湖北省“荆荆襄恩”2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

数学试卷一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1.已知集合A={-1,0,2,m²},B={x∈Z|x²≤3},A.1B.-1C.±12.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a,b不共线，满足|a+5|=|a-5|,则a+b在a方向上的投影向量为()A.aB.bC.2aA.B.5+2√6C.2√65.已知随机变量X～N(1,o²),随机变量Y～N(2,o²),若P(X<3)=0.9,则P(Y<0)=()6.若函数f(x)=log₂(2-ax)(a>0且a≠1)在区间(1,3)内单调递增，则α的取值范围是()7.已知有相同焦点F₁,F₂的椭圆(与双曲线C₂:(m>0,n>0)象限的交点为A,若△AF₂(O为坐标原点)是等边三角形，则的值为()这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。皇冠图形(图1)是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面四边形组成。在该平面四边形ABCD(图2)中，测得AD=1,AB=CD=2,BC=3,9.下列说法正确的是()B数据8,11,13,14,17,20,21,25的75%分位数为20.5B11.设函数f(x)=e*(2x-1)-ax+a,若存在唯一的整数x₀,使得f(x₀)<0,则实数a的取值可以为()三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)嘈杂)的影响.16.(15分)已知数列{a。}的前n项和为S₀,(1)求a₁、a₂、a₃的值；(2)求数列{a}的通项；(3)设数列的前n项和为T,证明：17.(15分)如图(1),在四边形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD=2AD=2BC=2,E为AB中点，AB,AC,如图(2).(1)证明：图(2)中的A,B,C,D四点共面；(2)求图(2)中平面BCE与平面ACE夹角的余弦值.18.(17分)已知抛物线C:x²=2py(p>0),Q为C上一点.【分析】先求得集合B,再根据交集定义列式计算即可.【详解】集合B={-1,0,1},因此m²=1,m=±1.【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限.【详解】则共轭复数为-2+i,对应的点(-2,1),在第二象限.【分析】令AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,根据向量加减法的几何意义，结合投影向量的概念，即可求出结果.【详解】令AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,所以平行四边形ABCD为矩形， 则a+b在a方向上的投影向量，即为AC在AB方向上的投影向量a.故选：A.【详解】若x>0,y>0,且x+y=2xy,则得时取等号，故A正确.当且仅当时取等号，故A正确.试卷第1页(共13页)【分析】正态分布N(μ,σ²)的正态曲线关于直线x=μ对称，σ相同说明两条正态曲线形状完全相同，仅对称轴位置不同，利用对称性和已知概率求解即可【详解】根据概率的基本性质可知，P(X<3)+P(X≥3)=1,即P(X≥3)=1-P(X<因为随机变量X～N(1,σ²),所以正态分布曲线关于直线x=1对称，因为随机变量Y～N(2,σ²),所以正态分布曲线关于直线x=2对称，0与4到对称轴的距离相等，所以又因为σ相同，随机变量X与Y对应的正态分布曲线形状完全相同，且3与4分别到各自对称轴的距离相等，所以P(X≥3)=P(Y≥4)=0.1,结合P(Y<0)=P(Y≥4),得P(Y<0)=0.1【分析】令y=log₂u,u=2-ax,利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列出不等式，解出a的取值范围.【详解】令y=logu,u=2-ax,∵a>0,∴u=2-αx在(1,3)上单调递减，【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中a,b,c关系及公交点求解即可.【详解】△AOF₂(O为坐标原点)是等边三角形，∠AOF₂=60°且OF₂=OA=OF,则2a=AF+AF₂=(√3+1)c,2m=AF₁-AE₂=所以b²=n²,即得b=n,试卷第2页(共13页)则AC²=1+4-2×1×2cos∠ADC=5-4cos则6cos(∠ADC-∠ABC)=3,所!试卷第4页(共13页)【详解】若随机变量X,Y满足Y=2X+1,则D(Y)=4D(X),A正确；因为数据总个数为8,则8×75%=6,75%分位数为·,B正确；经验回归方程中，样本相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；由x²≈9.852>7.879=xooos,可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%,D正确.【分析】利用等体积法求出体积及点到平面的距离判断AB;将侧面ACC₁A₁和侧面BB₁C₁C沿CC₁展开到一个平面内，求出AB₁长判断C;求出点Q的轨迹长度判断D.