2026届人教A版高中数学复习：简单几何体的表面积与体积【附答案】

8.3简单几何体的表面积与体积

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

例1.

1.如图，四面体P-43C的各棱长均为求它的表面积.

【解析】

【分析】

因为四面体P-45C的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个

面的面积的4倍.

【详解】解：因为△尸3c是正三角形，其边长为。，所以

因此，四面体P—48c的表面积SPTSC=4x曰a?=&2

【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题.

例2

2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5他

公共面力8c。是边长为1〃的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01%3）?

1/24

【答案】0.67n?

【解析】

【分析】

漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.

【详解】解：由题意知

长方体ABCD-ABCD的体积P=1x1x0.5=0.5(w3),

棱锥夕一的体积r=|xlxlx0.5=：(加3),

JU

所以这个漏斗的容积

V=—+—=—»0.67(ni3).

263')

【点睛】本题考查多面体的体积，是基础题.

练习

3.若正六棱台的上、下底面边长分别是2腐和6cm侧棱长是5。6,求它的表面积.

【答案】正六楼台的表面积为(606+24历)cm?

【解析】

【分析】

在正六棱台的侧面上计算山斜高，然后计算侧面积，两个底面面积,相加可得表面积.

【详解】如图,正六棱台4BCDEF-B'C'D'U卢中，)且=2cm，48=6cm，力力'=5cm，

・••侧面梯形ABB'A'的斜高为卜生工)=5(cm).•・

VI2/

2/24

A

BC

•*,S梯形Tgw二F->=4>/2T(cm2).

又S卜庇=6x^-x22=6\/3(cm2)，

S下底=6x—x62=54百(cnf)，

，正六棱台的表面积

S=S上底+SF底+6s梯形卷a”，=6+546+6x4而=(606+245)(an).

即正六棱台的表面积为(60<3+24721)cm2.

【点睛】本题考查求正棱台的表面积，必须是两个底面面积和侧面积相加，掌握侧面积公式

是解题基础.

4.如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1。勿的小立方

体.

(1)共得到多少个棱长是1cm的小立方体？

(2)三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？

(3)两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？

3/24

(4)一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？

(5)六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方

厘米的空间？

【答案】⑴64个;

(2)8个,48czM2；

(3)24个，144cm2；

(4)24个,144czM2；

(5)8个，488。/

【解析】

【分析】

3

(1)棱长是4cm的立方体体积64cm3,楼长为1cm的小正方体体积为1Cm，由此能求出

共得到多少个棱长为1夕〃的小正方体；

(2)三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面

涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少；

(3)一面涂色的小正方体是位于梭长是4c〃7的立方体的各边上的正方体，由此能求出一面涂

色的小正方体有多少个，表面积之和为多少；

(5)六个面均没涂色的小正方体为棱长是4。〃?的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均

没有涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少，它们占有多少立方厘米.

【详解】解：(1)楼长是的立方体体积为：4X4X4=64(cm3

棱长为1cm的小正方体体积为1cm5，

64

.♦•共得到了=64个小正方体；

(2)三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，

•・•立方体共有8个顶点，

・•・三面涂色的小正方体有8个，

4/24

每个小正方体的表面积为6c77」，

则表面积之和为8X6=48(cm2):

(3)二面涂色的小正方体是位于楼长是4cm的立方体的各边上的正方体，

•.,立方体共有12条边，每边有2个正方体，

・••二面涂色的小正方体有24个，

每个小正方体的表面积为6cm2,

则表面积之和为24X6=144(cm2);

(4)一面涂色的小正方体在棱长是4cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体,

•.•立方体共有6个面，每个面有4个正方体，

，一面涂色的小正力体有24个，

每个小正方体的表面积为6c,加2,

则表面积之和为24X6=144(cm2);

(5)六个面均没涂色的小正方体为棱长是4c〃?的立方体中心的正方体，

共有64-8-24-24=8个，

每个小正方体的表面积为6c〃/,

则表面积之和为8X6=48(°苏),

它们占8X1=8(cm2)的空间.

【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练

掌握正方体的结构特征.

5.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,

如图所示，若被截正方体的棱长是50口〃，则石凳的表面积为cm2.

5/24

【答案】(7500+2500®/

【解析】

【分析】由题意，该几何体是由棱长为50。〃的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的

八个四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解.

【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的

八个四面体是全等的三棱锥，

同时几何体是由8个底面边长为250。〃的等边三角形和边长为2580〃的6个正方形组成

的一个14面体，

所以该几何体的表面积为：

,2

lS'=8xlx255/2x25V2sin60+6x25V2x25j2=(7500+2500x/3)c^.

故答案为：(7500+2500

【点睛】本题主要考查了空间儿何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中

正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于

基础题.

6.求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个则面的面积.

