苏教版高一数学必修二 第15章概率（基础）原卷版+解析

题型1、事件的分类P1

1.（2026高二上•安徽•阶段检测）下列各项中，属于随机事件的是（）

A.若正方形边长为a,则正方形的面积为M

B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存

C.在一个标准大气压下，温度达到80°C时水会沸腾

D.抛掷一枚硬币，反面向上

2.（2026高一下.安徽六安・期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）

①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；

②“当X为某一实数时，可使'2<0'，是不可能事件；

③“明天上海要卜.雨”是必然事件；

④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

A.®©®B.@®@C.①②④D.①③④

3.（2026高一上•河北邯郸•开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球,

其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的球中至少有I个是黑球D.摸出的是2个刍球、1个黑球

4.（2026高一下•天津河东•期末）下列事件中，随机事件的个数是（）

①未来某年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰；

③从标有2.3,4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签：

④任取贝

A.1B.2C.3D.4

5.（2026富一下•全国•课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

（1）某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

⑵三角形的两边之和大于第三边；

（3）没有空气和水，人类可以生存下去；

（4）从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签;

（5）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.

题型2>写出基本事件、样本空间

6.（2026高一下•全国•课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为Q,从设事件M为

“方程aM+bx+l=0（a>0）有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为（）

A.6B.17C.19D.21

7.（2026高二上.湖北武汉.月考）一个箱子中装有编号分别为1、2、3、4、5的5个小球，5个小球除编号

外其他均无异，现有事件为“从箱中任取3个小球观察其编号”，问事件人的样本点数有（）

A.8个B.10个C.18个D.20个

8.（2025高一下•全国・专题练习）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽

签的结果，则试验的样本空间中样本点总个数为（）

A.3B.4C.5D.6

9.（2025高三下•全国・专题练习）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1,若反面向上则记为0,则

这个试验的样本空间中有个样本点.

10.（2026高一下•全国•课后作业）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷

两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.用（％y）表示一个样本点.

（1）请写出试验的样本空间；

（2）满足条件q为整数”这一事件包含哪几个基本事件？

题型3N辨析概率与频率的关系

11.（2026高一下・甘肃•期末）下列说法中正确的是（）

A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

B.在〃次随机试验中，•个随机事件A发生的频率具有确定性

C.在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1

D.随着试验次数〃的增大，一个随机事件4发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率

12.（2026高二下•湖北咸宁•期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则

该运动员（）

A.投篮10次至少有8次命中B.投篮命中的频率为0.86

C.投篮命中的概率为（）.86D.投篮10（）次有86次命中

13.（2026高二上•广东佛山・月考）下列说法正确的有（）

①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值

②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7

③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上

④某地发行福利彩票，回报率为々％,有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报

A.0个B.1个C.2个D.3个

14.（2026高一下.广西河池.期末）下列说法中正确的是（）

A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

B.在几次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性

C.随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件力发生的概率

D.在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1

15.（2025高一下•全国•专题练习）有以下说法：

①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；

②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；

③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的限率为

④某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品.

其中错误说法的序号是.

题型4>天气预报、抽奖、彩票的概率解造⑸

16.（2026高二上•四川成都•期中）以下一些说法，其中正确的有（）

A.一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是二

B.买彩票中奖的概率是（）.001,那么买1000张彩票一定能中奖

C.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1〜10共10个数中各抽取1个，再比较大

小，这种抽签方法是公平的

D.昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的

17.（2026高一下•新疆喀什•期末）下列说法正确的是（）

A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率

B.某种福利彩票的中奖概率为氤，买1000张这种彩票一定能中奖

C.连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为盖

D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水,

30%认为明天不会降水

18.（2026高一•全国•课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列

解释正确的是（）

A.本地区有90%的地方下雨B.本地区有90%的时间下雨

C.明天出行不带雨具，一定被雨淋D.明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋

19.（2026高二上・上海•单元测试）某种彩票中奖的概率为焉，有以下理解：

xUUUL

①买10000张彩票一定能中奖；

②买10000张彩票只能中奖1次；

③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖；

④买一张彩票中奖的可能性是焉.

其中正确理解的序号为.

