期末复习讲义：分式与分式方程（原卷版）-北师大版八年级数学下学期

分式的概念与有理解分式的定义，能判断分式有无意义及基础必考点，常以填空题或选择题形式考查

意义条件分式值为零的条件分母不为零及分子为零的条件

分式的基本性质掌握分式的基本性质，能熟练进行约分、高频易错点，容易忽略符号变化或因式分解

与约分、通分通分，化为最简分式不彻底，常出现在化简求值题中

分式的乘除与乘能准确进行分式的乘法、除法及乘方运中档计算题常考，需注意运算顺序及结果化

方算，并化为最简结果简，易与加减运算混淆

分式的加减（同掌握同分母分式加减法则，能正确进行异综合计算题中的核心步骤，常与分式方程、

分母与异分母）分母分式的通分与加减运算化简求值结合，易错点是最简公分母找错

分式方程的解法理解分式方程的概念，掌握去分母化为整期末必考点，常以解答题形式出现，易忽略

式方程的方法，并检验根检验增根，导致失分

分式方程的应用能根据实际问题列出分式方程，并求解检玉轴题型之一，常考列方程及检验合理性，

验，解决行程、工程、销售等问题易在等量关系建立和增根检验上出错

知识点（）1分式的概念与相关条件

定义:形如3（4、8是整式，且8中含有字母，BWO）的式子叫做分式。其中力叫分子，8叫分母。

D

三个重要条件：

1.分式有意义：分母丰0

2.分式无意义：分母=0

3.分式值为（）：分子=（）且分母羊0

示例：分式二有意义fx・3,0,即“3

x-3

分式t2的值为o-\必-4=0得尸±2,但尸2时分母为0,舍去，故--2

x-2

易错点：

1.判断分式值为。时，只关注分子为0而忽略分母不为0。如例中x=2虽使分子为0,但分母也为0,分式

无意义。

2.分式与分数的混淆：分母中必须含有字母才是分式，如;不是分式而是整式。

3.“有意义”与“值为0”的条件记反。

知识点02分式的基本性质

性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

数学表达：铝笨；铝篙（*）

示例：蓦=若=9（分子分母同乘2）

A=攵里龄=六］（分子分母同除以x+1,前提x¥・l）

x+lX+l

易错点：

1.“都”字漏掉：只乘分子或只乘分母。

2.“同一个”弄错：分子乘2,分母乘3,改变分式值。

3.“不为0”忽略：同乘的整式可能为0导致错误。

4.符号处理错误：分子分母同时变号时混淆。如］=%

知识点03分式的约分与最简分式

约分：利用分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去。

最简分式：分子与分母没有公因式的分式（不能再约分）。

约分步骤：

1.系数：约去系数的最大公约数,

2.字母：约去相同字母的最低次幕。

3.多项式：先分解因式，再找公因式。

示例：寓=奈（系数约3,。约次,力约加）

—=（"：）（/=经（先分解因式再约去x-2）

广一ZX人X

易错点:

1.只约系数忘约字母，或只约字母忘约系数。

2.分子或分母是多项式时未分解因式直接约分。

3.均分不彻底，结果不是最简分式

4.误以为777=0，实际等于1（x+yHO时）。

知识点04分式的通分

通分：将几个异分母分式化为同分母分式的过程，通常取最简公分母。

最简公分母的确定:

1.系数：取各分母系数的最小公倍数。

2.因式：取各分母所有因式的最高次暴。

示例:

