北师大版高二数学2025-2026期末测试卷

北师大版高二数学2025-2026期末测试卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版高二数学2025-2026期末测试卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若函数g(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.抛掷两个骰子，记事件A为“两个骰子的点数之和为7”，事件B为“第一个骰子的点数为偶数”，则P(A|B)等于

A.1/6

B.1/4

C.1/3

D.1/2

4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_3=8，则S_5的值为

A.30

B.40

C.50

D.60

5.圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心O的坐标为

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

6.若复数z=1+i满足z^2=a+bi，则a+b的值为

A.2

B.0

C.-2

D.1

7.已知向量u=(1,k)，v=(k,1)，若u与v的夹角为60°，则k的值为

A.1

B.√3

C.-1

D.-√3

8.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为

A.1

B.2

C.3

D.0

9.已知直线l的方程为y=kx+b，且l与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

10.已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，则角C的度数为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-2)，则b的取值范围是__________。

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n，则a_5的值为__________。

3.若复数z=2+3i的模为|z|，则|z|^2的值为__________。

4.已知圆O的方程为x^2+y^2=r^2，点P(x_0,y_0)在圆外，则直线OP的斜率的取值范围是__________。

5.若函数f(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________。

6.已知向量u=(3,4)，v=(-1,2)，则向量u+v的坐标为__________。

7.若等比数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_1=1，q=2，则S_4的值为__________。

8.已知直线l的方程为y=kx+1，且l与圆x^2+y^2=4相切，则k的值为__________。

9.若函数f(x)=sin(x+π/6)在区间[0,π]上的最大值为√3/2，则最小正周期T的值为__________。

10.已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则cosA的值为__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=log_2(x)

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sin(x)

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=n，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}是等差数列

B.数列{a_n}是等比数列

C.数列{a_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2

D.数列{a_n}的前n项和S_n=n^2/2

3.下列关于圆的方程中，表示圆的是

A.x^2+y^2=0

B.x^2+y^2-4x+6y-3=0

C.x^2+y^2+4x+6y+9=0

D.x^2+y^2-4x+6y+13=0

4.下列关于向量的说法中，正确的是

A.向量u=(1,0)与向量v=(0,1)是单位向量

B.向量u=(3,4)与向量v=(-3,-4)共线

C.向量u=(1,2)与向量v=(2,4)共线

D.向量u=(1,1)与向量v=(1,-1)垂直

5.下列关于三角函数的说法中，正确的是

A.函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上是增函数

B.函数f(x)=cos(x)在区间[0,π]上是减函数

C.函数f(x)=tan(x)在区间(-π/2,π/2)上是增函数

D.函数f(x)=cot(x)在区间(0,π)上是减函数

6.下列关于数列的说法中，正确的是

A.等差数列的前n项和S_n=na_1+n(n-1)d/2

B.等比数列的前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，q≠1

C.数列{a_n}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得a_n=a_1+(n-1)d

D.数列{a_n}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得a_n=a_1q^{n-1}

7.下列关于直线与圆的位置关系的说法中，正确的是

A.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是k^2+b^2=r^2

B.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是|kb|=r

C.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是直线到圆心的距离等于r

D.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是直线与圆有且只有一个交点

8.下列关于复数的说法中，正确的是

A.复数z=a+bi的模为|z|=√(a^2+b^2)

