初三数学(北京版)锐角三角函数(2)-1教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级九年级学期上课题锐角三角函数（2）教科书书名：义务教育教科书出版社：北京出版社出版日期：2019年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师指导教师指导教师教学目标教学目标：1.认识锐角的余弦、正切的概念，在直角三角形中能利用定义表示三角形的两边比；2.类比正弦函数的概念的学习，探索余弦函数和正切函数的概念，进一步认识函数，体会函数中变化与对应的思想；3.通过探究过程，感受数学学科的严谨性，体会获得成功的喜悦.教学重点：锐角的余弦、正切的概念.教学难点：运用余弦、正弦的概念进行有关计算.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟复习回顾1.提出问题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求sinA，sinB的值.2.复习回顾正弦的概念及上节课的研究过程.8分钟探究新知【问题1】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A取任意一个确定的值时，除了∠A的对边与斜边之比外，还有哪两条边的比是固定不变的值？除了∠A的对边与斜边，还剩下一条边AC，我们将其称为∠A的邻边.还有，这几种情况，因为有互为倒数的关系，因此我们只研究其中的三个比值，即和.正弦我们上节课已经研究过，因此本节课我们主要研究后两种情况.【推理证明】类比正弦的证明过程，我们可以利用相似的知识解决.利用AA相似可以证明三个直角三角形相似，由相似三角形的性质可以得出∠A的邻边比斜边==…，∠A的对边比∠A的邻边==…我们得出结论，当锐角A取任意一个确定的值时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与∠A的邻边的比是固定不变的值，与三角形的大小无关.【形成概念】我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，.与正弦函数类似，cosA与∠A满足函数的对应关系，因此cosA叫做∠A的余弦函数.我们把锐角A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，.tanA叫做∠A的正切函数.【实践】根据余弦和正切的定义，你能求出30°，45°和60°角的余弦值和正切值吗？结合图形可得，【交流】当0°<sinA<90°时，cosA和tanA的值是如何变化的呢？取值范围是怎样的呢？1.cosA取值范围探究（1）猜想：通过三个特殊角的余弦值会发现，∠A的度数由30°到45°到60°越来越大，对应的余弦值越来越小，因此我们猜想∠A变大时，对应的cosA随之变小.（2）推理证明：如图，我们仍然可以设斜边的长不变，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的邻边长度变小，那么邻边与斜边的比值也变小，即cosA随着∠A的变大而变小.由于，斜边是大于直角边的，即分母永远大于分子，因此这个比值永远小于1.cosA的范围是0<cosA<1.2.tanA取值范围探究（1）猜想：通过三个特殊角度发现，∠A的度数变大时，tanA的值也越来越大，因此我们猜想∠A变大时，tanA随之变大.（2）推理证明：我们仍然可以类比正弦函数和余弦函数的证明，我们可以令邻边AC保持不变，如图，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的对边也在变大，因此对边与邻边的比值随之变大.当∠A趋近于90°时，对边的长趋于无限长，而比值也将趋于无限大.因此，tanA的范围为tanA>0.结论：cosA随∠A的变大而变小，取值范围为0<cosA<1;tanA随∠A的变大而变大，取值范围为tanA>0.10分钟新知运用一、基础应用1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请填空.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求以下各图中∠B的余弦和∠A的正切值.小小结：当直角三角形给出三边时，只需要结合定义求出各角对应的余弦值和正切值即可，但是一定要找准每个角的对边和邻边.二、典型例题【例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求cosB和tanA的值.分析：当直角三角形中已知两边时，可以利用勾股定理求出第三边AB=5，再利用余弦和正切的定义即可求解.【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求cosB和tanA的值.分析：已知中给出了∠B的正弦值，根据定义可知，sinB=即已知∠B的对边AC与斜边AB的比值，设AC=3k，AB=5k，由勾股定理可得BC=4k，此时直角三角形的三边用含相同参数的式子表示出来了，再根据定义得，.小小结：已知两边比值时，我们可以设定参数，利用勾股定理用相同的参数表示直角三角形的第三边，最后.根据定义求值即可.由于三边都有了，因此∠A和∠B的正弦、余弦和正切值我们都可以求出.即给出一个比值，所有角的正弦、余弦、正切都可以表示出来.小小结：我们再来对比一下两种情况.根据已知条件的不同，一个直接求第三边即可，一个需要用设参法，但相同的地方是都要将第三边表示出来，进而根据定义求值.【例2】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，，求AB的长.分析：本题已知了余弦值，让我们求边长.首先还是根据定义可得cosA=，将式子写出，已知AC的长，因此直接代入即可求AB的长.小小结：当我们已知一个角的正弦、余弦或正切时，即知道了两边的比值，如果再给出一条相关的边长时，如正弦的相关边长为对边、斜边，余弦的相关边长为邻边、斜边，正切的相关边长为对边、邻边，此时直接根据定义列出边角关系，代入即可求边长.当然，我们也可以使用设参法解决.设AC=3k，AB=5k，可得3k=6，k=2，AB=10.小小结：我们的解决过程为根据定义设参，结合已知列方程、解方程，求边长即可.【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，求AB的长.分析：本题已知BC的长和∠A的余弦，即给出了比值和一条不相关的边长，因此无法用直接代入的方法，此时我们可以用设参法解决.与前面例题类似，设AC=3k，AB=5k，由勾股得BC=4k，结合已知列方程4k=8，最终求得AB=10.小小结：当已知一个角的正弦、余弦或正切时，即知道了两边比值，如果再已知一条不相关的边长时，我们可以利用设参法解决，根据定义设参，用勾股定理表示第三边，结合已知列方程、解方程，进而可求其他边长.小小结：结合这两种情况，我们可以得出，一个直角三角形中，只要给出一个角的正弦、余弦或正切值，再给出一条边，我们都可以求出另外两条边的长.不管用的方法是什么，都要牢牢抓住定义，根据定义进行分析.2分钟课堂小结1.回顾本节课内容，说出你的收获和困惑.2.从学习过程、收获知识和思想方法三方面进行总结.本节课我们类比上节课正弦的学习，探究