苏教版高一数学必修二 第12章 复数（二）原卷版+解析

题型1

I.（2026高一下•陕西商洛•期中）若Q与b均为实数，且b—3i=4+ai,则a的值为（）

A.3B.4C.-3D.-4

2.（2026高一下•陕西咸阳•期中）若a-i）i=y+5i（x,y€R）,则x+y=（）

A.6B.5C.-6D.-5

3.（2026高一下•全国・单元测试）已知4=nt?一3m+根2Lz2=4+（5m4-6）i,其中m为实数，i为虚数

单位，若Z]-Z2=0,则m的值为（）

A.4B.-1C.6D.-1或6

4.（2026高一下•上海浦东新•期末）已知（％+2y）+（4x-y）i=74-i,其中3、yCR,则3+y=.

5.（2026高一卜・全国•课堂例题）求满足下列条件的实数x,#J值：

（1）（%—2y）—（3x+y）i=3-6i；

(2)(x4-y-3)+(x—y—2)i=0；

(3)%+y+4i=2y+x2i；

(4)^^+(x2-2x-3)i=0.

题型24已知复数的类型求参数

I.（2026高一下•重庆长寿・期末）已知Q€R,若a—3+（a+2）i（i为虚数单位）是实数，则。=（）

A.-3B.-2C.2D.3

2.（2026高一下.湖北•期末）若复数z=a2-4+（a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）

A.2B.2或一2C.-2D.-4

3.（2026高三下•安徽安庆・月考）复数2=小一。-2+乂。6/?）为纯虚数的充分不必要条件是（）

A.0B.a=-1

C.a=-1或a=2D.a=1或a=-2

4.（2026高一下•江苏苏州•期末）设i为虚数单位，若复数z=（m？-4）+（m2-2m）i是纯虚数，则实数m的

值为.

5.（2026高一下•全国•课后作业）已知复数z=（根？+m一6）+（m?-m-2）i（mER）.

（1）若z是实数，求实数〃?的值；

（2）若z是虚数，求实数，〃的取值范围；

⑶若z是纯虚数，求实数〃?的值.

题型3根据复数的四则运算结果求复数特征a

1.（2025・甘肃白银•三模）已知复数z满足三=-2+i,则复数z的共扰复数在复平面内对应的点位于（）

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

202S

2.（2026高二下•贵州遵义・月考）已知复数Zi=—1一2i,z2=3+4i（i为虚数单位）,则2逐2的虚部

为（）

A.5B.-5C.10D.-10

3.（2025・云南曲靖••模）如果•个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=-a+2i

（其中a£R）为“等部复数”，则复数，—2ai在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2026高一下•北京朝阳・月考）已知复数z满足（l-i）2z=2-4i,其中i为虚数单位，则复数z的共挽复

数2的虚部为.

5.（2U26高一下•云南昆明•期中J已知复数Zi=a2+zai（aER）,复数Z2在复平面内对应的向量为画=

（-1,2）.

（1）若2/2为纯虚数，求a的值：

（2）若z1i-Z2在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围.

题型4复数范围内方程的根的问题

1.(2026高一下•福建厦门•期末)已知z=1-2i是关于%的方程婷+px+q=0(p,qWR)一个根，则p+q=

()

A.-2B.3C.6D.7

2.(2026高一下•山西•期中)已知复数Zi=1-2i是关于x的方程/+px+q=0(p,q€R)的一个根，

则Z2=p+qi在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.(2026高一下,浙江台州•期末)已知虚数Z],Z2是方程/+«-2=0的两个不同的根，则下列说法正确

的是()

A.=1B.IZi|=V2C.zf+z2=0D.zx+z2=1

4.(2026高一下•陕西•期中)已知复数一3+是关于x的方程/+ax+b=0(a,bER)的一个复数根.

(1)求a,b的值;

(2)若？虫+；加2一3mi(m£R)为纯虚数，求m的值.

1—13

5.(2026高一下•上海宝山・期末)已知关于”的实系数一元二次方程/+bx+c=0.

(1)若1+i(i是虚数单位)是此方程的一个根.求从c的值；

(2)若与,又2是此方程的两个虚根，且满足比I=V5，一切=2/，求b、c的值.