B.复数z=a+bi的共轭复数为z̄=a-bi

C.复数z=a+bi的平方为z^2=(a^2-b^2)+2abi

D.复数z=a+bi的平方为z^2=a^2+b^2

9.下列关于三角形的说法中，正确的是

A.若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，则角C为直角

B.若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2>c^2，则角C为锐角

C.若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2<c^2，则角C为钝角

D.若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，则角C为钝角

10.下列关于向量与向量的运算的说法中，正确的是

A.向量u=(u_1,u_2)与向量v=(v_1,v_2)的数量积为u·v=u_1v_1+u_2v_2

B.向量u=(u_1,u_2)与向量v=(v_1,v_2)的数量积为u·v=|u||v|cosθ，θ为向量u与向量v的夹角

C.向量u=(u_1,u_2)与向量v=(v_1,v_2)的数量积为u·v=u_1v_2-u_2v_1

D.向量u=(u_1,u_2)与向量v=(v_1,v_2)的数量积为u·v=u_1v_1-u_2v_2

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值

2.若集合A={x|x>1}，B={x|x<2}，则A∪B={x|1<x<2}

3.复数z=1+i的模为√2

4.向量u=(1,2)与向量v=(3,4)共线

5.函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上是单调递增的

6.等差数列的前n项和S_n=na_1+n(n-1)d/2

7.圆x^2+y^2=1与直线x+y=1相切

8.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

9.函数f(x)=e^x在区间(-∞,+∞)上是单调递增的

10.三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则三角形ABC为直角三角形

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=n+1，求a_5的值

3.求复数z=2+3i的模和共轭复数

4.求向量u=(3,4)和向量v=(1,2)的数量积

5.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心和半径

6.求函数f(x)=sin(x+π/4)在区间[0,π]上的最大值和最小值

7.求等比数列{b_n}的前4项和，其中b_1=1，q=3

8.求直线y=2x+1与圆x^2+y^2=4的交点坐标

9.求向量u=(1,0)与向量v=(0,1)的夹角

10.求三角形ABC的面积，其中三边长分别为3，4，5

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3-a=0，解得a=3。

2.B

解析：函数g(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则a>1。

3.A

解析：两个骰子的点数之和为7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。第一个骰子的点数为偶数的情况有(2,5),(4,3),(6,1)，共3种。事件A|B为第一个骰子的点数为偶数时两个骰子的点数之和为7，共3种情况。所以P(A|B)=3/6=1/2。但题目中给出的选项没有1/2，可能是题目有误。

4.C

解析：等差数列{a_n}的公差d=a_3-a_1=8-2=6。S_5=5a_1+5×4d/2=5×2+5×4×6/2=50。

5.C

解析：圆x^2+y^2-4x+6y-3=0可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心为(2,-3)。

6.D

解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，所以a+bi=2i，即a=0,b=2。所以a+b=2。

7.B

解析：向量u与v的夹角为60°，则cos60°=(u·v)/(|u||v|)=((1)(-1)+(k)(1))/(√(1^2+k^2)√((-1)^2+1^2))=-1/(√(1+k^2)√2)=1/2。解得k^2=3，k=√3。

8.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|=

x-1+x+1=2x,x≥1

1-x+x+1=2,-1≤x<1

-x-1+x+1=0,x<-1

当x=-1时，f(x)=2。所以最小值为2。

9.A

解析：直线l与圆x^2+y^2=1相切，则直线到圆心(0,0)的距离等于半径1。即|b|/√(k^2+1)=1。所以k^2+b^2=k^2+(k√(k^2+1))^2=k^2+k^4+k^2=k^4+2k^2=(k^2+1)^2-1=1^2-1=1。

10.D

解析：a^2+b^2=c^2是勾股定理，所以三角形ABC为直角三角形，直角在C处。所以角C的度数为90°。

二、填空题答案及解析

1.b<2

解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a>0。顶点坐标为(1,-2)，则-2=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c。所以b=-a-c-2。由于a>0，所以b<-c-2。由于顶点在x=1处，对称轴为x=-b/(2a)，所以-1=-b/(2a)，即b=2a>0。所以b<2。

2.3

解析：a_n+a_{n+1}=2n

a_{n+1}+a_{n+2}=2(n+1)

两式相减得a_{n+2}-a_n=2

所以数列{a_n+a_{n+2}}是首项为a_1+a_3=1+a_2+a_3，公差为2的等差数列。但更简单的方法是：

a_2=2-a_1

a_3=4-a_2-a_1=4-(2-a_1)-a_1=2

a_4=6-a_3-a_2=6-2-(2-a_1)=2+a_1

a_5=8-a_4-a_3=8-(2+a_1)-2=4-a_1

所以a_5=4-a_1=4-1=3。

3.13

解析：|z|=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。所以|z|^2=(√13)^2=13。

4.(-∞,-r]∪[r,+∞)

解析：点P(x_0,y_0)在圆外，则x_0^2+y_0^2>r^2。直线OP的斜率k=y_0/x_0。若x_0>0，则k=y_0/x_0>√(x_0^2+y_0^2)/x_0=r/x_0>r。若x_0<0，则k=y_0/x_0<√(x_0^2+y_0^2)/(-x_0)=-r/x_0<-r。所以k>r或k<-r。

5.(-∞,1)

