2026-2027学年初中数学九年级上册（新教材）浙教版（新教材）1.4 二次函数与一元二次方程的关系课时习题卷

2026-2027学年初中数学九年级上册（新教材）浙教版（新教材）1.4二次函数与一元二次方程的关系课时习题卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线y=x²-2x+1与x轴的位置关系是（）A.相交于原点B.相交于两个不同的点C.相切D.无交点2.若一元二次方程x²+px+q=0的一个根是2，对应的二次函数y=x²+px+q的图像经过点(1,-3)，则p的值是（）A.-3B.-1C.1D.33.二次函数y=-x²+4x-3的图像与x轴交点的个数是（）A.0B.1C.2D.34.抛物线y=2(x-1)²+3的顶点在直线y=-x上，则该抛物线与x轴交点的个数是（）A.0B.1C.2D.无法确定5.已知二次函数y=m(x-2)²-1的图像与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A.m>0B.m<0C.m≠0D.m<0或m>46.抛物线y=ax²+bx+c的顶点在第一象限，且与y轴交于负半轴，则方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况是（）A.一定有两个不相等的正根B.一定有两个不相等的负根C.一定有一个正根和一个负根D.可能没有实数根7.二次函数y=-x²+bx+3的图像与x轴相交于点A(1,0)和点B，且对称轴为直线x=-1，则点B的坐标是（）A.(-3,0)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(2,0)8.抛物线y=x²-mx+m-1的顶点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A.0<m<1B.m>2C.0<m<2D.m<0或m>19.如果抛物线y=x²+bx+c的顶点在x轴上，且过点(1,-2)，那么b的值是（）A.±3B.-1C.1D.无法确定10.函数y=x²-x+1的图像与直线y=x交点的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、多选题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。所有符合题目要求的选项均选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）11.下列关于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的说法中，正确的是（）A.若a>0，则抛物线开口向上，且当x<-b/2a时，y随x的增大而减小B.抛物线与x轴一定有交点C.抛物线的顶点是抛物线上到对称轴距离最远的点D.若抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程一定有两个不相等的实数根12.已知抛物线y=(m-1)x²-2x+m+1的顶点在y轴上，则下列结论正确的是（）A.m=1B.抛物线开口向下C.方程(m-1)x²-2x+m+1=0有一个根是0D.抛物线与x轴一定有交点13.如果方程x²-mx+2=0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数m的取值范围是（）A.m<2B.m>2C.m<-2D.m>-214.二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图像的顶点为(h,k)，则方程a(x-h)²+k=0（a≠0）的根的情况是（）A.当k>0时，有两个不相等的实数根，且都小于hB.当k<0时，有两个不相等的实数根，且都大于hC.当k=0时，有两个相等的实数根，根为hD.无论a、h、k取何值，方程总有两个实数根15.抛物线y=-x²+bx+b-1的顶点在第四象限，则实数b的取值范围是（）A.b<1B.b>2C.b<0D.0<b<2三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在题中横线上）16.已知二次函数y=x²-mx+m-1的图像与x轴相交于A、B两点，且A点坐标为(2,0)，则该抛物线的对称轴方程是________，B点坐标是________，m的值是________。17.抛物线y=-2(x-3)²+4与y轴的交点坐标是________，该抛物线对应的一元二次方程-2(x-3)²+4=0的解是________。18.若抛物线y=x²-2x+t的顶点在直线y=x-1上，则t的值是________。19.不论m取何实数，抛物线y=(m+1)x²-mx+2总经过定点________。20.二次函数y=x²-px+p-1的图像与x轴交于A、B两点，若AB=2，则p的值为________。四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.（本小题满分12分）已知二次函数y=x²-kx+k+1。(1)若该函数的图像与x轴没有交点，求实数k的取值范围；(2)若该函数的图像经过点(2,5)，求k的值，并判断此时抛物线与x轴是否有交点，若有，求出交点坐标。22.（本小题满分14分）抛物线y=-x²+bx+c与x轴相交于A(-1,0)、B(3,0)两点。(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程；(3)若点P是该抛物线上的一个动点，且位于x轴上方，求点P到直线AB的距离的最小值。23.（本小题满分14分）关于x的一元二次方程x²+mx-2=0。(1)若该方程的一个根是1，求m的值及另一个根；(2)若该方程的一个根大于1，另一个根小于-1，求实数m的取值范围；(3)在平面直角坐标系中，画出二次函数y=x²+mx-2的图像（草图即可）。24.（本小题满分15分）已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M(1,-3)，且与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(-1,0)。(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线与y轴的交点坐标；(3)若点P是该抛物线对称轴上的一点，且△APM是等腰三角形，求点P的坐标。25.