题型5根据复数对应坐标的特点求参数

1.（2025・甘肃•一模）若复数一1+（1-。2万在复平面内对应的点位于第二象限，则实数Q的取值范围是（）

A.a>-1B.a<-1,或a>1

C.-1<a<1D.a<1

2.（2026高一下•辽宁葫芦岛•期末）已知复数z=2+（a-l）i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在

第四象限，则实数Q的取值范围是（）

A.a>1B.a>1C.a<1D.a<1

3.（2026高一下•河北雄安•期末）已知i为虚数单位，若复数z=Hi?-一4+（2m-l）i（m€R）在复平

面内对应的点位于第二象限，则实数〃，的取值范围为（）

A.（-1,4）B.&4）

C.（-co,-l）U（4,+oo）D.+8）

4.（2026高一下•青海西宁・期中）若复数2=（血2+?„-6）+加（其中1为虚数单位），当z对应的点在第

三象限时，则实数m的取值范围为.

5.（2026高一下•海南・月考）已知复数z=-3m-4+（nt?+4m+3）i（m€R）.

（1）若z是实数，求根的值；

（2）若z是纯虚数，求m的值；

（3）若z在复:平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.

题型61复数的噢的几何意义

1.（2026高一下•甘肃白银•期末）已知复数z满足|z+3-4"=1,则|z|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2025•黑龙江大庆•模拟预测）设zGC,在复平面内对应的点为Z,则满足1<|z-l|<2的点Z的集合

形成的图形的面积为（）

A.TTB.2TTC.3TTD.411

3.（2025•辽宁•模拟预测）已知复数Zi/2分别满足㈤=1,吃+3+4"=2,则区-Zzl的最大值为（）

A.5B.6C.7D.8

4.（2026高一下•浙江杭州•期中）复数为,22满足％-1|=区+“，％-2|=1,则-一为|的最小值

为.

5.（2026高一上•上海•课后作业）已知复数-i与Z2=争.

⑴求0|及的值;

（2）设zeC,满足%|<\z\<|zj的点Z的集合是什么图形？

题型7N复数加、减法的几何意义的应用

1.（2025•贵州六盘水•一模）在复平面内，。为原点，四边形0A8C是复平面内的平行四边形，且A,B,

C三点对应的复数分别为Z/,Z2，Z3，若Z1=1,z3=-2+i,则Z2=（）

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.（2026高一下•江苏常州•期末）已知Z],Z2€C,|z/=%|=1,|zt+z2\=V3,则％—Z2l=（

A.0B.1C.y/2D.V3

3.（2026高一•全国•课后作业）复平面上有4、B、C三点，点力对应的复数为2+3瓦?对应的复数为1+2i,

近对应的复数为3-i,则点。的坐标为.

4.（2026高一下•四川成都.期中〕如图所示,平行四边形04BC,顶点O,A,C分别表示0,4+3i,-3+5i,试

求:

⑴对角线方所表示的更数;

（2）求8点对应的复数.

22

5.(2025高一下•全国•专题练习)已知复数Zi=a-3+(a+5)i,z2=a-1+(a+2a-l)i(a€R)分别

对应向量西，两(O为原点).

(1)若向量西表示的点在第四象限，求a的取值范围：

(2)若向量在对应的复数为纯虚数，求a的值.

题型8、%三角表示下复数的乘方与开方

1.(2026高一•全国•课后作业)复数耳嘤的值是()

1+V3I

A.-16B.16C.--D.i

444

2.(2026高三上.江西南昌•月考)设有复数31=-；+当，0)2=COS|TT+isin^n,令侬二曲”，则更

数3+0)2+侬3+…+0)2026=()

A.a)B.co2C.炉D.a)4

3.(2026高二下•广东佛山•期末)在复平面内，复数2=。+折(外力6幻对应向量为方(。为坐标原点)，

设|5?|=r,以射线Ox为始边，0Z为终边逆时针旋转所得的角为6,则z=r(cos®+isin。)，法国数学家棣

莫弗发现棣莫弗定理：Zi=rx(cos0!+isin%),z2=r2(cos02+isin02)»则z/2=r1r2[cos(014-02)+

isin(%+02)]*由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn=[r(cosfi+isin0)]n=rn(cosn0+isinn0)(neN*),

贝|J(-1+百i>°=()

A.1024-1024V3iB.-1024+1024731

C.512-512百iD.-512+5126i

4.(2026高一,全国•课后作业)设3=-：+日i,则/°=.

