高中数学：平面向量的数量积（原卷版）

平面向量的数量积

考点一：两向量的夹角与垂直

定义：已知两个非零向曷m仇如图），。是平面上的任意一点，作片="，OB=b,则

叫做向量”与〃的夹角.

1,向量“与人的夹角的范围是但工y

2.当。=0时，。与b同向:当。=兀时，。与b反向:J

3.如果“与。的夹角是7c，我们说a与b垂直,记作丝_

20aA

4.两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是［0两，而两直线夹角的范围为［03。

考点二：向量的数量积

1.向量数最积的物理背景

在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移"那么力声所做的功

W=|F||5|COS6>,其中。是F与之的夹角.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量（数量）.这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算

明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.

2.定义：已知两个非零向量。与力,它们的夹角为仇我们把数量皿山Icos夕叫做向量a与b的数量积（或内

积1,记作^即。力=|。|山Icos3,可变形为cos<9=皿_.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

3.注意

（I）两向量的数量枳是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（2）「工中间的在向量运算中不能省略掉，也不能换成“X”；

（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是［0°,180。

考点三：投影向量

如图，设m〃是两个非零向量，AB=a,CD=h,我们考虑如下的变换：过病的起点力和终点8,

分别作比所在直线的垂线，垂足分别为4,5,得至1］才自，我们称上述变换为向量a向向量力投影，丽

叫做向量a在向量b上的投影向量.

C4,片DC4D

探究：如图，设与B方向相同的单位向量为工，[与B的夹角为。，

____"

那么西与e之间有怎样的关系？

【答案】对于任意的。£[0,乃],都有西=|)|cos。"o"5tC

【注意】

(I)向量〃在方方向上的投影向量为101cos9e(其中e为与力同向的单位向量)，它是一个向量，且与力

共线，其方向由向量〃和力夹角。的余弦决定；

(2)注意：〃在方方向上的投影向量与力在〃方向上的投影向量不同，即向量力在。上的投影向量可表

示为网cos夕".

\a\

考点四：向量数量积的性质及运算律

1.向量数量积的性质

设”，分是非零向量，它们的夹角是仇e是与方方向相同的单位向量，则

(l)a,e=ea=\a\cos0.

(2)aLb0ab=0.

(3)当“与。同向时，ab=\a\b\x当“与〃反向时，a-b=-\a^b\.特别地，““=|a2或同=aa.

此外，由|cosO|Wl还可以得到.

(4)|0力|玉|0|网.

2.向量数量积的运算律

对向量防儿。和实数人有

(1)〃力=上幺(交换律)；

(2)(痴)力=她©=纥31(结合律);

(3)(。+力)c=ac+bc(分配律).

考点五：向量数量积的常用结论

1.0±犷=口±司2=同2±2〉力+即=蓝土2>]+尸；

2.22-r=(a+6).(«-?)=|a|2-|S|2；

3.G+%y+G—犷=2洞2+印);

4.+力2=0<=^4=。=0；

5.|同一|矶wR+Z|wR|+同,当且仅当之与为同向共线时右边等号成立,二与力反向共线时左边等

号成立.

以上结论可作为公式使用.

题型一】向量夹角的判断

L已知A48C是等边三角形，则向量前，比的夹角的大小是

2.在△44C中，ZC=90°,BC=，AB,则施与灰?的夹角是()

2

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.已知|“|=向=2,且。与〃的夹角为60。，则。+〃与〃的夹角是多少？〃一〃与〃的夹角又是多少？

题型二：向量数量积的计算

1.已知同=3,\b\=23,。与力的夹角是120。，则。力等于()

A.3B.-3

C.-33D.33

2.(1)已知向量。与b的夹角为120。,且同=4,网=2,求：①ab；②(a+b),(a-2b).

(2)如图，正三角形力8c的边长为2,~AB=c,~BC=a,~CA=b,求+/rc+e&

3.已知正△力8c的边长为1,求：

⑴苏衣(2)苏病；(i)BCAC.

4.在等腰中，AB=BC=4,则恭抚=,BCCA=,CAAB=

5.已知向量同=3,忖=2,£与5的夹角为:求

⑴五小

(2)求|£+小

(3)求R+町(IB).

6.已知£,人)均为单位向量，且£+25=3-则()

11,

A.—B.-C.1

33

7.已知|£|=1,,|=2,向量的夹角为则7(Z+B)=()

A.^3—1B.1C.2D・y/3+1

8.q与与是相互垂直的单位向量，a+b+c=e]-e2>同咽升I,则a•书+=c+c・a=

9.设尸为ABC所在平面内一点，满足万灰=而％=0，则而刀=.