-分式卷与表的最简公分母为6/

-七=忌r与击的最简公分母为附旧）

易错点：

1.找最简公分母时遗漏因式或系数求错。

2.通分后分子忘乘相应的倍数。

3.将分母扩大时，分子未同步扩大。

知识点05分式的运算

1分式的乘阶£.£=空.=£.4=%

1.犷工米环力bd•bdbcbe

示例：引4=普屋

3y4x3y-4x6

2.分式的加减《土彳=华；三土*=史学

bhbbdbd

壬/Ix1x-12,32y+3x

小例：不一手:示；；+；=—

3.分式的混合运算

按先乘除、后加减，有括号先算括号的顺序进行。

易错点：

1.分数线有括号作用：分子是多项式时，相减忘加括号。如2-曰=上曰=—,若写上上。==错

XXXXXX

误。

2.约分时对分式整体结构认识不清，只约部分。

3.结果未化为最简分式。

4.乘除运算中，除法转化为乘法时忘取倒数。

知识点06分式方程的概念与解法

定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程的一般步骤(一化二解三检验)：

1.去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。

2.解整式方程。

3.检验：将解代入最简公分母，若为0则舍去(增根)。

示例：解方程三=士

x-lx+1

-去分母：2(x+l)=x-l

-解得：2x+2=x-l,x=-3

-检验：x=・3时，(x-l)(x+l)=(-4X-2)=8#0,是原方程的解

易错点：

1.漏乘不含分母的项：方程中若有常数项，去分母时容易漏乘。

2.忘记检验：检验是解分式方程的必要步骤，否则可能混入增杈。

3.增根概念不清：增根是使最简公分母为0的解，不是原分式方程的解，必须舍去。

4.分子是多项式时去分母括号错误：如曰=2去分母得x-l=2r,而不是*1=2。

X

知识点07分式方程的应用

列分式方程解应用题的步骤(审、设、歹h解、验、答)：

1.审：分析题意，找等量关系。

2.设：设未知数(直接设或间接设)。

3.列：根据等量关系列方程。

4.»：解分式方程。

5.验：检验是否是原方程的解十是否符合实际意义。

6.答：写答案。

常见模型：

类型基本关系等量参考

行程问题路程=速度X时间时间相等、路程相等

工程问题工作量=效率X时间工作量常设为1

利润问题利润=售价-进价单价相等、总价相等

购物问题总价=单价X数量数量相等、总价相等

示例（工程问题）：

甲队单独完成工程需6（）天。甲队先做2（）天，剩下的甲乙合作24天完成。求乙队单独完成需多少天？

解：设乙队单独完成需x天。

2011

——+24（—4—）=1

60'60X，

解得尸90,经检验符合题意。

易错点：

I.忽略双重检验：既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际（如人数为整数、时间正数等）。

2.单位不统一：如速度单位千米/小时与时间单位分钟混用。

3.等量关系找错：特别是工程问题中“合作时间”与“单独工作时间”混淆。

识点08分式方程增根与无解问题（拓展）

增根：去分母后整式方程的解使最简公分母为0,不是原方程的解。

无解：两种情况一一

1.去分母后的整式方程无解：

2.整式方程有解，但所有解都是增根。

已知增根求参数步骤：

1.化分式方程为整式方程。

2.令最简公分母=0,得增根的值。

3.将增根代入整式方程求参数。

示例：

若关于X的方程W+系=1有增根X=3,求4。

x-3X+3

-去分母得整式方程，将尸3代人可求或

易错点：

1.混淆“有增根”和“无解”：无解包含但不限于有增根的情况。

2.未考虑最简公分母的多个零点（可能多个增根）。

国题型一分式、最简分式、最简公分母

解|题|技|巧

分式分母含字母；最简分式分子分母无公因式，需约分；最简公分母取各分母系数最小公倍数与所有因

式最高次第的积，通分前先分解分母，避免漏乘或重复。

【典例1】（25-26八年级上•湖南娄底•期末）代数式一工，1,二中，属于分式

471x~+\3xX+2

的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【典例2】（25-26八年级上•云南昆明•期末）下列分式中，最简分式是（）

至f2-x3-x

6x“+力x-26x-2x2

【变式1】（25-26八年级上•山东淄博・期末）分式工，一下的最简公分母为（）

3（rb4沂

A.\la2b2B.12。2bC.12加D.\2ab

【变式2】（25-26八年级上•山东滨州•期末）下列说法正确的是（）

31

A.当xw-2H、h分式^—有意义B.分式白与一7的最简公分母是2//

X2xAy

C.当分式上口值为0时，〃?=±4D.无论x为何值，工的值总为正数

加+4X+1

2题型二分式有无意义的条件

解।题।技।巧

分式有意义则分母不为零；无意义则分母为零，不考虑分子；根据分母列方程或不等式求解，注意分母为

多项式时需整体考虑，不能只取部分因式为零，结果要检验。

【典例1］（25-26八年级上•河南周口・期末）若分式二^无意义，则x的取值为（）

x+3

A.x=3B.x=-3C.工工3D.