（本小题满分15分）抛物线y=x²-2x-3的顶点为D，它与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点。(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)求出四边形OABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。试卷答案一、选择题1.C2.A3.C4.C5.D6.C7.A8.C9.A10.B二、多选题11.A,C,D12.B,C13.B,C14.A,B,C15.B,D三、填空题16.x=1；(1,-2)；217.(0,-3)；x=1或x=518.519.(1,2)20.-1或3四、解答题21.解：(1)由题意知，Δ<0，即b²-4ac<0。将y=x²-kx+k+1代入，得a=1,b=-k,c=k+1。所以(-k)²-4(1)(k+1)<0，即k²-4k-4<0。解得(2-2√2)<k<(2+2√2)。故实数k的取值范围是(2-2√2,2+2√2)。(2)将(2,5)代入y=x²-kx+k+1，得5=4-2k+k+1。解得k=0。当k=0时，y=x²+1。此时Δ=0²-4(1)(1)=-4<0。所以抛物线与x轴没有交点。22.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)。将顶点坐标(1,-3)代入，得-3=a(1+1)(1-3)，即-3=2a(-2)，解得a=3/4。所以抛物线解析式为y=(3/4)(x+1)(x-3)，即y=(3/4)x²-(3/2)x-(3/4)。(2)由(1)知，抛物线解析式为y=(3/4)x²-(3/2)x-(3/4)。对称轴方程为x=-b/2a=-[-(3/2)]/[2*(3/4)]=1/2。顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)=(1/2,(3/4)(1/2)²-(3/2)(1/2)-(3/4))=(1/2,-15/16)。故顶点坐标为(1/2,-15/16)，对称轴方程为x=1/2。(3)点P到直线AB的距离最小，即点P到线段AB的两端点距离之和最小，此时P在线段AB的垂直平分线上。AB中点坐标为((-1+3)/2,(0+0)/2)=(1,0)。直线AB的斜率为(0-0)/(3-(-1))=0，所以AB的垂直平分线斜率为无穷大，方程为x=1。点P在对称轴x=1/2上，所以P(1/2,y)，且P在抛物线上，代入得y=(3/4)(1/2)²-(3/2)(1/2)-(3/4)=-15/16。所以P(1/2,-15/16)。点P到直线AB（即x轴）的距离为|-15/16|=15/16。故最小距离为15/16。23.解：(1)将x=1代入x²+mx-2=0，得1+m-2=0，解得m=1。将m=1代入方程，得x²+x-2=0，即(x+2)(x-1)=0。解得x₁=1，x₂=-2。故m的值为1，另一个根为-2。(2)设方程的两根为x₁,x₂，且x₁>1,x₂<-1。根据根与系数关系，x₁+x₂=-m,x₁x₂=-2。要使x₁>1且x₂<-1，则(x₁-1)(x₂-1)>0。即x₁x₂-(x₁+x₂)+1>0，即-2-(-m)+1>0，即m-1>0。解得m>1。故实数m的取值范围是(1,+∞)。(3)图像草图：开口向上，对称轴为x=-1/2，与y轴交于点(0,-2)，与x轴交于点(1,0)和(-2,0)。24.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)²-3。将A(-1,0)代入，得0=a(-1-1)²-3，即0=4a-3，解得a=3/4。所以抛物线解析式为y=(3/4)(x-1)²-3。(2)令x=0，则y=(3/4)(0-1)²-3=(3/4)-3=-9/4。故该抛物线与y轴的交点坐标为(0,-9/4)。(3)对称轴为直线x=1。①若PA=PM，则P在对称轴上，即P(1,y)。M(1,-3)，A(-1,0)，所以PM=|-3-y|，PA=|0-y|。|-3-y|=|0-y|，平方得9+6y+y²=0+2y²。整理得y²-8y-9=0，解得y=9或y=-1。故P(1,9)或P(1,-1)。当P(1,9)时，△APM的三边长分别为PA=9,PM=12,AM=3√2，不满足等腰条件。当P(1,-1)时，△APM的三边长分别为PA=2,PM=2,AM=3√2，满足PA=PM，△APM为等腰三角形。故点P的一个坐标为(1,-1)。②若AM=PM，则M、P、A共线。设直线MA的方程为y=k(x+1)。M(1,-3)，代入得-3=k(1+1)，即k=-3/2。所以直线MA的方程为y=-(3/2)x-(3/2)。令x=1，得y=-(3/2)*1-(3/2)=-3。故P(1,-3)。此时PA=0，PM=4，不满足PA=PM。故此种情况无解。③若MP=MA，则P在MA的垂直平分线上。直线MA的斜率为-3/2，其垂直平分线斜率为2/3。MA中点坐标为((1-1)/2,(-3+0)/2)=(0,-3/2)。垂直平分线方程为y+3/2=(2/3)x，即y=(2/3)x-3/2。联立y=(2/3)x-3/2和y=(3/4)(x-1)²-3，得(2/3)x-3/2=(3/4)(x-1)²-3。整理得(3/4)x²-(9/4)x+3=(2/3)x-3/2，即9x²-27x+36=8x-18。整理得9x²-35x+54=0。Δ=(-35)²-4*9*54=1225-1944=-719<0。故此种情况无解。25.解：(1)令x=0，则y=0²-2*0-3=-3。所以C(0,-3)。令y=0，则0=x²-2x-3，即(x-3)(x+1)=0。解得x₁=-1，x₂=3。所以A(-1,0)，B(3,0)。故A、B、C三点坐标分别为A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)。(2)四边形OABC是梯形，其中OA、BC平行于y轴。底边OA长为1，高为OC的y坐标绝对值，即3。梯形面积S=(1/2)*(OA+BC)*高=(1/2)*(1+3)*3=4*3/2=6。故四边形OABC的面积为6。(3)假设存在点P在对称轴上满足条件。抛物线y=x²-2x-3的对称轴为x=-b/2a=-(-2)/(2*1)=1。所以P(1,y)。△ABC的三边长分别为AB=3-(-1)=4，BC=√[(-1-0)²+(0-(-3))²]=√(1+9)=√10，AC=√[(-1-0)²+(0-(-3))²]=√10。所以△ABC是等腰三角形，腰长为√10。若△PAB全等△ABC，则PA=AB=4，PB=BC=√10。