计算机控制系统 模块2-信号转换与 z 变换

教学模块2信号转换与z

变换计算机控制系统本教学模块内容:

教学单元1-模块导学

教学单元2-信号转换分析

教学单元3-z变换与z反变换

教学单元1模块导学教学模块2信号转换与z变换熟悉1、连续系统的s传递函数模型2、连续系统频域特性分析了解1、模拟量至数字量（即A/D）转换原理2、数字量至模拟量（即D/A）转换原理1.1学习本教学模块所需掌握的基础知识（微机原理中的知识）1.2本教学模块解决的问题（1）信号转换过程特性分析：了解信号从连续到离散、再从离散到连续过程中的时域和频域特性变化，从而建立确定采样周期的理论；（2）信号变换过程的数学表达：z变换（从连续变离散）与z反变换（从离散变连续）理论。1.3计算机控制系统信号转换分析图1.1计算机控制系统前后的信号转换关系数字信号模拟信号（连续信号）离散模拟信号（采样信号）模拟信号（连续信号）计算机控制系统中的信号类型：（1）模拟信号：时间上连续，幅值上也是连续的信号，即通常所说的连续信号。（2）离散模拟信号：时间上离散而幅值上连续的信号，即常说的采样信号。（3）数字信号：时间上离散而且幅值上量化的信号，可用一序列数字表示。图1.1计算机控制系统前后的信号转换关系数字信号模拟信号（连续信号）离散模拟信号（采样信号）模拟信号（连续信号）1.4采样过程的基本概念与方法

每隔一定时间（例如T秒），开关闭合短暂时间（例如τ秒），对模拟信号进行采样，得到时间上离散数值序列：图1.2信号的转换过程1.4.1采样过程的基本概念

1.4.2采样周期的作用1.4.3A/D转换A/D转换器的作用是将输入的模拟量数字化。主要分为两大类：直接转换器：逐次逼近型、并联比较型等间接转换器：单积分型、双积分型等典型芯片：ADC0809—8位逐次逼近型，并行接口顺序砝码重量

比较判断砝码去留18g8g<13g

留

128g+4g12g<13g

留

1

38g+4g+2g14g>13g

去

048g+4g+1g13g=13g

留

1逐次逼近的基本思想：类似于用天平称物

结果表示逐次逼近型A/D转换器：131101通常A/D转换器要完成采样、量化和编码3个变换：A/D转换的误差：主要应由A/D转换器转换速率（孔径时间）和转换精度（量化误差）来决定。连续信号离散模拟信号数字信号采样保持器量化和编码1.5采样信号恢复过程的基本概念与方法

滤波器脉冲序列连续信号1.5.1采样恢复过程的基本概念

按与微机的接口形式分类DAC：串行接口DAC，并行接口DAC；按DAC的输出形式分类：电流输出型DAC，电压输出型DAC.典型芯片：DAC0832—8位并行接口，电流输出。1.5.2D/A转换D/A转换是将数字编码信号转换为相应的时间连续模拟信号。D/A转换器的工作原理，可以归结为“按权展开求和”的基本原则，对输入数字量中的每一位，按权值分别转换为模拟量，然后通过运算放大器求和，得到相应模拟量输出。权电阻法的DAC原理图D/A转换器将数字编码信号转换为相应的时间连续模拟信号，包括解码器和信号保持器。D/A转换的误差主要由解码器精度（转换器字长）和保持器（采样点之间插值）的形式以及规定的时间间隔T

决定。数字信号离散模拟信号连续信号·教学单元一结束·教学单元2信号转换分析教学模块2信号转换与z变换2.1采样过程及采样函数的数学表示每隔一定时间（例如秒），开关闭合短暂时间（例如秒），对模拟信号进行采样，得到时间上离散数值序列：图2.1信号的转换过程图2.2f(t)经脉冲采样器的调制过程单位理想脉冲序列:理想单位脉冲:冲量采样函数:脉冲强度在时间内，仅在t=0时刻有脉冲，于是得到：2.2采样函数的频谱分析及采样定理

采样函数的一般表达式为是周期函数，可以展成傅氏级数（Fourier）:其中采样角频率：傅氏系数：考虑到脉冲函数的筛选特性，即于是有：从而得到：于是采样函数的拉氏变换式为：定义拉氏变换式：拉氏变换复位移定理则采样函数的傅氏变换式为：根据拉氏变换复位移定理得到：令，得到再令周期函数，周期为图2.3频谱图(a)—频谱(b)—频谱非周期频谱周期频谱主频谱附加频谱频谱幅值发生变化(a)

