人教版高中二年级数学上学期期末测试卷2025-2026

人教版高中二年级数学上学期期末测试卷2025-2026姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,1)上单调递增，则a的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

2.若集合A={x|x^2-3x+2>0},B={x|x^2-ax+a-1<0},且B⊆A，则实数a的取值范围是()

A.(1,2)

B.(2,3)

C.(1,3)

D.(-∞,1)∪(3,+∞)

3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是()

A.π

B.2π

C.3π/2

D.4π/3

4.已知向量a=(1,k),b=(2,-1),若a⊥b，则k的值是()

A.-2

B.-1/2

C.2

D.1/2

5.抛掷两个骰子，记事件A为“两个骰子的点数之和为5”，事件B为“两个骰子的点数之和为7”，则P(A|B)等于()

A.1/6

B.1/4

C.1/3

D.1/2

6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1,a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)，则a_5的值是()

A.31

B.63

C.127

D.255

7.直线l：x+2y-3=0与圆C：x^2+y^2-4x+4y+k=0相切，则k的值是()

A.-5

B.-3

C.5

D.3

8.已知点P(x,y)在曲线y=x^2上运动，则点P到直线l：x-y+1=0的距离的最小值是()

A.1/√2

B.√2

C.1

D.2

9.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，且公差d=2，则a_1的值是()

A.-4

B.-2

C.2

D.4

10.已知f(x)=x^3-ax^2+bx+1，若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a+b的值是()

A.-3

B.-1

C.1

D.3

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)的最小正周期为π，则α=______

2.已知集合A={x|x^2-x-6<0},B={x|ax>1},且A∩B={x|2<x<3},则a的值是______

3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______

4.已知向量a=(3,-1),b=(-2,k),若向量a+b与向量(-1,1)共线，则k=______

5.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2-2x+4y-4=0相切，且过点(1,-1)，则k+b=______

6.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_n+a_{n+1}=n(n≥1)，则a_4的值是______

7.从5名男生和4名女生中任选3人，其中至少有1名女生的选法共有______种

8.函数f(x)=e^x-x在区间(-1,1)上的最大值是______

9.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3,b=4,c=5，则cosB的值是______

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值是______

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,π)上单调递增的是()

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=-cot(x)

2.已知集合A={x|x^2-x-6>0},B={x|mx-1<0},若B⊊A，则实数m的取值范围是()

A.(-∞,0)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D.(-1,0)

3.下列向量中，与向量(1,-2)垂直的是()

A.(2,1)

B.(-1,2)

C.(4,-2)

D.(-2,4)

4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(x)在x=π/4处取得最小值，且周期为π，则下列说法正确的是()

A.ω=2

B.φ=2π/3

C.ω=-2

D.φ=-π/3

5.下列命题中，真命题是()

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则√a>√b

C.若a^2>b^2，则a>b

D.若a>b，则1/a<1/b

6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n^2+n，则下列说法正确的是()

A.a_1=2

B.a_n=2n

C.a_n=S_n-S_{n-1}

D.{a_n}是等差数列

7.下列曲线中，离心率为√2的是()

A.椭圆x^2/4+y^2/9=1

B.双曲线x^2/4-y^2/9=1

C.抛物线y^2=4x

D.圆x^2+y^2=4

8.已知直线l：x+2y-3=0与圆C：x^2+y^2-2x+4y+k=0相切，则下列说法正确的是()

A.k=-5或k=5

B.圆心在直线2x-y+1=0上

C.圆C过原点

D.圆C的半径为√5

9.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是()

A.y=log_a(x)(a>1)

B.y=a^x(a>1)

C.y=x^2

D.y=|x|

10.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1，若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=0，则下列说法正确的是()

A.a=3,b=-2

B.a=-3,b=4

C.f(x)在x=-1处取得极小值

D.f(x)在x=2处取得极大值

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是0

2.若集合A={x|x>1},B={x|x<2},则A∩B={x|1<x<2}

3.向量(1,2)与向量(2,4)共线

4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π

5.抛掷一个骰子，事件“出现偶数点”与事件“出现奇数点”是互斥事件

6.等比数列{a_n}中，若a_1=1,q=2，则a_5=16

7.直线x=1与圆x^2+y^2-2x+4y-4=0相切

8.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是8

9.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3,b=4,c=5，则△ABC是直角三角形

10.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1，若f(x)在x=1处取得极值，则a=3或a=-3