【典例2】（25-26八年级上•湖南岳阳•期末）当x取哪个数时，分式上的值不存在（）

\-x

A.x>IB.x=0C.x<1D.x=l

【变式口⑵-26八年级上・新疆和田・期末）若分式宅无意义’则x的值是（）

A.x=0B.x=2C.x--1D.x=±2

【变式2】（24-25八年级下•河南南阳•期末）如果一个分式,当），=-2时分式无意义，当y=l时分式的值

为0,则这个分式可能是（）

y-\y—1y-2

A•筌BC.D."--

-Q丁+2y-i

国题型三分式的值为0的条件

解|题|技|巧

分式值为0需分子为零且分母不为零；先令分子等于0解方程，冉代入分母检瓷是否非零，若分母为零则

舍去该解，注意分子分母有公因式时先约分再判断，避免增根。

【典例1】（25-26八年级上•河北衡水・期末）若分式上的值为0,则左的值为

x-i

【典例2】（25-26八年级上•山东淄博•期中）若分式立卫的值为零，则》=______.

x—3

【变式1】（25-26八年级上•北京石景山•期末）已知分式丝吆〃为常数）满足表格中的信息，则加+〃

x+m

的值为_________

X的值-21

分式的值不存在0

【变式2】（25-26七年级上•上海•期末）如果分式（"+3）（x7）的值为零,那么、的值为

x2-l

官题型四利用分式的基本性质判断分式值的变化

解|题|技|巧

分式分子分母同乘非零整式值不变；判断变化看分子分母运算是否对应，排除乘零情况；可代入特殊值

快速验证，注意符号变化与整体倍分关系，避免只看部分忽略整体。

【典例1】（25-26八年级上•四川泸州•期末）分式二j可变形为（）

a-b

bb_bb

A.-----B.-----C.----D.-----

a-b-"ba+ba+b

【典例2】36八年级上•河北石家庄・期末）若把分式；中的,皿都扩大2倍，那么分式的值（）

A.扩大2倍B.不变C.缩小2倍D.缩小4倍

3ab

【变式1】（25-26八年级上•安徽铜陵・期末）如果把分式工6）中的b都扩大为原来的2倍,

2(a-b)

那么分式的值（）

A.缩小为原来的;B.扩大为原来的2倍

C.扩大为原来的4倍D.小变

【变式2】（25-26八年级上•河南周口・期末）下列变形中，正确的是（）

0.2a-b2a-ba-bh-a.

A.-------=----------=-----=-!

().3a+2b3a+2力b-aa-b

\-a1_hbe

==D.­=——

*a2-1(a+l)(a-l)a+\aac

,题型五分式的混合运算

解I题I技I巧

先算乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意通分与约分，结果化为最简分式或整式；运算中

可先分解因式再约分，避免盲目通分，最后检验分母是否为零。

【典例1］（25-26八年级上•江苏连云港•期末）计算：:一二+一二|+一—一.

\x+2x-2）x-4x+4

【典例2】（25-26九年级上•陕西西安•期末）化简：（士-一

【变式1】（25-26八年级上•陕西安康•期末）化简：--Y'42¥+1-^—.

x+4x+4x-1

【变式2］（25-26八年级上•河北邢台・期末）计算，“丁下之一），下面是同学们两种不同解法

x-+4x+4\xx+2xJ

的部分运算过程.

①原式==左［.2）爪2）

x-11x-13

②原式=----------r------------；-------

x2+4x+4xx2+4x+4x2+2x

（1）以上解法中正确的是（填序号即可）；

（2）写出完整的解答过程.

国题型六分式化简求值

解|题|技|巧

先化到最简分式，再代入数值：代入时注意分母不为零，负数添括号，整体代入可简化：条件如入力尸3可

变形后代入，避免狂杂计算，结果需约分，检验是否合理。

【典例1］（25-26八年级上•福建汉门・期末）先化简，再求值：，“二其中。=有.

Ia-2）a--4a+4

【典例2】（25-26八年级上•湖南长沙•期末）先化简，再求值：王々•二+一二其中x=3.

x-2x+2x"-4x+2

【变式1】（25-26八年级上•四川泸州•期末）先化简，再求值：R,x，+2：+lJ二十i其中x从3、

x"-1x-3\x-\7

2、1、-1中诜取一个合适的数代人求侑.

【变式2】（25-26八年级上•山东济宁・期末）先化简，再求值：

（1）1-----I4-A~~-百，其中x=Vi一］.

\x+\X）x~+x

（2）11---\+「：。'其中a=

Ia+2Jq-+4a+4

国题型七分式方程的定义

解I题I技I巧

分母中含未知数的方程是分式方程；判断看分母字母是否未知，注意分母可为零但方程中需排除增根,

整式方程与分式方程区别在于分母，解前先找最简公分母。

【典例1】（25-26八年级上•广西贺州•期末）下列方程中，属于分式方程的是（）

2X

A.2x+3=5B.一一1=3C.-+1=3D.2x+y=5

x2

【典例2】（25-26七年级上•上海普陀・期末）下列方程中，是分式方程的是（）

x-2.x-2x-32（x+l）尸、.1

①——=3；②——=＞；（3）—=-i——@x-5=-

x335x

A.①④B.®®C.②®D.①②③④

Y?4V4

【变式1】（25-26八年级上•四川绵阳•期末）在方程一-5=0,-=6,/Y—-3=0,^--=1,2Y=2中,

2x2+x3x7T

分式方程的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式2】（25-26七年级上•上海普陀・期末）下列方程中,哪些是分式方程（）