(b)为了不失真地由采样函数恢复原连续函数，要求：“如果一个连续信号不包含高于频率的频率分量（连续信号中所含频率分量的最高频率为），那么就完全可以用周期的均匀采样值来描述。或者说，如果采样频率，那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号”香农（Shannon）采样定理：注意：连续信号的频谱是无限带宽，此时无论怎样提高采样频率，频谱混叠或多或少都将发生香农采样定理解决了理论上选择采样周期T的方法。15~2010~20或取纯滞后时间3~10优选3~85~101~5采样周期T/s

成分

温度

压力

液位

流量被控对象2.3采样周期T的讨论

香农采样定理存在的问题：（1）采样周期越小越好；（2）系统数学模型不好精确地测量，系统的最高角频率不好确定的情况下，如何确定采样周期？表2.1工程上慢过程采样周期选择方法第（1）个问题解决：工程上讲究“适当”就好。图2.4系统预期开环频率特性对于快过程，工程上采样周期选择方法：即谐振频率开环截止频率第（2）个问题解决：2.4采样信号恢复过程分析若把数字信号无失真地复现成连续信号，由香农采样定理可知，采样频率，则在被控对象前加一个理想滤波器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频频谱分量频谱理想滤波器特性但是，这种理想滤波器是不存在的，必须找出一种与理想滤波器特性相近的物理上可实现的实际滤波器，这种滤波器称为保持器。保持器脉冲序列连续信号保持器外推表达式：……2.5零阶保持器仅取保持器外推式的第一项时，组成零阶保持器：图2.5零阶保持器输入输出的关系图2.6零阶保持器时域特性零阶保持器的脉冲响应函数求零阶保持器s传递函数表达式：输出：输入：于是得到零阶保持器的传递函数为：零阶保持器的频率特性为：幅频特性为：相频特性为：取整函数开关特性正负交替出现零阶保持器特性：

具有低通滤波特性，但不是一个理想的滤波器零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因素，平均滞后T/2时间·教学单元二结束·教学单元3z变换与z反变换教学模块2信号转换与z变换的拉普拉斯变换式为的采样信号为

其拉普拉斯变换式为

引入一个新的复变量3.1z变换的定义时域s

域z

域时间序列(信号幅值信息)序列时刻(时间信息)：单位延迟因子z变换关于z变换过程：注：与不是一一对应关系，一个可有无穷多个与之对应。s变换s变换将离散函数展开如下然后利用公式直接展开3.2z变换方法1、级数求和法

（1）例2.1

求单位阶跃函数1(t)的z

变换解：单位阶跃函数1(t)在任何采样时刻的值均为1代入式（1）中，得：

（2）将式（2）两边乘以，有：

（3）上两式相减，得：所以通常无重极点的能够分解成如下的部分分式形式：式中，与都是复变量s的多项式。设连续函数的拉氏变换为有理函数，具体形式如下：2、部分分式法衰减指数函数于是有：其中：例2.2

求的z

变换解：于是得到：从而得到：3、留数计算法若已知连续时间函数的拉氏变换式及全部极点，则的z变换可由下面留数计算公式求得：其中：其中m

---不同极点个数

ni---si的阶数

T---采样周期例2.3

求的z

变换。解：由F(s)表达式得到：于是得到：例2.4

求的z

变换。解：上式有1个二重极点,于是从而得到：3.3

z变换的基本定理线性函数满足齐次性和迭加性，若1、线性定理

、为任意常数，则2、滞后定理如果，则3、超前定理如果则4、初值定理如果的z变换为，而存在，则5、终值定理如果的z变换为，而在z平面以原点为圆心的单位圆上或圆外没有极点，则6、求和定理7、复域位移定理8、复域微分定理9、复域积分定理10、卷积定理3.4z反变换定义及方法从z变换求出的采样函数，称为z反变换，表示为定义：时域z域1、长除法用表达式的分子除以分母，得到升幂排列的级数展开式，即：例2.5

求的z

反变换。解：首先按的升幂排列的分子和分母，即应用长除法于是得到相应的采样函数为2、部分分式法将写成如下有理式标准形式：对的分母进行因式分解，即各个分式所对应的时间序列为通常熟悉的指数序列：一般适合所有极点是互不相同的单极点的情况：例2.6

求的z反变换解：将除以z，并展开成部分分式，得上式两边乘以z，得于是得到3、留数法在留数法中，采样函数值等于各个极点上留数之和，即其中：式中m

---不同极点个数;ni---zi的阶数例2