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期

2.已知集合A={x|x^2-x-6<0},B={x|ax>1},且A∩B={x|2<x<3},求a的值

3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值

4.已知向量a=(3,-1),b=(-2,k),若向量a+b与向量(-1,1)共线，求k的值

5.已知直线y=kx+b与圆x^2+y^2-2x+4y-4=0相切，且过点(1,-1)，求k+b的值

6.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_n+a_{n+1}=n(n≥1)，求a_4的值

7.从5名男生和4名女生中任选3人，其中至少有1名女生的选法共有多少种

8.求函数f(x)=e^x-x在区间(-1,1)上的最大值

9.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3,b=4,c=5，求cosB的值

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,1)上单调递增，则其导数f'(x)=1/(a(x+1)lna)>0在(-1,1)上恒成立。由于x+1>0在(-1,1)上恒成立，且lna>0，所以a>1。故选B。

2.D

解析：由x^2-3x+2>0得A={x|x<1或x>2}。由x^2-ax+a-1<0得B={x|(x-1)(x-(a-1))<0}。若a-1>1即a>2，则B={x|1<x<a-1}，此时B⊊A。若a-1<1即a<2，则B={x|a-1<x<1}，此时B⊊A。若a-1=1即a=2，则B=∅，此时B⊊A。故a∈(-∞,2)∪(2,+∞)。又因为B⊊A，所以a不能取使得B=A的情况，即a≠1且a≠3。结合以上分析，a的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞)。故选D。

3.A

解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。故选A。

4.C

解析：向量a=(1,k),b=(2,-1)，若a⊥b，则a·b=0，即1×2+k×(-1)=0，解得k=2。故选C。

5.A

解析：抛掷两个骰子，基本事件总数为6×6=36。事件A包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个。事件B包含的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个。事件AB包含的基本事件只有(3,4)，共1个。所以P(A|B)=P(AB)/P(B)=1/6。故选A。

6.C

解析：由a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)得a_n+1=2(a_{n-1}+1)(n≥2)。令b_n=a_n+1，则b_n=2b_{n-1}(n≥2)，且b_1=a_1+1=2。所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2×2^{n-1}=2^n。所以a_n=b_n-1=2^n-1。则a_5=2^5-1=32-1=31。故选C。

7.A

解析：圆C的方程为x^2+y^2-4x+4y+k=0，即(x-2)^2+(y+2)^2=8-k。圆心为(2,-2)，半径r=√(8-k)。直线l：x+2y-3=0到圆心(2,-2)的距离d=|2+2×(-2)-3|/√(1^2+2^2)=|-4-3|/√5=7/√5=7√5/5。因为直线l与圆C相切，所以d=r，即7√5/5=√(8-k)。两边平方得(7√5/5)^2=8-k，即49×5/25=8-k，即49/5=8-k，解得k=8-49/5=40/5-49/5=-9/5。故选A。

8.B

解析：点P(x,y)在曲线y=x^2上运动，点P到直线l：x-y+1=0的距离为d=|x-x^2+1|/√(1^2+(-1)^2)=|x^2-x+1|/√2。令g(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4≥3/4。所以d的最小值为g(x)的最小值除以√2，即d_min=3/(4√2)=√2/4。故选B。

9.D

解析：在等差数列{a_n}中，a_3+a_7=12，即a_1+2d+a_1+6d=12，即2a_1+8d=12，即a_1+4d=6。又因为公差d=2，所以a_1+4×2=6，即a_1+8=6，解得a_1=-2。故选D。

10.C

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，即3×1^2-2a×1+b=0，即3-2a+b=0，即b=2a-3。又因为f(1)=0，所以1^3-a×1^2+b×1+1=0，即1-a+b+1=0，即2-a+b=0，即b=a-2。联立b=2a-3和b=a-2，解得2a-3=a-2，即a=1。代入b=a-2得b=-1。所以a+b=1+(-1)=0。故选C。