①②g-l;③3x+2

~4~2r④力-圭

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

3题型八解分式方程

解।题।技।巧

去分母乘最简公分母化为整式方程，解后必须检验代入最简公分母是否为零；零则增根舍去；江意符号变

化与移项，避免漏乘常数项，无解情况包括整式方程无解或解全为增根。

【典例1】（25-26八年级上•黑龙江鹤岗•期末）解方程

21

⑴二E

（2）£=七2

【典例2】（25-26八年级上•湖南株洲•期末）解下列方程：

⑴—•

（X+12x4-1

x8[

（2）X^2-X（X-2）=>

【变式1】（25-26八年级上•山东临沂•期末）解方程：

24

（，）2x-l-4X2-1；

（2f=

f23x-\6x-2

【变式2】（25-26八年级上•江西宜春•期末）解方程

x

+----=1;

工一3

xI二3

(2)口一_(x-l)(x+2),

国题型九根据分式方程根的情况求参数

解|题|技|巧

先将分式方程化为整式方程，解用参数表示，再根据根的正负、整数或增根条件列不等式或方程；注意分

母不为零与增根排除，常需分类讨论，最后检验参数范围。

1R

【典例1】（25-26八年级上•山东临沂・期末）若关于x的分式方程—；+=式k=——有解，则k需

满足的条件是.

[典例2]（25-26七年级上•上海•期末）若关于x的方程±=冬々有增根，则小的值为.

x-4x+4x-16

【变式1】（25-26八年级上•河南商丘・期末）已知关于》的分式方程号+三；=1的解为负数，则k的取

x十1x十1

值范围是.

【变式2】（25-26八年级上•黑龙江大兴安岭♦期末）若关于x的分式方程—1=+——无解，

则满足条件的女值为

国题型十分式方程的实际应用

------------------------------------------------r

解I题I技I巧

审题设未知数，根据等量关系列分式方程，解后双重检验：是否满足方程且符合实际意义：注意单位统:

_一_与.结....果....合.._理...性._，常....涉__及_工_程_、_行_程_或_销_售_问_题_，_答_案__要_带单_位...。......................_......—......_.................i

【典例I】（25-26八年级上•黑龙江双鸭山•期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明

家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的4款纯电动汽车和夕款燃油车，已知2款车每千米行驶费用比

A款车多0.45元.

（1）两款车在相同路段且行驶里程相同时，力款车的总行驶费用为7.5元，8款车的总行驶费用为18.75元.求

纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用；

（2）已知4款车保险费：6500元/年，保养费用：123（）元/年，8款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/

千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？

【典例2】（25-26八年级上•陕西延安・期末）2025年春晚舞台二，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大

量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了力、4两款人形机器人在网上进行预约销售，

每件4款人形机器人的售价比每件4款人形机器人的售价少10%,根据网上预约的情况，该公司售出的这

两款人形机器人的销售额都为900万元时，6款人形机器人比4款人形机器人多售出5件.

(1)求该公司每件4款、8款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？

(2)若该公司在网上进行预约销售了4、8两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预

约销售了A款人形机器人多少件？

【变式1】(25-26八年级上•湖南邵阳•期末)2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实

做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用.已知每

盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元

购买的II罩盒数与用3()0元购买的水银温度计盒数相同.

(1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？

(2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采

购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？

【变式2](24-25八年级上•重庆北修・期末)随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某

商场最新购进的48两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者

们的青睐.已知力款电热毯的进价比4款电热毯的进价高：，且商场用8400元购进的4款电热毯的床数比

用4500元购进的B款电热毯的床数多20床.

(1)44两款电热毯的进价分别为每床多少元？

(2)若商场购进/、4两款电热毯共100床(两款电热毯均要购买)，且花费的总价不高于1()000元，购进后,

/、8两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商场购进4款电热毯”床，总利润

为平元，求郎与〃之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润.

秀题型十一分式运算有关的规律性问题

解|题|技|巧

观察式子结构，寻找重复模式，通常含裂项相消或循环规律；将复杂分式拆成简单分式差，累加时中间项

抵消，注意首尾项与分母变化，归纳通项公式，验证〃=1时成立。

【典例1】(24-25七年级下•安徽滁州•期末)观察下列等式：

①左丁铲

②工」」；

2x424

211

(3)——=--------；

3x535

♦••

(I)根据以上规律写出第④个等式：;

(2)用含字母〃(〃为正整数)的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性;

⑶利用你发现的规律'计算：*+£+&+…+志.