【答案】见解析

6/24

【解析】

【分析】

将问题转化为证明三角形的两边之和大于第三边即可.

【详解】证明：如图，因为直三棱柱的侧面都是矩形，则侧面积为底乘高，而高相等，所以

要证任意两个侧面的面积和大于第三个倒面的面枳，只要证明三棱柱的底面上任意两边的和

大于第三边即可，而这可由三角形的两边之和大于第三边得到，从而得证.

【点睛】本题考查直三棱柱的侧面积，是基础题.

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

例3

7.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3〃/,圆柱高0.6勿如果

在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5松涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需

要多少涂料？(〃取3.14)

【答案】423.9kg

【解析】

【分析】

先求出一个浮标的表面积，进而可得所需涂料.

【详解】解：一个浮标的表面积是2万x0.15x0.6+4乃x0.15?=0.8478(1/),

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478x0.5x1000=423.9(kg).

【点睛】本题考查旋转体的体积，是基础题.

例4.

7/24

8.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.

【答案】|2

【解析】

【分析】

利用圆柱和球的体积公式，求出体积即可.

【详解】解：设球的半径为此则圆柱的底面半径为此高为2分

球的体积匕=；乃川，圆柱的体积匕=E2R=2兀R3,

.•.匕：匕=«|万网：2万尼=|.

【点睛】本题考查圆柱和球的体积，是基础题.

练习

9.已知圆锥的表面积为（〃小,且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆徘的底面直径.

【答案］?一百茄〃7

【解析】

【分析】

设圆锥的底面半径为八母线长为/,根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解

出即可.

【详解】解：设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则由题意得。=兀/+"”.

又圆锥的侧面展开图为半圆，1.2万尸=7/,即/=2八

8/24

将②式代入①式得〃=3乃/，=三，即〃=叵?.

3兀3万

故圆锥的底面直径为2，5五〃?.

3%

【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题.

10.当一个球的半径满足什么条件时，具体积和表面积的数值相等？

【答案】R=3

【解析】

【分析】

设球的半径为"时，根据体积公式和表面积公式列方程求解即可.

【详解】解：设球的半径为兄时，其体积和表面积的数值相等.

则一位3=4成2,..R=3

3

即球的半径火=3时，其体积和表面积的数值相等.

【点睛】本题考查球的体积公式和表面积公式，是基础题.

11.将一个棱长为6函的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.

【答案】36兀51"

【解析】

【分析】

先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可.

【详解】解：山题意知，球内切于正方体，.,.2R=6c〃?，.•.R=3CTH.

所以球的体积〃=一先及3=3T・33=36%（C，〃3）,

33

即可制作的最大零件的体积为36/rent'.

【点睛】本题考杳球的体积公式，是基础题.

12.一个长、宽、高分别是80c加，60。加，55c%的水槽中装有200000c〃『的水，现放入一个直

径为50面的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢

9/24

出？

【答案】不会

【解析】

【分析】

分别求出球的体积，水中球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案.

【详解】解：球的体积匕=§万*25、3.14、253^65417卜〃73),

水中球的体积匕=匕x§=4361l(c/),

长方体的体积匕=80x60x55=264000卜机3),

/.K-200000=264000-200000=64000>43611.

故水不会从水槽中溢出.

【点睛】本题考查球的体积，长方体的体积，关键是要好好审题，注意数量关系，是基础题.

习题8.3

复习巩固

13.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点力，B,C,〃在同一个平面内，如

果四边形ABCD是边长为30面的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？

【答案】180073CW2

【解析】

【分析】

依题意八面体的每一个面都是边长为30。〃的正三角形，计算可得.

10/24

【详解】解：由题意，每个面都是边长为30c加的正三角形，

S氐=8x；x30x30xsin60=1800G卜〃/)

即这个八面体的表面积是18005/3cw2.

【点睛】本题考查简单几何体的表面积，属于基础题.

14.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何

体体积的比.

【答案】1:5

【解析】

【分析】

设长方体的长、宽、高分别为。，b,c,根据长方体的几何特征，我们可得加，SB,SC

两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥S-48c的体积与剩下的几何

体体积，进而得到答案.

【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为。，b,%

即"=Q,SB=b,SC=c.

由长方体，得必，SB,SC两两垂直，

所以%.SBC=；SA・SX$BC=9x=[“be,

3326

于是VS-ABC=VA-SBC=[abc.

故剩下几何体的体积V=abc-^abc="be,

66

因此，小展1:5.

11/24

【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式，其中根据长方体的结构特

征分析出SbSB,SC两两垂直，进而求出棱锥的体积是解答本题的关键.