二、填空题答案及解析

1.kπ/2(k∈Z,k≠0)

解析：f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)=sin(x+α)+cosαcos(x)+sinαsin(x)=(cosα+sinα)sin(x)+cosαcos(x)=√2sin(x+π/4+α)。要使f(x)的最小正周期为π，则x+π/4+α=x+π/4+α+2π，即2π/ω=π，所以ω=2。又因为周期为π，所以2π/|ω|=π，即|ω|=2。所以ω=±2。此时f(x)=√2sin(2x+π/4+α)。要使f(x)的最小正周期为π，则2π/|ω|=π，即|ω|=2。所以ω=±2。此时f(x)=√2sin(2x+π/4+α)。要使f(x)的最小正周期为π，则2π/|ω|=π，即|ω|=2。所以ω=±2。此时f(x)=√2sin(2x+π/4+α)。要使f(x)的最小正周期为π，则2π/|ω|=π，即|ω|=2。所以ω=±2。此时f(x)=√2sin(2x+π/4+α)。要使f(x)的最小正周期为π，则2π/|ω|=π，即|ω|=2。所以ω=±2。此时f(x)=√2sin(2x+π/4+α)。要使f(x)的最小正周期为π，则2π/|ω|=π，即|ω|=2。所以ω=±2。此时f(x)=√2sin(2x+π/4+α)。所以α=kπ/2(k∈Z,k≠0)。

2.-1/2

解析：由x^2-x-6<0得(x-3)(x+2)<0，所以A={x|-2<x<3}。由ax>1得x>1/a。因为A∩B={x|2<x<3}，所以1/a≤2，且B中必须包含大于3的元素，即a<0。所以1/a≤2且a<0，即a≤1/2且a<0。所以a<0。又因为A∩B={x|2<x<3}，所以B中必须包含大于3的元素，即a<0。所以a=-1/2。

3.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|=

{x+2-(x-1)=3,x≥1,

{-(x-1)+(x+2)=3,-2≤x<1,

{-(x-1)-(x+2)=-2x-1,x<-2.

当x≥1时，f(x)=3；当-2≤x<1时，f(x)=3；当x<-2时，f(x)=-2x-1。所以f(x)的最小值为min{3,3,-2x-1(x<-2)}。当x<-2时，-2x-1>3。所以f(x)的最小值为3。故最小值为3。

4.-6

解析：向量a+b=(3+(-2),-1+k)=(1,k-1)。向量(-1,1)=(-1,1)。若向量a+b与向量(-1,1)共线，则存在λ∈R，使得(1,k-1)=λ(-1,1)。所以1=-λ且k-1=λ。由1=-λ得λ=-1。代入k-1=λ得k-1=-1，解得k=0。故k=-6。

5.1

解析：圆x^2+y^2-2x+4y-4=0即(x-1)^2+(y+2)^2=9，圆心为(1,-2)，半径r=3。直线y=kx+b过点(1,-1)，所以-1=k×1+b，即b=-1-k。直线到圆心的距离d=|1×1+(-2)×(-2)+b|/√(k^2+1)=|1+4-k|/√(k^2+1)=|5-k|/√(k^2+1)。因为直线与圆相切，所以d=r，即|5-k|/√(k^2+1)=3。两边平方得(5-k)^2=9(k^2+1)，即25-10k+k^2=9k^2+9，即8k^2+10k-16=0，即4k^2+5k-8=0。解得k=(-5±√(25+4×4×8))/(2×4)=(-5±√89)/8。所以k+b=k+(-1-k)=-1。故k+b=1。

6.4

解析：S_n=n^2+n。a_1=S_1=1^2+1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-((n-1)^2+(n-1))=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-n^2+2n-n=2n。所以a_n=2n(n≥1)。所以a_4=2×4=8。故a_4=4。

7.40

解析：从5名男生和4名女生中任选3人，总选法数为C(9,3)=9!/(3!6!)=(9×8×7)/(3×2×1)=3×4×7=84种。至少有1名女生的选法包括：1名女生2名男生，选法数为C(4,1)C(5,2)=4×(5×4)/(2×1)=4×10=40种；2名女生1名男生，选法数为C(4,2)C(5,1)=(4×3)/(2×1)×5=6×5=30种；3名女生，选法数为C(4,3)=4种。所以总选法数为40+30+4=74种。故选法共有40种。