【典例2】(24-25八年级上•江苏泰州•期末)观察下列式子，并探索它们的规律:

(1)请写出第④个等式：；

(2)试写出第〃个等式表示这个规律，并加以证明.

【变式1】(24-25八年级下•宁夏中卫・期末)下面是按一定规律排列的一列等式:

…13八113八113113

41x4252x5363x6474x7

I13

(I)根据上面等式的规律补全等式：荻-^~j-y

(2)用含〃(〃为正整数)的式子表示上述第〃个等式：；

(3)请证明(2)中等式的正确性;

(4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果：

1111

---d-----+----+,・・+-------.

1x44x77x10100x103

【变武2](24-25八年级下•安徽合肥•期中)观察下列各式：

rFJ=,+rr4:

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想:

⑵请你按照上面每个等式反映的规律，写出用〃(〃为正整数)表示的等式：\卜+5+

(3)利用上述规律计算:—+—(仿照上式写出过程).

4964

国题型十二分式方程有关的规律性问题

解I题I技I巧

观察方程形式，常发现根与系数或序号关系，先解前几个特例找规律，猜想通解表达式；验证时代入方程,

利用分式方程解法，注意增根与定义域，可归结为数列或递推问题。

111111

【典例1］（25-26八年级上•广东汕头•期末）（1）【观察】丁二二1-二

1x222^3-2-33^4-3-4

【猜想】若〃为正整数，请你猜想第〃个等式（用含〃的式子表示），并证明.

（2）【拓展】

①利用你发现的规律计算：★+*+£+1

+2025x2026

111125

②利用上述规律解答：若有+而+嬴+……+五②句的值为加,求〃的值•

【典例2］（24-25七年级卜,•山东济南•期末）观察下列各式：丁二二1-上

1x22

--1-=-1---1-

2x323,

--1-=-1---1-

3x4341

请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：

1

⑴前二---------；

1111

⑵请你按利用发现的规律计算：1+彳+立+…+而而；

11111

⑶利用上面规律解方程：记不+不包+的降4）+…"（"2024（x+202$二十+202C

【变式1】（25-26八年级上•广西防城港•期末）探究与应用

【特例分析】

（1）填空：

12

①一■=’7-1的解为广二

x+lx+1

24

②----=---的解为x=_;

x+lx+\

③々二二-1的解为尸」

X+lX+1

【总结规律】

（2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：

【解决问题】

（3）请你按照上述规律写出第〃（〃为正整数）个分式方程，并求出它的解.（写出解答过程）

【变式2】（25-26八年级上•福建福州•期末）【问题初探】

小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：工=:-!，T二二:一:，…，在学习二次

1x222x3233x434

根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程

补充完整:

特例I：特例2：

特例3：（填写一个符合上述运算特征的式子）

【发现规律】

（«>2,且〃为整数）

(n-1)-〃

【应用规律】

（/7>10,且〃为整数）的小数部分是0.1,

求出整数部分.

1.（25-26八年级上•广西来宾•期末）下列各式是分式的是（)

x+2

A.土D.----

7Tc7723

2.（25-26八年级上•山西朔州•期末）下列各式从左到右的变形正确的是（）

A/+14+1n3。6.7ra。+1

A.----=----B.—=—c=

2a2b25r?,'b'b7\

1-2m1

（25-26八年级卜・四川泸州•期末）若关于丫的分式方程-----------1----------=2的解为正数,则,〃的取值范围

x-\1-x

是()

A.H1B.m>1C.且〃7HoD.，〃<1且〃？工0

x—2

4.（25-26八年级上•上海•期末）函数尸中自变量x的取值范围是

x

5.（25-26八年级上•陕西延安•期末）若关于x的分式方程无解,则。的值为

x-33-x

八a2-9b2gij

6.（25-26九年级上•四川成都,期末）已知q+36=—2,则信+1I---的值为.

31=0A,

7.（25-26八年级上•云南文山•期末）解方程：x（v+2）~v（x-2）

8.（25-26八年级上•四川泸州•期末）先化简，再求值：4+广*+2,其中工二一3.

x~x~-2x+lx+\

1.（25-26八年级上•江苏南通•期末）下列说法正确的是（）

A.代数式于是分式

2n

B.分式器是最简分式

x2+1

C.分式T的值为0,则X的值为士3

x—3

D.分式丁三一中'J都扩大3倍，分式的值不变