5.(2026高吓•四川成都・期中)•般地，任何一个复数z=a+bi(a,bWR)可以写成z=r(cos0+isin。),

其中r是复数的模，8是复数的辐侑，我们称r(cos6+isin。)为复数z=a+bi的三角形式.利用复数的三角

形式可以进行复数的乘法、乘方等运算,如：zrz2=q(cos6i+isin%)•r2(cos02+isin%)=5(cos©+

%)+isin(8]4-%))，z"=(r(cos0+isin0))n=rn(cosn0+isirm。).

(1)若复数z=(1-8i)3,求复数z的实部和虚部；

(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:sin30=3sin0-4sin30；cos30=4cos30-3cos6；

(3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为Zi，Z2，i,Z24,求复数

Z严2S,z当25,.,z碧25所对应不同点的个数.

题型9N复数综合

1.(2026高二下•上海黄浦・月考)已知z=a+bi(a,beR,i是虚数单位)，Zi，Z2eC,定义:D⑵=|a|+\b\,

D(2I，Z2)=|Z1-Z2b给出下列命题：

①对任意ZGC,都有O(z)>0；

②若5是复数z的共规复数，则。(z)=。(力恒成立；

③。(zj=D(Z2)(Z1,Z2€C),则Z]=Z2；

④对任意Z1，Z2，Z3eC,结论。(Z1*3)<O(Z1，Z2)+0屹2,23)恒成立；

则其中真命题是()

A.①②③④B.②③©C.②④D.①③

2.(2026高一下•上海松江•期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix=cosx+isinx»

其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函

数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学口的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的

是()

A.♦的虚部为i

B.复数/在复平面内对•应的点位于第二象限

c.e,x-e-lx

C.sinx=--------

2

D.若z1二战z?=e/在复:平面内分别对应点ZiZ，则△OZiZ2面积的最大值为：

3.(2026高一下.山东潍坊.期末)已知复数z=2+ai(aWR,i为虚数单位)，其共短复数为5.

⑴若复数(3+2i)D是实数，求实数a的值：

(2)若为=.，且匆:数Z]在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数a的取值范围；

(3)已知实系数一元二次方程/+m工+9=0的两根为右和%2，若|%1-％21=26，求的值.

4.(2026高一下♦浙江•期中)将复数z=a+bi(a,bER),表示成三角形式z=r(cos。+isin。)，其中r=

Va2+b2,cosG=sin。=2,r是复数z的模，8是复数z的辐角.

rr

(1)求方程式+1=0的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；

(2)已知Zi=ri(cos%+isin。】)，z2=r2(cos02+isin02)»试推导复数2逐2的三角形式;

(3)在单位圆的内接六边形ABCDEF中,\AB\=\CD\=\EF\=1,P,Q,R分别为BC,DE,F,4的中点,判

断APQR的形状并证明.

5.(2026高一下•江苏常州♦期中)对于一组复数Z"Z2,…,zn(九WN且ri之3),如果存在W{1,2,…,n}),

使得区I>|法外其中EkiZ"=Z]+Z2+•••+zn,那么称及是该复数组的“长复数”.

(1)设〃=A+(x+2k)i,k=1,2,3,若Z3是复数组z2»Z3的“长复数”,求实数》的取值范围；

(2)若次=cosy+isiny,k=,7,复数组z>z2,…,z?是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由；

(3)若为=cos(a+k。)+isin(a+攵6),k=1,2,3,是否引€[0,2TT),对于Va€R,都能满足复数组Z1,Z2»

Z3中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的仇若不存在，请说明理由.

题型1>、复数的相等

1.(2026高一下•陕西商洛•期中)若a与b均为实数，且b—3i=4+ai,则Q的值为()

A.3B.4C.-3D.-4

【答案】C

【解题思路】由复数相等的充要条件即可得出答案.

【解答过程】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得b=4,a=-3.