8.e

解析：f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x-1=0，即e^x=1，解得x=0。在区间(-1,0)上，f'(x)=e^x-1<0，所以f(x)在(-1,0)上单调递减。在区间(0,1)上，f'(x)=e^x-1>0，所以f(x)在(0,1)上单调递增。所以f(x)在x=0处取得极小值，也是最小值。f(0)=e^0-0=1。又因为f(-1)=e^{-1}-(-1)=1/e+1>1，f(1)=e^1-1=e-1>1。所以f(x)在区间(-1,1)上的最大值为max{f(-1),f(1)}=max{1/e+1,e-1}=e。故最大值为e。

9.4/5

解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。代入a=3,b=4,c=5得cosC=(3^2+4^2-5^2)/(2×3×4)=(9+16-25)/(2×3×4)=0/(2×3×4)=0。所以角C=π/2，即△ABC是直角三角形。在直角三角形中，cosB=a/c=3/5。故cosB=4/5。

10.11

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得3x^2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-4×3×2))/(2×3)=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=(3±√3)/3。即x=1-1/√3或x=1+1/√3。在区间(-1,1-1/√3)上，f'(x)>0，所以f(x)单调递增。在区间(1-1/√3,1+1/√3)上，f'(x)<0，所以f(x)单调递减。在区间(1+1/√3,3)上，f'(x)>0，所以f(x)单调递增。所以f(x)在x=1-1/√3处取得极大值，在x=1+1/√3处取得极小值。f(1-1/√3)=(1-1/√3)^3-3(1-1/√3)^2+2=(1-3√3+3-√3)/(√3)^3-3(1-2√3+3)+2=(4-4√3)/(3√3)-3(4-2√3)+2=(4-4√3)/(3√3)-12+6√3+2=(-4√3+4)/(3√3)-10+6√3=-4/3+4/3√3-10+6√3=(-4+4√3-30√3+18)/(3√3)-10=(-4-26√3+18)/(3√3)-10=(-26√3+14)/(3√3)-10=(-26+14/√3)/(3)-10=(-26+14√3)/(9)-10=(-26+14√3-90)/(9)=(-116+14√3)/(9)。f(1+1/√3)=(1+1/√3)^3-3(1+1/√3)^2+2=(1+3√3+3+√3)/(√3)^3-3(1+2√3+3)+2=(4+4√3)/(3√3)-3(4+2√3)+2=(4+4√3)/(3√3)-12-6√3+2=(4√3+4)/(3√3)-10-6√3=4/3+4/3√3-10-6√3=(4+4√3-30√3-18)/(3√3)-10=(4-26√3-18)/(3√3)-10=(-26√3-14)/(3√3)-10=(-26-14/√3)/(3)-10=(-26-14√3)/(9)-10=(-26-14√3-90)/(9)=(-116-14√3)/(9)。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(3)=3^3-3×3^2+2=27-27+2=2。所以f(x)在区间[-1,3]上的最大值为max{f(-1),f(1-1/√3),f(1+1/√3),f(3)}=max{-2,(-116+14√3)/(9),(-116-14√3)/(9),2}。由于(-116+14√3)/(9)>-2且(-116+14√3)/(9)<2，且(-116-14√3)/(9)<-2，所以最大值为2。故最大值为11。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|=

{x+2-(x-1)=3,x≥1,

{-(x-1)+(x+2)=3,-2≤x<1,

{-(x-1)-(x+2)=-2x-1,x<-2.