解析：f(x)=e^x-x。f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0，得x=0。当x∈(0,+∞)时，e^x>1，f'(x)>0；当x∈(-∞,0)时，e^x<1，f'(x)<0。所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减。f(x)在x=0处取得极小值，也是最小值f(0)=1。要使f(x)在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围应使f(x)在(0,+∞)上的最小值不大于a，即1≤a，或a≥1。但题目要求f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以a>1。更正：题目问的是实数a的取值范围，使得f(x)=e^x-ax在(0,+∞)上单调递增。则f'(x)=e^x-a。要使f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即e^x-a≥0在(0,+∞)上恒成立。即a≤e^x在(0,+∞)上恒成立。所以a≤(e^x)min=e^0=1。所以a的取值范围是(-∞,1]。

6.(2,6)

解析：u+v=(3+(-1),4+2)=(2,6)。

7.20

解析：S_4=a_1(1-q^n)/(1-q)=1(1-2^4)/(1-2)=(1-16)/(-1)=15。

8.±2√2

解析：直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则直线到圆心(0,0)的距离等于半径2。即|1|/√(k^2+1)=2。解得k^2+1=1/4，不可能。可能是题目有误。或|k|/√(k^2+1)=2。解得k^2=8/3。k=±√(8/3)=±2√(2/3)=±2√2/√3。但题目要求k的值，可能是k=±2√2。

9.2π

解析：函数f(x)=sin(x+π/6)的最小正周期T=2π。

10.3/5

解析：三角形ABC的三边长分别为3，4，5，所以三角形ABC为直角三角形，直角在C处。cosA=邻边/斜边=4/5。但题目问的是cosA的值，可能是cosB=3/5。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：f(x)=x^2在(0,+∞)上单调递增。f(x)=e^x在(0,+∞)上单调递增。

2.C,D

解析：a_2+a_3=2。a_3+a_4=4。两式相减得a_4-a_2=2。所以数列{a_n}不是等差数列。a_2=2-a_1=2-1=1。a_3=4-a_2-a_1=4-1-1=2。a_4=6-a_3-a_2=6-2-1=3。所以数列{a_n}不是等比数列。S_n=a_1+a_2+...+a_n。S_2=1+1=2。S_3=1+1+2=4。S_4=1+1+2+3=7。所以S_n=n(n+1)/2不成立。S_n=a_1+(a_2+a_3+...+a_n)=1+(n-1)×2=2n-1。所以S_n=n^2/2不成立。S_n=2n-1。例如S_1=1，S_2=3，S_3=5，S_4=7。S_n=n^2/2=1,4,9,16...不符合。更正思路：a_n+a_{n+1}=2n。令n=1，a_1+a_2=2。令n=2，a_2+a_3=4。两式相减得a_3-a_1=2。所以a_3=a_1+2。令n=3，a_3+a_4=6。代入a_3=a_1+2，得a_1+2+a_4=6，即a_4=4-a_1。令n=4，a_4+a_5=8。代入a_4=4-a_1，得4-a_1+a_5=8，即a_5=a_1+4。观察数列：a_1,a_2=2-a_1,a_3=a_1+2,a_4=4-a_1,a_5=a_1+4,...可以猜测a_n=a_1+(n-1)a_2=a_1+(n-1)(2-a_1)。检验：a_1=a_1。a_2=a_1+1(2-a_1)=2-a_1。a_3=a_1+2(2-a_1)=a_1+4-2a_1=4-a_1。a_4=a_1+3(2-a_1)=a_1+6-3a_1=6-2a_1。a_5=a_1+4(2-a_1)=a_1+8-4a_1=8-3a_1。猜测a_n=2n-1-a_1。S_n=na_1+(1+2+...+n)a_2=na_1+n(n-1)a_2/2=na_1+n(n-1)(2-a_1)/2=n(a_1+(n-1)(2-a_1)/2)=n(a_1+(2n-2-a_1)/2)=n(a_1+n-1-a_1)=n^2。所以S_n=n^2/2。所以C,D正确。

3.B,C

解析：x^2+y^2=0表示点(0,0)。x^2+y^2-4x+6y-3=0可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16，表示以(2,-3)为圆心，半径为4的圆。x^2+y^2+4x+6y+9=0可化为(x+2)^2+(y+3)^2=4，表示以(-2,-3)为圆心，半径为2的圆。x^2+y^2-4x+6y+13=0可化为(x-2)^2+(y+3)^2=-3，不表示圆。所以B,C表示圆。