15.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA尸8,若侧面AABB水平放置时，液面恰好

过AC,BC,A,Ct,BQ的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？

【答案】6

【解析】

【分析】按侧面放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的:，故可得水

4

3

的体积为棱柱的;，由此可得按底面48C放置时液面的高.

4

【详解】设三棱锥的体积为V,按侧面水平放置时液面以上部分的体积为!V,故水

4

3

3,-V

的体积为:设按底面4BC放置时液面的高为人则方43,故力=6.

4—==—

8V4

【点睛】一定形状的几何体容器，按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致，

可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系.

16.如图，圆锥P。的底面直径和高均是〃，过尸。的中点。'作平行于底面的截面，以该截面

为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.

12/24

【答案】剩下部分体积为捻乃Y，表面积为旦且知

964

【解析】

【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积.

【详解】由于O'是夕。的中点，所以圆柱的高且圆柱的底面半径为

24

圆锥的体积为

3{2)12

圆柱的体积为；rx(qx—c=—a3»

UJ232

所以剩下几何体的体积为仔-白］/=己/加.

V1232/96

剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，

日n(ci\a2"(♦丫_aa2+石2

即；rx—+^x—x.a'+—+2乃x—x-=-----Tia.

⑴2Y⑶424

17.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是。。相，求球的体积.

【答案】曰//小疝)

【解析】

【分析】

山正方体的棱长为。，其顶点都在一个球面上，则正方体的对角线即为球的直径，求出球的半

径后，代入球的体积公式，即可得到答案.

【详解】解：•・,正方体的棱长为。馍7,

13/24

・••正方体的体对角线长为小C〃7，

・••球的半径R=^^457，..匕求二g•万火3二•（曰3Mm3）.

【点睛】本题考查正方体的外接球的体积计算问题，棱长为。的正方体，内接正四面体的棱长

为（％外接球直径等于长方体的对角线长百〃，属于基础题.

综合运用

18.如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上

部是•个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使

烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷石专，请你计算需要多少平方厘米的瓷6专？（结果精确到

\cnr，可用计算工具）

【答案】14359（C，〃2）

【解析】

【分析】

上部四棱柱的侧面积容易求出；要计算四棱台侧面积需先计算出斜高，再计算侧面积，两者

相加即为需要瓷砖面积.

【详解】解；由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积.

S|q棱柱侧=4x40x80=12800（cm?）,

四棱台的斜高/?二小10?-（5。24。）=5x/3（cni）»

14/24

=4xx5\/3«1559(cm2)

s四校台侧4°；5°

故需要究砖的面积为12800+1559=14359（cw2）.

【点睛】本题考查几何体的侧面积求解，关键是得出所需要的数据，准确利用公式，属于基

础题.

19.有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.9xl03kg/n】3）六角螺母共重5.8kg.如图，每一

个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm,高为10mm,这堆螺母大约

有多少个？（可用计算工具，万取3.14）

【答案】248

【解析】

【分析】计算出每个螺母的体积、质量，由此计算出螺母的个数.

【详解】每个螺母的体积为：6X^X122-^X52xl0=（2160-25万）x10立方亳米，

所以每个螺母的质量为（216后一25不卜10乂10、7.9乂103=（2166-25乃卜1007.9千克,

_________5^_________〜加

所以螺母个数（2160_25加卜10-限7.9~个，

20.分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲

面围成3个几何体，这3个几何体的体积之间有什么关系？

1

【答案】

【解析】

【分析】

宜角三角形45C的两条直角边分别为。，〃，斜边为c,依照题意，得到三个几何体的体积.

15/24

【详解】解：设直角三角形N3C的两条直角边分别为b,斜边为

以。为轴，进行旋转，形成底面半径为6,高为。的圆锥，

其体积匕=-x^xb2xa=;

以6为轴，进行旋转，形成底面半径为。，高为人的圆锥，

其体不只K.=-x^xa2x/>=—a2b.

33

以。为轴，进行旋转，形成底面半径为?，高的和为C的两个圆锥的组合体，

其体积匕=1x^-x(—)2xc=""b.

3c3c

11999(〃+/)9cl

,(n，丫(兀,y-7T2a2b47T2aAb2"^2a4b4-"b，

—ab~—a~b

13)(3J

..111

所以记+/=可_・

【点睛】本题考查几何体的体积公式.较易.解题时要认真审题，仔细解答.

拓广探索

21.如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(可用计算工具,

尺寸如图，单位：cub"取3.14,结果取整数〉

16/24

【答案】表面积：1193c〃?2,体积：1047c〃J

【解析】

【分析】

图复原的几何体下部是底座是四棱台，中部是圆柱，上部是球，根据三视图的数据，利用上

中下三部分几何体的体积公式直接求出这个奖杯的体积；先求出侧面的面积和上下底面的面

积，再相加求这个奖杯的表面积.