故选：C.

2.(2026高一下•陕西咸阳•期中)若(％-i)i=y+5i(x,y£R),则x+y=()

A.6B.5C.-6D.-5

【答案】A

【解题思路】根据复数相等得出％=5,y=l计算求值.

【解答过程】因为(x-i)i=1+xi=y+5i,所以x=5,y=l,x+y=6.

故选:A.

3.(2026高一下•全国・单元测试)已知Zi=nt?一3m+根2「为=4+(5m+6)i,其中m为实数，i为虚数

单位，若Zi-Zz=0,则m的值为()

A.4B.-1C.6D.-1或6

【答案】B

【解题思路】根据复数相等联立方程求得面的值.

2

【解答过程】由彳1—z2=。得々=z2,即m,2—3m4-m\=4+(Sm+6)i.

根据复数相等的充要条件可得也一子=3解得m=-1.

故选：B.

4.(2026高一下•上海浦东新•期末)已知(x+2y)+(4x-y)i=7+i,其中％、y€R,则x+y=.

【答案】4

【解题思路】根据复数相等可得出关于％、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.

【解答过程】因为（x+2y）+（4X-y）i=7+i,其中X、yeR,

由复数相等可得，解哪二;，因此，％+y=4.

故答案为:4.

5.（2026高一下•全国•课堂例题）求满足下列条件的实数x,y的值:

(l)(x-2y)-(3x+y)i=3-6i；

(2)(%+y—3)+(%—y—Z)i=U；

(3)x+y+4i=2y+x2i；

(4)^^+(x2-2x-3)i=0.

（4）x=3

【解题思路】（I）根据实部与虚部对应关系解方程即可

（2）令实部为。且虚部为。解方程即可；

（3）根据实部与虚部对应关系解方程即可；

（4）令实部为0且虚部为。解方程即可.

【解答过程】(1)由(％-2y)-(3%+y)i=3-6i,

(2)由(工+丫-3)+(%一、-22=0,

可得］x+y-3=0

x—y-2=0

(3)由x+y+4i=2y+x2i,

可得『:二亨=l(yx=2，

（4）由+(x2-2x-3)i=0,

x+1

z

x-x-6=0

可得x+1=x=3.

<x2-2x-3=0

题型2N已知复数的类型求参数

I.（2026高一下•重庆长寿・期末）已知Q€R,若Q—3+（a+2）i（i为虚数单位）是实数，则Q=（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【解题思路】根据实数的定义即可得出结论.

【解答过程】由题意可知复数的虚部为0,即Q+2=0=Q=—2.

故选:B.

2.（2026高一下•湖北•期末）若复数Z=Q2—4+（a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）

A.2B.2或一2C.-2D.-4

【答案】A

【解题思路】利用复数的概念可得出关于实数a的等式与不等式，即可解得实数Q的值.

【解答过程】因为复数2=次一4+9+2»。为虚数单位）为纯虚数，则卜2一:二£，解得a=2.

故选:A.

3.（2026高三下•安徽安庆•月考）复数2=小一。一2+葭。£幻为纯虚数的充分不必要条件是（）

A.0B.a=-1

C.。=一1或。=2D.。=1或。=-2

【答案】B

【解题思路】利用纯虚数的定义求出a,再利用充分不必要条件的定义判断.

【解答过程】复数2=。2一。-2+1为纯虚数，等价于小一。一2=0,即。=一1或a=2,

由选项知，只有a=-1是复数z为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合.

故选：B.

4.（2026高一下•江苏苏州・期末）设i为虚数单位,若复数z=（讥2-4）+（1-2m）i是纯虚数,则实数m的

值为.

【答案】-2

【解题思路】利用纯虚数的性质列方程组求解可得.

【解答过程】由题意可得［必:4二°八=|二二所以m=—2.

km2-2m,0（mH0或2

故答案为；-2.

5.（2026高一下•全国•课后作业）己知复数z=（血2+7n-6）+（血？-7n-2）i（7n€R）.

（1）若z是实数，求实数〃?的值：

⑵若z是虚数，求实数〃?的取值范围；

（3）若z是纯虚数，求实数〃?的值.

