信区间：132枢轴量和统计量的区别：（1）枢轴量是样本和待估参数的函数，其分布不依赖于任何未知参数；（2）统计量只是样本的函数，其分布常常依赖于未知参数。思考题：构造置信区间具体步骤：138正态总体下常见枢轴量：142143144

7.4正态总体参数的区间估计149152153155区间短区间长例某制药商对某样品进行分析,以确定该样品中活性成分的含量.通常情况下，化学分析并不是完全精确的,对同一个样本进行重复的测量会得到不同结果,重复测量的结果通常近似服从正态分布.根据经验,活性成分含量的标准差为0.0068(克/升),假设化学分析过程没有系统偏差,设活性成分的含量的真值为对样品进行三次重复测量结果如下:0.84030.83330.8477.求真值的置信水平为95%的置信区间.157在Excel中的实现利用AVERAGE函数求均值，CONFIDENCE函数求方差已知时的误差限.本例的计算步骤如下：（1）

将样本观察值输入Excel表中，设数据区域为A1到A3；（2）下拉菜单“插入”选项卡═>单击“函数”═>选择“统计”═>选”AVERAGE”;（3）

在“Number1”文本框中输入“A1:A3”═>点击Enter键，即显示均值为“0.840433”；（4）重新下拉菜单“插入”选项卡═>单击“函数”═>选择“统计”═>选”CONFIDENCE”;

（5）在“Alpha”文本框中输入“0.05”，“Standard-dev”文本框中输入“0.0068”,“Size”文本框中输入“3”,═>点击Enter键，即显示误差限为“0.007695”；（6）的置信水平为0.95的置信区间为（0.840433-0.007695,0.840433+0.007695）

=（0.8327,

0.8481）161162163164在Excel中的实现本例的计算步骤如下：（1）

将上述数据值输入Excel表中，设数据区域为A1到A8；（2）在Excel表中选择任一空白单元格═>输入”=AVERAGE（A1:A8)”;═>点击Enter键，即显示均值为“1