初三数学(北京版)解直角三角形(2)-1教案

课程基本信息课例编号学科数学年级九年级学期上课题解直角三角形（二）教科书书名：义务教育教科书出版社：北京出版社出版日期：2019年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师指导教师指导教师教学目标教学目标：1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。2.通过综合运用上面知识解直角三角形的过程，逐步培养分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想。3.在解题过程中，体会成功的喜悦。教学重点：能够理解直角三角形的意义以及一般方法。教学难点：灵活运用所学知识，选择合适的方法解直角三角形。教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟一复习回顾【复习回顾】根据上节课的学习，我们知道由直角三角形中，除直角外的两个已知元素，其中至少一个是边，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形，根据已知条件，如何解直角三角形呢？一知识概要：1．直角三角形的两锐角互余。2．勾股定理。3．三角函数：sinA=costanA=二解直角三角形基本方法1．已知一个锐角和一条边。2．已知的是两条边。7分钟二例题讲解【典型例题】例1如图在直角三角形ABC中，∠C等于90度，a等于10。三角形ABC的面积等于，解这个三角形。解决问题的关键在于抓住题目中的三角形面积，等于如果把三角形的面积，转化为边的条件就利于我们将所求和已知建立联系，根据三角形面积公式得到AC的长度。综上，我们将已知一边和面积的解直角三角形问题转化为已知AC、BC两条直角边的解直角三角形问题【设计意图】学生经历转化的推导过程，体会在直角三角形的背景下，如果解直角三角形的直接条件不足，那么我们需要利用其他条件转化补足条件，进而解直角三角形。11分钟例题讲解【典型例题】例2如图，在三角形△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=4cm。求AB的长.方法一：分析，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，这是重要的等腰三角形基本图形.由等边对等角我们容易得出∠B=∠C,由∠A=120°，我们可知∠B=30°,解决问题的关键在于抓住角B等于30度，能够把30度的∠B放到直角三角形当中就利于我们把所求和已知建立联系。所以过点A作AD垂直BC于点D，在等腰三角形ABC当中构造直角三角形ABD，从而将求AB长的问题转化为解直角三角形ABD的问题。解题过程：过点A作AD⊥BC交BC于点D.∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°∴BD=,∵BC=4，∴BD=2在Rt△ABD中，∵cosB=∴AB=∴AB=【设计意图】在本题的分析过程中，我们在等腰三角形ABC中，通过过点A做BC垂线的方法构造了直角三角形ABD，从而把求线段AB长的问题转化为求解直角三角形ABD的问题。本题要点是围绕AB构造直角三角形。观察图形在AB等于AC条件下。根据等腰三角形三线合一性质，以AB为斜边构造直角三角形。方法二：我们来进一步拓展，刚才我们是围绕AB，以AB作为斜边进行构造，我们还可以围绕BC,以BC作为斜边构造直角三角形解决问题。例如，过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E，构造直角三角形EBC。根据分类讨论思想，我们还可以过点C作CF⊥BA交BA的延长线于点F，构造直角三角形FBC。具体解题过程：解：过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E.在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°∴∠EAB=60°∵BC=4在Rt△EBC中，∵sinC=,∴BE=BCsinC∴BE=2在Rt△EAB中，∵sin∠EAB=∴AB=∴AB=方法三：以BC作为斜边构造直角三角形解决问题。在直角三角形中BC还可以作为什么边呢？BC还可以作为直角边。下面我们以BC作为直角边进行构造直角三角形解决问题。过点B作BG⊥BC交CA的延长线于点G，构造直角三角形GBC。根据分类讨论思想，我们还可以过点C作CH⊥BC交BA的延长线于点H，构造直角三角形HBC具体解题过程：解：过点B作BG⊥BC交CA的延长线于点G.在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠GAB=60°∠GBA=60°即△GBA是等边三角形∴AB=BG在Rt△GBC中，∵tanC=,∴BG=BCtanC∴BG=∴AB=【设计意图】通过对例二的探究，我们进一步拓广了解题思路与方法。如果说例1我们积累的内容是可以转化为边的条件和可以转化为角的条件，那么例2的积累就是围绕线段构造直角三角形方法的积累，例二中的等腰三角形也是解直角三角形中的基本图形。扎实的积累，会为将来我们引入四边形，圆等背景时解决更为复杂的综合题目打下坚实的基础。通过例2的三种解题思路，我们的思路大致分为两类：一是围绕所求边构造直角三角形解决问题。二是围绕已知边构造直角三角形解决问题。1分钟三课堂总结我们解直角三角形最终都会化归为基本方法，解题方法可选的比较多，同学们心中有方向，认真思考题目中所给的已知条件，采用步骤简单，计算简便的方法解决，体现数学的简洁之美！学好解直角三角形，要注意积累。我们要想利用解直角三角形的方法求未知元素，可以针对未知元素进行分类讨论。如果未知元素存在于直角三角形，有条件，直接根据基本方法解直角三角形，如果无条件则应根据已知转化为有条件，进而解直角三角形。如果未知元素不存在于直角三角形，则应围绕未知元