【答案】（l）m=2或m=-1

（2）m02且mR-1

（3）m=-3

【解题思路】（I）根据复数为实数的充要条件列式求解即可.

（2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可.

（3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可.

【解答过程】（1）若z是实数，则皿2一小一2=0,解得m=2或m=-l.

（2）若z是虚数，则77产一m—240,解得m于2且?n4-1.

⑶若z是纯虚数，则偿鹫解得吁-3・

题型3N根据复数的四则运算结果求复数特征

1.（2025・甘肃白银•三模）已知复数z满足£=—2+i,则复数z的共扼复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解题思路】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到z=-l+3i,结合共挽复数的概念，以及复数的几

何意义，即可求解.

【解答过程】由复数z满足三=-2+力则z=（l-i）（-2+i）=-l+3i,可得5=-l-3i,

1-1

故复数z的共规复数在复平面内对应的点（-1,-3）位于第三象限.

故选:C.

2025

2.（2026高二下•贵州遵义・月考）已知复数Zi=-1-2i,z2=3+4i（i为虚数单位）,则z/2的虚部

为（）

A.5B.-5C.10D.-10

【答案】D

【解题思路】利用复数的乘法法则可计算出复数Z1Z2,进而可得出复数的虚部;

2025

【解答过程】因为i4=1,Z2=344i=3I4i

z1Z2=(-1-2i)(3+4i)=-3-4i-6i-8i2=5-lOi

所以Z]Z2的虚部为-10

故选：D.

3.(2025・云南曲靖•一模)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数2=-Q+2i

(其中QWR)为“等部复数”，则复数5—2ai在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解题思路】根据题意求得Q=—2,得到5=2+2i,化简2-2ai=2+6i,结合复数的几何意义，即可求

解.

【解答过程】因为复数z=-a+2i(其中aER)为“等部复数，可得。=一2,

即z=2+2i,可得5=2—2i,

则2-2ai=2—2i+4i=2+2i在复平面内对应的点为Z(2,2)位于第一象限.

故透:A.

4.(2026高一下•北京朝阳・月考)已知复数z满足(l—i)2z=2-4i,其中i为虚数单位，则复数z的共扼复

数2的虚部为.

【答案】-1

【解题思路】由复数的乘法、除法运算求得z,再结合共挽复数的概念即可求解.

【解答过程】由(l-i)2z=2-4i,

得7_2-4._2-4i_2i-4i2_

得Z-(1)2--2i-_2i2-2+I,

故5=2-i,

则复数5的虚部为-1,

故答案为：—1.

5.(2026高一下•云南昆明•期中)已知复数Zi=小+2ai(aER),复数z?在复平面内对应的向量为瓦？=

(-1,2).

(1)若2/2为纯虚数，求a的值：

(2)若z1i-Z2在更平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围.

【答案】(1)-4

⑵(一■)

【解题思路】(1)根据条件，利用复数的几何意义得Z2=—l+2i,再利用复数的运算，得到广，一。°二?

(2Q/一2QH0

即可求解；

(2)利用复数的运算，结合条件有即可求解.

【解答过程】(1)因为复数Z2在复平面内对应的向量为耐=(一1,2),则Z2=—l+2i,

又Zi=Q?+2ai,则2逐2=(a2+2ai)(—14-2i)=—a2—4a+(2a2—2a)\,

由题有KU”?，解得a=-4,所以a的值为-4.

(2a/-2a0

22

(2)因为Zii-z2=(a+2ai)i-(-1+2i)=1—2a+(a-2)i,

由题有｛%_22<Q，解得一&<a<

所以Q的取值范围为(一企3).

题型4N复数范围内方程的根的问题

1.(2026高一下•福建厦门•期末)已知z=1-2i是关于％的方程%2+px+q=o(p,q。R)一个根，则p+q=

()

A.-2B.3C.6D.7

【答案】B

【解题思路】将z=l—2i代入方程，即可得到关于p,q的方程组，解出即可.

【解答过程】将z=1-2i代入方程得(1-2i)2+p(l-2i)+q=0,

BPp+Q-3-(2p+4)i=0,WJ(P2p="0°,解得｛p"二,故P+9=3,

故选：B.