【详解】正三棱柱ABC-AB₁C₁的所有棱长均为4,对于A,点A到平面BCC₁B₁的距离即为正△ABC边BC上的高2设点B到平面APB₁的距离为d,则由选项A得三棱锥B-APB₁的体积对于C,将正三棱柱的侧面ACC₁A₁和侧面BB₁C₁C沿CC₁展开到一个平面内，对于D,取AC的中点D,连接BD,由三棱柱ABC-AB₁C₁是正三棱柱，得BD工侧面ACC₁A,BD=2√3,连接DQ,由BQ=4,得DQ=√4²-(2√3)²=2,因此点Q的轨迹是以D为圆心，2为半径的半圆弧，点Q的轨迹的长度为2π,D正确.试卷第5页(共13页)【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.【分析】采用构造函数法，设g(x)=e(2x-1),h(x)=ax-a,则原问题转化为存在唯一的整数x,使得8(x₀)<h(x₀),对g(x)求导可判断函数在.处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解.【详解】设g(x)=e*(2x-1),h(x)=ax-a,由题设可知存在唯一的整数x,使得g(x₀)<h(x。),,且8(0)=-1<0,g(1)=e>0,【分析】由二项定理展开式的通项，即可确定x⁻²的系数.【详解】在的二项展开式中，由展开式通项可试卷第6页(共13页)解得r=3,所以系数故答案为：-80.【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.【分析】根据函数f(x)为奇函数得出φ=0或π,然后对φ=0或φ=π进行分类讨论，分析可知w∈N,由可得,根据正弦型函数的单调性可得出关于ω的不等式，即可解得ω的值.【详解】因为函数f(x)=sin(wx+4)(w∈N,0≤φ<2π)是奇函数，则φ=kπ(k∈Z),因为0≤φ<2π,所以φ=0或π.(1)若φ=0,则f(x)=sin故函数y=sinu在上不可能单调递减，不符合题意；(2)若φ=π,则f(x)=sin(wx+π)=-sinwx,因为函数y=-sinu在上单调递减，且函数f(x)在上单调递减，综上所述，w=1.【分析】,可得点Q在圆R上，化简得到,利用导数求得函数的单调性和最小值，进而得到答案.【详解】如图所示，设线段AB的中点为M,根据圆的对称性，可得点M在圆x²+(y-9)²=1上，可得其圆心R(0,6),半径为,可得f'(y)=y³+2y-12,令g(y)=f'(y)=y³+2y-12,可得g'(y)=3y²+2>0,所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0.3×0.9+0.7×0(2)设方案一和方案二测试次数分别为X,Y,试卷第7页(共13页)试卷第8页(共13页)方案一：测试4次，则E(X)=4;方案二：Y可取3,5,P(Y=3)=0.8×0.8×0.8=P(Y=5)=1-0.8×0.8×0.8=随机变量Y的分布列如下表所示：Y35P所以E(Y)=3×0.512+5×0.488=3.976.所以E(X)>E(Y),即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二.所所以数列的前n项和又因为T单调递减，所以当n=1时，【分析】(1)利用公式求解；(2)利用公式分n为奇数和偶数求解；(3)利用裂项相消法求解.试卷第9页(共13页)所以当n为奇数时，an=-n-1;所以数列17.(1)翻折前，AB=2CD=2AD=2BC=2,因为E为AB的中点，可得AE=EB=BC=CD=DA=1,又AB平行于CD,故AE平行于CD,则四边形AECD为平行四边形，可得CE=AD=1,同理可得DE=BC=1.翻折后，取DE,CE中点分别为M,N,连接MN,AM,BN,如下图所示.在△CDE中，由中位线可得MN平行于CD,在等腰△ADE和等腰△BCE中，又因为平面ADE⊥平面DEC,平面ADEo平面DEC=DE,所以AM⊥平面DEC,同理BN⊥平面DEC,所以AM平行于BN.所以四边形ABNM为平行四边形，所以AB平行于MN,MN平行于CD,所以AB平行于CD所以翻折后A,B,C,D四点共面.②【分析】(1)构造平面ABMN,通过证明AB平行于MN,MN平行于CD,得到AB平行于CD,所以(2)建立空间直角坐标系，分别求得平面ACE与平面BCE的试卷第10页(共13页)与平面ACE夹角的余弦值.【详解】(1)略设平面ACE的法向量n=(x,y,z),由取其中一组解可得n=(-2,0,1).又因为平面BCE法向量为设平面ACE与平面BCE所成的锐二面角为θ,所以平面BCE与平面ACE夹角的余弦值为【分析】(1)利用抛物线的定义可知,再结合抛物线方程可得,于是求出P,代入Q点坐标，可求得m;(2)(i)利用OP⊥1可得t=2k,联立直线与抛物线方程，得到x₁+x₂=2pk,x₁X₂=-4p,又由直线PM,PN的斜率之和为2k,可得代入韦达定理得到的结果并化简可得(p-2)k(k²+2)=0,于是p=2,抛物线C的方程为x²=4y;(ii)利用导数的几何意义得到Q的横坐标x₀试卷第11页(共13页)满足x₀=2k,于是结合(i)可知PQ与V轴平行，进而得到三角形面积【详解】(1)如下图，由抛物线的性质可知，当y=4时，m²=4,解得m=±2.所以P(2k,-2),直线y=kx+2与抛物线x²=2py联立可得x²-2pkx-4p=0,由韦达定理x₁+x₂=2pk,