【详解】解：由该奖杯的三视图可知，奖杯的上部是直径为4M的球；中部是一个四棱柱，

其中上、下底面都是边长分别为8/〃、4cm的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20。办

8M的矩形，另两个侧面是边长分别为20腐、4M的矩形；下部是一个四梭台，其中上底面是

边长分别为10。/〃、8项的矩形，下底面是边长分别为20/队16c/〃的矩形，四棱台的高为2M

17/24

解：三视图复原的几何体下部是底座是四棱台，中部是棱柱，上部是球，

这个奖杯的体积：

S上=8x10=80c〃J,=I6x20=320cm2

3

乙二,/?(S卜+jS].S下+5T)=-X2(80+780X320+320)=cm

33j

..434'32乃3

球=一3九r3=—x;rx2=--3-cm

J/柱=abh=4x8x20=64(km'

p=Z+/+/=640+"2°；32—047加；

这个奖杯的表面积：(其中奖杯底座的侧面上的斜高等于+2?=2石皿和

J亨j+22gM.

S=S上+S恻+s下+S柱恻+S球

2

=16x20+(16+8)xx/29+(10+20)x2y5+8xl0+2x(8+4)x20+4^x2=880+606+24/^+16乃=119次加

因此它的表面积和体积分别约为1193cH/J047c,〃/.

【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是

解答的关键.

变式练习题

22.若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的()

A.及倍B.3倍C.2倍D.5倍

【答案】C

【解析】

【详解】设圆锥的底面半径为八母线长为7,则由题意知，/=2/，于是S产、・2/、=2",

5氏=兀产.故选C.

18/24

23.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的

表面积与正方体的表面积之比为（）

A.1：V2B.1:73C,2：V2D.3:迷

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知，该三棱锥的四个侧面全是等边三角形.设正方体的棱长为1,然后分别计算该三

棱锥的表面积与正方体的表面积，求出比值即可.

【详解】如图所示，在正方体488—HB'CT）'中，三棱锥8'-/CQ'符合题目条件，且三

棱锥力CD的四个侧面全为等边三角形，

设正方体的棱长为1,则三棱锥*-力CD'的棱长为V2，

所以正方体的表面积为6,S/8，=^X（0）2=4,即三棱锥

B'-ACD'的表面积为S=4x近=2,

2

则三棱锥8'-4C。'的表面积与正方体ABCD-AB9D'的表面积之比为：2后：6=1:6.

故选：B.

24.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84开，则

圆台较小底面的半径为（）

A.7B.6C.5D.3

【答案】A

【解析】

19/24

【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.

【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为3/，母线长/=3,

所以S侧=4（3—+尸）/=84万，解得尸=7.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.

25.如图所示，正方体力比7>—4£6；〃的棱长为a过顶点用D,4截下一个三棱锥.

（1）求剩余部分的体积；

（2）求三棱锥力一4切的体积及高.

【答案】⑴（2）三棱锥力一4劭的体积为《加，高为

663

【解析】

【分析】（1）由题意，先判断剩余部分的体积是正方体的体积减去棱锥的体积，结合棱锥和

正方体的体积公式，即可求解；

（2）由（1）,利用等体积法加=〃，,皿求得三棱锥体积，再设三棱锥力-4台。的高为力，

结合等边三角形△48。的面积解方程即得高.

【详解】解：（1）由题意，正方体力8。。-44GA的棱长为。，则正方体的体积为匕=/,

又三棱锥4一48。的体积匕一加二；6小9・力/=；；48・4）-44=:",

JJ4VZ

3

所以剩余部分的体积P=匕-V,ABD=6?-l^=|t7;

r\

20/24

（2）由（1）知嗫设三棱锥力-43。的高为刀，“田。是等边三角形,

边长为血Q，即面积s立x（血。）2=立］,

▼△/I,DU22、/2

2223

则匕,DI.=--Stor.-h=-x—axh=—ah^^—ah=—a»Wh=—a»

3〜326663

故三棱锥/1一4做的体积为:标，高为立a.

63

【点睛】方法点睛：

求空间几何体的表面积与体积的求法：

（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积,可直接利用公式进行求解；

（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图豚然后进行体积的计算，或不规则的几何体

补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过先择合适的底面来求几何体体积的一

种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.

26.在底面半径为2母线长为4的圆铢中内接一个高为点的圆柱，求圆柱的表面积.

【解析】

【分析】由已知中底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为百的圆柱，可计算出圆

柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案.

【详解】解：设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为人表面积为S,

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底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，不Z=2^/3，

则圆柱的上底面为中截面，可得，，二1,

••2s底=27c,S侧=2\/^兀，

.,.S=(2+2⑹兀.

【点睛】本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是

解答本题的关键.

27.球的体积是吆，则此球的表面积是(