2.(2026高一下•山西•期中)已知复数Zi=l-2i是关于x的方程/+px+q=o(p”R)的一个根,

则=p+qi在更平面内对■应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解题思路】根据复数的乘法、加法运算化简系数，结合系数相等列方程组得p,q的值，确定及数Z2,由复数

的几何意义确定象限即可.

【解答过程】由题知(l-2i)2+p(l-2i)+q=0,

整理得(p+q-3)-(2p+4)i=0,即F缪L解得器密

所以Zz=p+qi=-2+5i在复平面内的对应点为(一2,5),位于第二象限.

故选:B.

3.(2026高一下•浙江台州•期末)已知虚数为，Z2是方程/+工-2=0的两个不同的根，则下列说法正确

的是()

A.Zi=lB.||=V2C.zl+z2=0D.Zi+z2=1

【答案】B

【解题思路】先因式分解得/+工一2=(%-1)(工2+%+2)=0,即Zi*2为/+工+2=0的两个根，从而

依次判断选项.

【解答过程】根据题意，X3+X-2=(X-1)(X2+X+2)=0,

令为2+%+2=0,其中A=1—8=—7<0,

由于Z],Z2为虚数，故Z1，Z2为/+%+2=0的两个根，且为二

才住M，-1+V7i-1-V7i

不妨设Z1=--—fZ2=——，

则|Zi|=J^=dLZ1+Z2=-1,

则皆+Z2=(^1)2++=-2-V7i,

故只有B正确.

故选:B.

4.(2026高一下•陕西・期中)已知复数一3+是关于％的方程/+ax+b=0(a,bER)的一个复数根.

(1)求a,b的值;

(2)若-3mi(mGR)为纯虚数，求m的值.

l-l3

【答案】(l)a=6,b=12

(2)m=-3

【解题思路】(1)将-3+百】代入方程化同，然后根据发数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案；

⑵根据复数的除法化简得出乎+-3mi=；后_3+(9-3m)i.进而根据纯虚数的概念列出方程组,

1—133

求解即可得出答案.

【解答过程】(1)因为(-3+x/3i)2=9-6>/3i+3i2=6-6V3i,

所以有(-3+V3i)+a(-3+V3i)+b=—3a+b+6+(a-6)V3i=0.

所以有『3”江=。,解得

（2）由（1）得Q=6,b=12,

则理=答=等普3+9i,

i-ii-i（i-i）（i+i）

所以，^7+-37Tli=—3+9i+1TH2—37Tli=m2—3+（9-3m）i.

因为等!+；/—3加为纯虚数，

1—13

所以有［加-3=0,

.9—3mH0

解得m=-3.

5.（2026高一下•上海宝山・期末）已知关于T的实系数一元二次方程/+bx+c=0.

（1）若1+i（i是虚数单位）是此方程的一个根.求从c的值；

（2）若%1，必是此方程的两个虚根,且满足优11=V5,ki-x2\=2V2,求从c的值.

【答案】（l）b=-2,c=2；

（2）b=±2,c=3.

【解题思路】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案.

（2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解.

【解答过程】（1）由1+i是/+加r+c=0的一个根，得（1+ip+匕（1+i）+c=0,

整理得b十c十（匕十2）i=0,而ACER,贝吧普二；，

所以b=-2,c=2.

（2）依题意，设=m+初％2=机一九i（m，neR），

由kil=VS,得+泞=遍,即62+九2=3,

又比-xz\=|2ni|=2\n\=2企，所以同=V2,则？i=±V2,

代入根2+九2=3,得加2=3—2=l,m=±1,

22

根据韦达定理，-b=4+小=2m,c=xrx2=?n+n=3,

当KI=1时，b=-2；当m=-1时，b=2,都满足82—4cV0,

所以b=±2,c=3.

题型5N根据复数对应坐标的特点求参数

1.（2025•甘肃•一模）若复数一1+（1-小》在复平面内对应的点位于第二象限，则实数Q的取值范围是（）

A.a>-1B.a<-1或a>1

C.-1<a<1D.a<1

【答案】C

【解题思路】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可.

【解答过程】复数一1+（1—a?》在复平面内对应的点为（—1」一小），若其在第二象限，

则1—Q2>O,解得一1VQV1.