20.（2026高一•全国•课后作业）生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%,

结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了.”学了概率后，你能给出解释吗？

21.（2026高一下•全国•课后作业）某种心脏手术，成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术

全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6,故我们用0,

1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的

结果.经随机模拟产生10组随机数：812,832,569,684,271,989,730,537,925,907.由此估计3

例心脏手术全部成功的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

22.（2026高一下•河南溪河・期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%.我们通过

设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生I〜5的随机数，当出现随机数1,3,5时，表示天下雨，利用

计算产生20组随机数：423,123,425,344,124,453,524,332,152,342,534,443,521,541,125,

432,324,151,314,245.则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）

A.-B.-C.-D.-

205209

23.（2026高二上•湖北武汉•期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器进行模拟实验

产生1~5之间的随机数，当出现随机数I时，表示一年内需要维修，其概率为0.2,由于有3台设备，所以

每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：

412451312531224344151254424142

435414135432123233314232353442

据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

24.（2026高二上•四川・期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”

四个字，有放回地从中任取一个小球，将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件4用随机模拟的

方法估计事件4发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2,3四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、

“盟''这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：233,

103,122,320,031,231,133,130,231,001,220,132,021,123,023,230,321,232,由此可以

估计，事件力发生的概率为.

25.（2（）26高二•上海.课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色

的球各2个，各个球的大小与质地相同.从两个盒子中各取1个球.

（1）求取出的2个球颜色不同的概率；

（2）设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率.

题型6

26.（2026高一下•广西百色・期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：4=”点数不大于3"，8="点

数大于4"，C'="点数为奇数”，/>“点数为偶数”，下列结论正确的是（）

A.B,C为对立事件B.A,。为互斥事件

C.C,。为对立事件D.A,。为互斥事件

27.（2026高一下・贵州贵阳・期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等

品，若从中任取2支.记事件人="恰有1支一等品”，事件8=”2支都是二等品"，事件C=“没有三等品”，下

列说法正确的是（）

A.事件A与事件8互斥B.事件8与事件C互斥

C.事件4与事件C对立D.事件8与事件C对立

28.（2026高一下•广西柳州•期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，

下列各对事件中互斥而不对立的是（）

A.至少有I名男生与全是男生B.至少有1名男生与全是女生

C.恰有1名男生与恰有2名男生D.至少有1名男生与至少有1名女生

29.（2026高二.上海•课堂例题）从一批产品中取出三件产品，设A：三件产品全不是正品，B：三件产品

全是正品，C：三件产品不全是正品.①A与C对立；②8与C互斥；③任何两个均互斥；④任何两个均不

互斥.则以上结论中正确的序号是.

30.（2025高三下•全国•专题练习）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件4为“只订甲报”，事件8

为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸“，事件。为“不订甲报”，事件正为“一种报纸也不订判

断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

⑴人与C；

（2）3与C；

（3）8与。；

（4）B与E；

（5）A与E.

题型7榴郴两曲

31.(2026高一下•全国・月考)已知事件A、B、C两两互斥，若P(4)=：,P(C)=：,P(4U8)=宗则P(8UC)=

()

A.—B.—C.—D.—

15151515

32.(2026高一下.山西大同.期末)袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一

球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56,摸出的球是红球或黑球的概率为0.68,则摸出的球是白球或黑

球的概率为()

A.0.64B.0.72C.0.76D.0.82

33.(2026高一下•河北沧州•期末)已知事件A,B,C两两互斥，且P(4)=UB)=看,/Q4UC)=5

则P(8U0=()

A.-B.-C.-D.-

312123

34.(2026高一下•湖南邵阳・期末)已知事件人与事件8为互斥事件，旦PQO=gPQ4uB)=j则

>*5

P(B)=.

35.(2026高一下•全国・单元测试)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：

血型ABAB0

该血型的人所占比例

2829835

(%)

已知同种血型的人口」以输血，。型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能反相输血，张三是B型

血，若张三因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？

题型8、利用对立事件的概率公式求概率OI

36.(2026高一下•河北维安・期末)已知事件A,8互斥，PQ4uB)=j且P(H)=3P(8),则P(g)=()

A.4B.LC.2D.2

20202020

37.(2026高一下•四川乐山・期末)小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8,规定若第一

次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立.第一次未命中得()分，仅第一次命中得10分，两

次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是()

A.0.16B.0.64C.0.8D.0.96

38.(2026高一上.山东潍坊.期末)设4,8是一个随机试验中的两个互斥事件，且户(力)=：尸(8)=3则

P(ATB)=()

A.；B.1C.-D.\

63103

39.(2026高一下•广东揭阳•期末)已知随机事件4B,C,L和8互斥,B和C对立，且P(A+B)=0.7,P(4)=0.3,

则P(C)=.

40.(2026高一下.全国•课堂例题)一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，

取出红球的概率为白，取出黑球的概率为白取出白球的概率为：，取出绿球的概率为9.