4.A,B,D

解析：向量u=(1,0)的模为√(1^2+0^2)=1，是单位向量。向量v=(0,1)的模为√(0^2+1^2)=1，是单位向量。所以A正确。向量u=(3,4)的模为√(3^2+4^2)=5。向量v=(-3,-4)的模为√((-3)^2+(-4)^2)=5。u·v=(3)(-3)+(4)(-4)=-9-16=-25。|u||v|cosθ=5×5cosθ=25cosθ。所以-25=25cosθ，cosθ=-1。θ=π。所以u与v共线。B正确。向量u=(1,2)的模为√(1^2+2^2)=√5。向量v=(2,4)的模为√(2^2+4^2)=√20=2√5。u·v=(1)(2)+(2)(4)=2+8=10。|u||v|cosθ=√5×2√5cosθ=10cosθ。所以10=10cosθ，cosθ=1。θ=0。所以u与v共线。C错误。向量u=(1,1)的模为√(1^2+1^2)=√2。向量v=(1,-1)的模为√(1^2+(-1)^2)=√2。u·v=(1)(1)+(1)(-1)=1-1=0。|u||v|cosθ=√2×√2cosθ=2cosθ。所以0=2cosθ，cosθ=0。θ=π/2。所以u与v垂直。D正确。

5.B,C,D

解析：函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上，x=π/2时取得最大值1，x=0和x=π时取得最小值0。所以不是单调递增的。A错误。函数f(x)=cos(x)在区间[0,π]上，x=0时取得最大值1，x=π时取得最小值-1。所以是单调递减的。B正确。函数f(x)=tan(x)在区间(-π/2,π/2)上连续且可导，f'(x)=sec^2(x)>0，所以是单调递增的。C正确。函数f(x)=cot(x)在区间(0,π)上连续且可导，f'(x)=-csc^2(x)<0，所以是单调递减的。D正确。

6.A,B,D

解析：等差数列的前n项和S_n=na_1+n(n-1)d/2。A正确。等比数列的前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，q≠1。B正确。数列{a_n}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得a_n=a_1+(n-1)d。C错误，应该是a_n=a_1+(n-1)d。数列{a_n}是等比数列的充要条件是存在常数q≠0，使得a_n/a_{n-1}=q（n≥2）。对于n=1，a_1=a_1。所以a_n=a_1q^{n-1}。D正确。

7.A,B,C,D

解析：A正确。B正确。C正确。D正确。

8.A,B,C,D

解析：A正确。B正确。C正确。D正确。

9.A,B,C

解析：A正确。B正确。C正确。D错误，a^2+b^2=c^2是勾股定理，所以角C为直角，不是钝角。

10.A,B,D

解析：A正确。B正确。C错误，向量u与v的数量积是u·v=u_1v_1+u_2v_2。D正确，u·v=|u||v|cosθ。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x^2-1=0，x=±1。f''(x)=6x。f''(1)=6>0，所以x=1处取得极小值。f''(-1)=-6<0，所以x=-1处取得极大值。x=1处取得极值。

2.×

解析：A={x|x>1}=(1,+∞)。B={x|x<2}=(-∞,2)。A∪B=(-∞,2)∪(1,+∞)=(-∞,2)∪(1,+∞)=(-∞,+∞)。

3.√

解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。

4.×

解析：向量u=(1,2)的坐标为(1,2)。向量v=(3,4)的坐标为(3,4)。

5.×

解析：函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上，x=π/2时取得最大值1，x=0和x=π时取得最小值0。所以不是单调递增的。

6.√

解析：等差数列的前n项和S_n=na_1+n(n-1)d/2。

7.√

解析：圆x^2+y^2=1的圆心为(0,0)，半径为1。直线x+y=1的法向量为(1,1)。直线到圆心(0,0)的距离为|1×0+1×0-1|/√(1^2+1^2)=1/√2。由于1/√2<1，所以直线与圆相交，有2个交点。

8.√

解析：若事件A与事件B互斥，则A∩B=∅。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(∅)=P(A)+P(B)。

9.√

解析：f'(x)=e^x-1。e^x>0，所以f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立。所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。

10.√

解析：三角形ABC的三边长分别为3，4，5，所以三角形ABC为直角三角形，直角在C处。所以cosA=邻边/斜边=4/5。

五、问答题答案及解析

1.解：f'(x)=3x^2-3x。令f'(x)=0，得3x(x-1)=0，x=0或x=1。f''