故选：C.

2.（2026高一下•辽宁葫芦岛•期末）已知复数z=2+（a-l）i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在

第四象限，则实数a的取值范围是（）

A.a>1B.a>1C.a<1D.a<1

【答案】D

【解题思路】根据题意可得a-1<0,即可得出.

【解答过程】因为z=2十（a—l）i在复平面内对应的点在第四象限，所以。一1<0,解得a<l.

故选:D.

3.（2026高一下•河北雄安•期末）已知i为虚数单位，若复数z=ni?-3m-4+（2m-l）i（m6R）在复平

面内对应的点位于第二象限，则实数，〃的取值范围为（）

A.（-1,4）B.（1,4）

C.（-co,-l）U（4,+co）D.（-8,）U（4,+8）

【答案】B

【解题思路】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0,虚部大于0,列出不等式组，求出解集即

可.

【解答过程】易得z=m2-3m-4+（2m-l）i在复平面内对应的点为（zn?一3m-4,2m-1）,

由题意可得［血?］，九一］：。，，解得;vmv4.

故选：B.

4.（2026高一下.青海西宁・期中）若复数2=（血2+加一6）+加（其中1为虚数单位），当z对应的点在第

三象限时，则实数m的取值范围为.

【答案】（一3,0）

【解题思路】根据z对应的点在第三象限，则实部虚部均小于0列不等式即可求解.

【解答过程】由题意得了+片1；<°，解得-3<…

则实数m的取值范围为（-3,0）

故答案为：（—3,0）.

5.(2026高一下•海南•月考)已知复数z=TH?-3m-4+(m?+4m+3)i(mER).

（1）若z是实数，求m的值;

（2）若z是纯虚数，求m的值;

（3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.

【答案】⑴加二-1或m=-3

(2)?n=4

(3)(-3,-1)

【解题思路】（1）根据实数的概念列方程求解血的值;

（2）根据纯虚数的概念列式求m的值:

<3）复数的几何意义及第四象限点的坐标的特征列不等式组求解.

【解答过程】(1)若z=m2-3m-4+(机2+4m+3)i(mWR)是实数,

则仇2+4m+3=0,解得m=一1,或m=-3.

(2)若复数z=m2-3m-4+(m2+4m+3)i(meR)是纯虚数,

亡;MU，解得…■

则

m2—3m-4>0

（3）若z在复平面内对应的点（nr?一3机一Em?+4m+3）位于第四象限，则

十4/zt+3<0'

不等式m?_3m-4>0,即(m-4)(zn4-1)>0,解得m>4或7九<—1；

不等式m?+4m+3V0,BP(zn+3)(m+1)V0,解得一3V7nV—1,

所以，—3V/nV—l,即m的取值范围是（一3,-1）.

题型6

1.（2026高一下.甘肃白银.期末）已知兔数z满足|z+3-4”=1,则怙|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解题思路】由更数的几何意义求解即可.

【解答过程】由怙+3—41=1,得怙一（一3+4i）|=1,

所以复数z在复平面内对应的点到点（-3,4）的距离恒等于1,

所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以点（-3,4）为圆心，以1为半径的圆,

所以|z|的最小值为圆心(-3,4)到原点的距离减去半径,

即〃-3)2+42-1=4.

故选:B.

2.(2025•黑龙江大庆•模拟预测)设zeC,在复平面内对应的点为Z,则满足1<|z-l|<2的点Z的集合

形成的图形的面积为()

A.nB.2nC.3nD.4n

【答案】C

【解题思路】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可.

【解答过程】|z-1|表示复平面内点Z到(1,0)的距离，又1工怙一1|42,所以点Z的集合形成的图形为圆环,

面积为nx22-11=3K,

3.(2025・辽宁・模拟预测)已知复数z1,Z2分别满足口|=1,吃+3+4"=2,则I与-Zzl的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解题思路】先通过模长公式求出具数Z2在复平面内对应点的轨迹是以3(-4,3)为圆心，2为半径的圆，再利

用口-zzl的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果.