123612

(1)求取出的1个球是红球或黑球的概率；

(2)求取出的1个球不是绿球的概率.

题型9、相互独立事件与互斥事件的判断。|

41.(2026高一下.吉林长春.期末)有4张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取

两次，每次取1张卡片，A表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，公表示事件”两次取出的卡片上

的数字之和为5”，则()

A.=B.4与公为互斥事件

c.4t与4为相互独立事件D.&与4为对立事件

42.（2026高一下•福建福州•期末）抛掷--颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数为广，其中i=l,

2,3,4,5,6；5=”点数不大于4”，5="点数大于4”，4="点数为质数”，下列结论错误的是（）

A.G与。2互斥B.D］和。2是对立事件

C.。2和。3相互独立D.和D1相互独立

43.（2026高一下•黑龙江哈尔滨蝴末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点

数为2”，3表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，。表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7"，则（）

A.A与8为相互独立事件B.A与C为互斥事件

C.4与C为相互独立事件D.8与C为互斥事件

44.（2026高二上.广东汕头・月考）有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,从中不放回的随机取两

次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙

表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确

的是（）

A.甲与丙相互独立B.甲与乙相互独立

C.丙与丁互斥D.乙与丁互斥

45.（2026高二下•上海静安・期末）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为I、2、3、4、5、6.

⑴抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率；

⑵勉掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4,事件B为两次点数和为6,事件C为两次点数和为7.分别

判断事件A和3是否独立？事件A和C是否独立？

题型10独立事件的乘法公式

46.（2026高一下.湖南衡阳.期末）常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛,

比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为:，否则甲获胜的概率为:.第一局由甲

先发球，以后每局由负方先发球洛局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6393

47.（2026高一下.湖南衡阳.期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是3且是相互独立的,

48.（2026高一下.河南许昌.期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则

如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概

率均为%丙每次投篮投中的概率为|，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率

为（）

A.-B.-C.ID.-

1020S20

49.（2026高一下•新疆克拉玛依,期末）已知事件4和事件B相互独立，PQ4）=0.5,P（B）=0.3,则

50.（2026高一下・甘肃定西•期末）甲、乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多嬴两局者获胜，且

比赛结束，每局比赛羸的人，卜.一局比赛获得发球权.通过分析甲、乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球

且甲赢的概率为j乙发球且乙赢的概率为:，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球.

（1）求第二局比赛结束后乙获胜的概率：

（2）求第四局比赛结束后甲获胜的概率；

（3）求第六局比赛结束后甲获胜的概率.

题型1>一事件的分类

1.（2026高二上,安徽•阶段检测〕下列各项中，属于随机事件的是（）

A.若正方形边长为a,则正方形的面积为a?

B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存

C.在一个标准大气压下，温度达到80°C时水会沸腾

D.抛掷一枚硬币，反面向上

【答案】D

【解题思路】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断.

【解答过程】对于A,若正方形边长为a,由面积公式可知其面积为小，这是必然事件，故A不合题意；

对于B,真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题

意；

对于C,在一个标准大气压下，只有温度达到100℃,水才会沸腾，当温度是80℃时，水不会沸腾，这是不

可能事件，故C不合题意；

对于D,抽掷一枚硬币时、结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件，故D符合寇意.

故选：D.

2.（2026高一下•安徽六安•期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）

①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；

②“当x为某一实数时，可使/<0”是不可能事件；

③“明天」•海要下雨”是必然事件：

④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

A.①®③B.②®④C.①②④D.①③④

【答案】C

【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可.

【解答过程】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确,

对于②，“当X为某一实数时，可使无2<0”是不可能事件，所以②正确，

对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，

对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确.

故选：C.

3.（2026高一上•河北邯郸・开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球,

其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的球中至少有I个是黑球D.摸出的是2个刍球、1个黑球

【答案】C

【解题思路】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答.

【解答过程】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意；

B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意：

C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意；

D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意.

故选:C.

4.（2026高一下.天津河东.期末）下列事件中，随机事件的个数是（）

①未来某年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4c时结冰；

③从标有1，2,3,4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签：

④任取％WR,则|x|N0.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解题思路】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.

【解答过程】①未来某年8月18B,北京市不下雨，属于随机事件；

②在标准大气压下，水在4C时结冰，属于不可能事件；

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为I号签，属于随机事件；

④任取XWR,则|x|Z0,属于必然事件；

所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是2.

故选:B.