当x=1时，f(1)=3。当x=-2时，f(-2)=-2×(-2)-1=3。所以f(x)的最小值是3。故正确。

2.√

解析：A={x|x>1}=(1,+∞)，B={x|x<2}=(-∞,2)。所以A∩B={x|1<x<2}=(1,2)。故正确。

3.√

解析：向量a=(1,2)，b=(2,4)。因为b=2a，所以向量a与向量b共线。故正确。

4.√

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。函数y=sin(x)的最小正周期为2π，所以f(x)的最小正周期为2π。故正确。

5.√

解析：抛掷一个骰子，基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36个。事件“出现偶数点”包含的基本事件有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,4),(6,5)，共18个。事件“出现奇数点”包含的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)，共18个。因为事件“出现偶数点”与事件“出现奇数点”没有共同的基本事件，即P(AB)=0，所以它们是互斥事件。故正确。

6.×

解析：由a_n+a_{n+1}=n(n≥1)得a_{n+1}=n-a_n。a_1=1。a_2=1-a_1=1-1=0。a_3=2-a_2=2-0=2。a_4=3-a_3=3-2=1。所以a_4=1。故错误。

7.√

解析：圆x^2+y^2-2x+4y-4=0即(x-1)^2+(y+2)^2=9，圆心为(1,-2)，半径r=3。直线x=1到圆心(1,-2)的距离d=|1-1|=0。因为d<r，所以直线与圆相交。故错误。

8.√

解析：圆x^2+y^2-4x+4y+k=0即(x-2)^2+(y+2)^2=8-k。圆心为(2,-2)，半径r=√(8-k)。直线x+2y-3=0到圆心(2,-2)的距离d=|2+2×(-2)-3|/√(1^2+2^2)=|-4-3|/√5=7/√5=7√5/5。因为直线与圆相切，所以d=r，即7√5/5=√(8-k)。两边平方得(7√5/5)^2=8-k，即49×5/25=8-k，即49/5=8-k，解得k=8-49/5=40/5-49/5=-9/5。圆心(2,-2)到直线2x-y+1=0的距离d'=|2×2-(-2)+1|/√(2^2+(-1)^2)=|4+2+1|/√5=7/√5=7√5/5=d。所以圆心在直线2x-y+1=0上。故正确。

9.√

解析：由a^2+b^2=c^2得cosC=a/c=3/5。故正确。

10.×

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，即3×1^2-2a×1+b=0，即3-2a+b=0，即b=2a-3。又因为f(1)=0，所以1^3-a×1^2+b×1+1=0，即1-a+b+1=0，即2-a+b=0，即b=a-2。联立b=2a-3和b=a-2，解得2a-3=a-2，即a=1。代入b=a-2得b=-1。所以a+b=1+(-1)=0。若a=-3，则b=-3-2=-5。此时f'(x)=3x^2+6x-5。f'(-1)=3×(-1)^2+6×(-1)-5=3-6-5=-8≠0。所以a≠-3。故错误。

五、问答题答案及解析

1.π

解析：f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。故最小正周期为π。

2.-1/2

解析：由x^2-x-6<0得(x-3)(x+2)<0，所以A={x|-2<x<3}。由ax>1得x>1/a。因为A∩B={x|2<x<3}，所以1/a≤2，且B中必须包含大于3的元素，即a<0。所以1/a≤2且a<0，即a≤1/2且a<0。所以a<0。又因为A∩B={x|2<x<3}，所以B中必须包含大于3的元素，即a<0。所以a=-1/2。

3.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|=

{x+2-(x-1)=3,x≥1,

{-(x-1)+(x+2)=3,-2≤x<1,

{-(x-1)-(x+2)=-2x-1,x<-2.

当x≥1时，f(x)=3；当-2≤x<1时，f(x)=3；当x<-2时，f(x)=-2x-1。所以f(x)的最小值为min{3,3,-2x-1(x<-2)}。当x<-2时，-2x-1>3。所以f(x)的最小值为3。故最小值为3。

4.-6

解析：向量a+b=(3+(-2),-1+k)=(1,k-1)。向量(-1,1)=(-1,1)。若向量a+b与向量(-1,1)共线，则存在λ∈R，使得(1,k-1)=λ(-1,1)。所以1=-λ且k-1=λ。由1=-λ得λ=-1。代入k-1=λ得k-1=-1，解得k=0。故k=-6。

5.1

解析：圆x^2+y^2-2x+4y+k=0即(x-1)^2+(y+2)^2=8-k。圆心为(1,-2)，半径r=√(8-k)。直线y=kx+b过点(1,-1)，所以-1=k×1+b，即b=-1-k。直线到圆心的距离d=|1×1+(-2)×(-2)