［解答过程］设z?=x+yi(x,yGR),则liz?+3+4i|=|3—y+(%+4)i|=7(3-y)2+(x+4)2=2,

如图，复数22在复平面内对应点的轨迹是以B(-4,3)为圆心，2为半径的圆，

复数Zi在复平面内对应点的轨迹是以原点0为圆心，I为半径的圆，

故选：D.

4.（2026高一下•浙江杭州•期中）复数zi，Z2满足区一1|=|石+i|,=则Z-Zzl的最小值

为.

【答案】V2-1

【解题思路】设Zi=x+yi,x,yER,利用复数模的意义求出为在复平面内对应点的考L迹，再结合复数z2的几

何意义及圆的性质求出最小值.

【解答过程】设Zi=x+yi,x,y6R,则Z]=x-yi,由%-1|=瓦+i|,得（戈一1程+y?='+（]一、）2,

整理得x-y=0,即在复平面内zi对应点的轨迹为直线1:x-y=0,

由昆-2|=1,得在复平面内Z2对应点的轨迹是以点。（2,0）为圆心，r=1为半径的圆，

过点C作C41Z于点4线段AC交圆C于B,则AOAC为等腰直角三角形，|4C|=&,

而口-Z2I表示在复平面内复数4Z2对应点的距离，

所以区-切的最小值为团6|=\AC\-r=V2-1.

故答案为：V2-1.

5.（2026高一上•上海•课后作业）已知复数ZI=V5—i与Z2=-]+

⑴求㈤及口|的值；

（2）设zeC,满足IZ2I<\z\<口|的点Z的集合是什么图形？

【答案】⑴忆|=2,\z2\=l

⑵是以原点。为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界

【解题思路】（I）利用求复数模的公式求解即可；

（2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断.

【解答过程】⑴|zj=|V3-i|=J（V3）2+（-1）2=2,㈤=I-，争I=J—：）+㈢=1；

（2）由（1）^131<\z\<2,设z=%+yi（x、yeR）.

因为不等式|z|>1的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合，

不等式怙|<2的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合，

所以满足条件1<\z\<2的点Z的集合是以原点。为圆心，以I和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆

环的边界，如图所示.

题型7复数加、减法的几何意义的应用

I.（2025•贵州六盘水•一模）在复平面内，。为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A,B,

C三点对应的复数分别为Z/,Z2，Z3，若Z1=1,Z3=-2+i,则Z2=（）

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】C

【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.

【解答过程】因为。为原点，四边形Q4BC是复平面内的平行四边形，

又因为Zi=1,z3=-24-i,

所以由复数加法的几何意义可得，

Z2=Zi+z3=l-2+i=­1+i.

故选：C.

2.（2026高一下•江苏常州•期末）已知Zi，Z2£C,口|=%|=1,|zj+z2\=>/3,则氏―22|=（

A.0B.1C.V2D.V3

【答案】B

【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解.

【解答过程】在复平面中，设4,Z2分别与向量两，两对应，

由题意可得|西|=|西|=1,|西+西|=遮，

因为|西+西广+\OZ1-两广=2（|西（+|西|）

2

即3+|西一西|=2（1+1）=4,解得|西一百|=1,&|J|Z1-z2|=1.

故选:B.

3.（2026高一•全国•课后作业）复平面上有A、B、C三点，点力对应的复数为2+i,瓦?对应的复数为1+2i,

近对应的复数为3-i,则点C的坐标为.

【答案】(4,-2)

【解题思路】根据前=近一瓦5即说=6?+近，求得点c对应的复数，进而即得.

【解答过程】因为瓦5对应的复数是l+2i,正对应的复数为3-i,又配=玩一瓦?，

所以冠对应的复数为(3+2i)=2-31,又况=OA+AC,

所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3D=4—2i,

所以点C的坐标为(4,一2).

故答案为：(4,-2).

4.(2026高一下•四川成都・期中)如图所示，平行四边形O4BC,顶点。，力，。分别表示0,4+3i,-3+5i,试

求：

(I)对角线石?所表示的复数；

(2)求3点对应的复数.

【答案】(1)7-2i

(2)1+8i.

【解题思路】(1)先由向量运算得乙？=雨-0乙再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接

转成复数减法运算即可得解.

(2)先由向量运算得而=而+而，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量