5.（2026高一下•全国•课后作业i指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:

（1）某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

（2）三角形的两边之和大于第三边：

（3）没有空气和水，人类可以生存下去；

（4）从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签：

（5）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.

【答案】（1）随机事件

（2）必然事件

（3）不可能事件

⑷随机事件

（5）不可能事件

【解题思路】（1）根据随机事件的定义可得；

（2）根据必然事件定义可得；

（3）根据不可能事件定义可得；

（4）根据随机事件的定义可得；

（5）根据不可能事件定义可得.

【解答过程】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.

（2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件.

（3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件.

（4）任意抽取，可能得到1,2,3,4的四张标签中任一张，所以是随机事件.

（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机''不会出现，所以是不可能事件.

题型2、官诞本事件、样本空间P

6.（2026高一下•全国•课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a,b,设事件M为

“方程aM+bx+1=0（a>0）有实数解"，则事件M中含有样本点的个数为（）

A.6B.17C.19D.21

【答案】C

【解题思路】根据根的判别式得到-4aN0,然后找样本点即可.

【解答过程】将•枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次汜为a和b，

,方程ax?+bx+1=0（a>0）有实数解，

•••△=62—4a>0,

则M={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6)

,(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共含19个样本点.

故选：C.

7.(2026高二上•湖北武汉・月考)一个箱子中装有编号分别为1、2、3、4、5的5个小球，5个小球除编号

外其他均无异，现有事件X为“从箱中任取3个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有()

A.8个B.10个C.18个D.20个

【答案】B

【解题思路】根据题意，列举出所有可能得情况，即可得到结果.

【解答过程】因为事件4为“从箱中任取3个小球观察其编号”，

则事件A包含的样本点有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(：,4,5),(2,3,4),

(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种.

故选：B.

8.(2025高一下•全国•专题练习)甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽

签的结果，则试验的样本空间中样本点总个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解题思路】借助树状图即可得.

【解答过程】画出树状图：

丙

乙

<二

甲

丙

乙

二

甲

<丙

乙

丙

甲

二

<甲

丙

乙

乙

甲

檄

=((」丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，

.»

(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)},即样本点总个数为6.

故选:D.

9.(2()25高三下•全国•专题练习)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1,若反面向上则记为0,则

这个试验的样本空间中有个样本点.

【答案】8

【解题思路】根据给定条件，写出试验的样本空间即可得解.

【解答过程】试验的样本空间为。={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,0)},共8个

样本点.

故答案为：8.

10.(2026高一下.全国.课后作业)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷

两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x,第二次第下面的数字为a用8y)表示一个样本点.

⑴清写出试验的样本空间；

(2)满足条件?为整数”这一事件包含哪几个基木事件？

【答案】(I)答案见解析

(2)答案见解析

【解题思路】(1)逐个列举即可■:

(2)逐个列举即可求解；

【解答过程】(1)试验的样本空间为

n={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)(4,4)}共16个

样本点.

(2)用A表示满足条件七为整数”的事件，

y

则A包含的样本点有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),

共8个样本点.

题型3N辨析概率与频率的关系

11.(2026高一下・甘肃•期末)下列说法中正确的是()

A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

B.在〃次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性

C.在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1

D.随着试验次数〃的增大，一个随机事件人发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率

【答案】D

【解题思路】根据己知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断.

【解答过程】对于A,一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A甯误;

对于B,在〃次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误；

对于C,在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1,故C错误；

对于D,根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数〃的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定

于事件A发生的概率，故D正确.

故选:D.

12.（2026高二下・湖北咸宁•期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则

该运动员（）

A.投篮10次至少有8次命中B.投篮命中的频率为0.86

C.投篮命中的概率为0.86D.投篮100次有86次命中

【答案】B

【解题思路】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即用答案.

【解答过程】由题意可知投篮命中的频率为毁=0.86,

而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误；

投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的，

其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小，

不代表事件一定会发生，故AD错误，

故选：B.

13.（2026高二上•广东佛山・月考）下列说法正确的有（）

①随机事件/的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值

②某人打靶，射击1（）次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7

③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上

④某地发行福利彩票，回报率为々％,有人花了100元钱买彩票，••定会有47元的回报

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解题思路】由概率的概念逐项判断即可.

【解答过程】对于①：随机事件力的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值，正确；

对干②：某人打靶，射击10次，击中7次，

那么此人中靶的频率为0.7,但概率不一定为0.7,故错误；

对于③：是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷6次，不一定有3次“正面朝上”，故错误；

对于④：是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有不能，但事先无法预料，故错误；

故选:B.

14.（2026高一下•广西河池・期末）下列说法中正确的是（）

A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

B.在几次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性

C.随着试验次数九的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件力发生的概率

D.在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1

【答案】C

【解题思路】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断.

【解答过程】频率与概率不是同一个概念，故A错误；

在九次随机试验中，一个随机事件4发生的频率具有随机性，故B错误；

随着试验次数几的增大，一个随机事件力发生的频率会逐渐稳定7事件力发生的概率，故C正确；

在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1,故D错误.

故选：C.

15.(2025高一下•全国•专题练习〉有以下说法：

①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；

②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；

③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的暇率为持；

④某厂产品的次品率为2%,但该厂的5()件产品中可能有2件次品.

其中错误说法的序号是.

［答案］®®®

【解题思路】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可.

【解答过程】①中降水概率为95%,仍有不降水的可能，故①错误：

②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会

中奖，故②错误；

③中正面朝上的频率为总，概率仍为发故③错误；

④中次品率为2%,但5()件产品口可能没有次品，也可能有1步或2件或3件…50次品，故④正确.

故答案为：①②③.

题型4'天气预报、抽奖、彩票的概率解释

16.(2026高二上•四川成都•期中)以下一些说法，其中正确的有()

A.一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是二

B.买彩票中奖的概率是（）.001,那么买1000张彩票一定能中奖

C.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1〜10共10个数中各抽取1个，再比较大

小，这种抽签方法是公平的

D.昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的

【答案】C

【解题思路】对于A选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于B选项,

买彩票中奖的概率是0.001,这是中奖的可能性，对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于D选

项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生.

【解答过程】对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为白，故A错

365

误；

对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001,这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错

误；

对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确；

对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误.

故选：C.

17.（2026高一下•新疆喀什•期末）下列说法正确的是（）

A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率

B.某种福利彩票的中奖概率为高，买1000张这种彩票一定能中奖

C.连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为?

100

D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水,

30%认为明天不会降水

【答案】A

【解题思路】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解.

【解答过程】对「A,随着试验次数的增大，随机事件发生的频宏会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概

率是频率的稳定值，故A正确，

对干B,某种福利彩票的中奖概率为与，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误，

对于C,连续100次掷--枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面

的频率为喘，而掷一枚硬币出现反面的概率为点故C错误，

对于D,某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误，

故选:A.

18.（2026高一•全国•课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列

解释正确的是（）

A.本地区为90%的地方下雨B.本地区有9。％的时间下闲

C.明天出行不带雨具，一定被雨淋D.明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋

【答案】D

【解题思路】根据概率的实际意义即可判断.

【解答过程】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确，

故选：D.

19.（2026高二上•上海・单元测试）某种彩票中奖的概率为嬴，有以下理解：

①买10000张彩票一定能中奖；

②买10000张彩票只能中奖I次;

③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖；

④买一张彩票中奖的可能性是焉.

其中正确理解的序号为.

【答案】④

【解题思路】根据概率的定义即可得解.

【解答过程】由某种彩票中奖的概率为嬴，

得买一张彩票中奖的可能性是嬴，故④正确；

买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①（②错误；

若买9999张彩票未中奖，则第10（X）（）张也有可能不中奖，故③错误.

故答案为：④.

20.（2026高一.全国.课后作业）生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%,

结果根本•点雨都没下，天气预报也太不准确了.“学了概率后，你能给出解释吗？

【答案】答案见解析

【解题思路】结合概率的定义解释即可.

【解答过程】天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们

知道：在--次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，

因此，“昨天没有下雨'’并不说明"昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.

题型5、随机模拟问题

21.（2。26高一下•全国•课后作业）某种心脏手术，成功率为。.6,现采用随机模拟方法估计',3例心脏手术

全部成功''的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6,故我们用0,

I,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的

结果.经随机模拟产生10组随机数：812,832,569,684,271,989,730,537,925,907.由此估计3

例心脏手术全部成功的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D,0.5

【答案】B

【解题思路】利用古典概型的概率求解.

【解答过程】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，

故3例心脏手术全部成功的概率为：搐=0.3.

故选:B.

22.（2026高一下.河南漂河.期末）天气预报说,在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%.我们通过

设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生1〜5的随机数，当出现随机数1,3,5时，表示天下雨，利用

计算产生20组随机数：423,123,425,344,124,453,524,332,152,342,534,443,521,541,125,

432,324,151,314,245.则这三天中恰有两天下雨的概率近以为（）

A.-B.-C.-D.，

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