【本题技巧】两向量数量积为0,则向量垂直，可以判断P点为垂心，则最终答案为0

10,在三角形48。中，AC=3,44=4,ZCJ5=120°,则(N5+刀)•布=()

A.10B.12C.-10D.-12

11.已知4=1,%=&,(“)=与，则。•(a+B)=.

12.如图，己知近，OB，灰的模均为4,且/力。8=4?。。=60。，则%.荔=(

A.24B.-24C.8D.-8

13.若正方形4的边长为2夜，则乙5•茄=()

A.8B.-8C.4D.-4

题型三：平面向量模的相关计算

1•已知〃=1,卜=2,”，B的夹角为5，则,一2月卜()

A.1B.V2C.2D.4

2.已知向量入5的夹角为与，同=1,刊=2,则忸+3可=.

3.已知〃=g，网=：，若卜+元=,一石，则,4+3^=()

A.V2B.25/2C.472D.4

4.若平面向量a],c两两夹角相等，且|a|=l,|g|=l,|c|=3，M\a+b+c\=()

A.2B.5C.2或5D.0或逐

5.设向量G，石满足W=W=1及帆-2.=6.

(I)求G,坂夹角的大小：

(2)求忸+24的值.

6.已知向量忖=1,%=2,|°|=石，且a+1+c=6，则cos〈c—=(

A.叵R取3x/34D.皿

C

34173434

5-r

7.已知向量£,书满足卜|=3,|*8,-a-b=7,则a.B=()

3

A.-24B.-12C12D.24

题型四：平面向量的夹角问题

1.已知向量不,万满足,|=2同=2,,石=1,则向量的夹角为()

A.30。B.45°C.60°D.90°

2.若,,彳是夹角为60。的两个单位向最，旦［=底+［与右=-*+2］的夹角为（）

A.60°B.120°C.30°D.150°

3.已知单位向量q,电的夹角为60。，向量1=-2°1+34，5=2〃%-2c2，机eZ,向量2,5的夹角的

余弦值为一四，则〃?=（）

7

A.IB.-4C.2D.-5

4.已知向量同=2,|*1,卜-2可=2瓦则向量）与坂的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.已知向量£,书满足卜=1,W=g且卜弓，则£与书的夹角为（）

7T7T7171

A.-B.-C.-D.-

6432

6.已知平面向量£,石满足忖=3,忖=1,卜+2可=4,则£—35,石夹角的余弦值为（）

A.一迈B.巫C.一&D.逅

41266

7.若非零向量£［满足|）|=2仍|=|£+3“，则£出夹角的余弦值为______.

8.已知向量G、5的夹角为（且同=1,3=（3,0）.

⑴求归+可的值;

⑵求2与6+5的夹角的余弦.

9.单位向量心5满足（"2孙日-h=-|.

（I）求工与B夹角的余弦值：

（2）若筋+B与£+35的夹角为锐角，求实数上的取值范围.

题型五：平面向量的垂百问题

1.已知向量G,B满足2a=3,R+—则|同=()

A.IB.2C.3D.4

2.已知两个单位向量［的夹角为60。，且满足1_1住1-1),则实数4的值是()

,F\

A.1B.V2C.—D.2

3

3.已知单位向量满足万则G，B)=()

2n一兀八兀八兀

A.—B.—C.-D.—■

3346

4.设e2为两个单位向量，旦("2)=g，若《+&2与3，+杷垂直，则a=.

5.已知非零向量£,B满足同=2后向，且£“3£+可，则£与否的夹角为

6.已知口卜啦，W=8,不与B的夹角为45。，要使4-3与］垂直，则丸的值为()

A.41B.242C.—D.1

2

7.设1为两个单位向量，且(q,e2)=T，若q+也与%］+4g垂直，则4=.

8.设向量瓦石满足万•5=3」,|=3,|J|=2.

(I)求向量13的夹角：

(2)若倒一到_L,+篇)，求实数4的值

9.已知向量不是单位向量，»且满足近作一方)，则B+B卜

10.5,I的夹角为120。，m1=1,仍|=3.

⑴求|51-8|;

(2)若G+如;与布-方互相垂直，求2.

题型六：投影向量

1.已知同=5,1=4,〃与力的夹角夕=120。，与b同向的单位向量为e.

⑴求ab：

（2）求〃在〃上的投影向量.

【注意】任意的非零向量“在另一非零向量方上的投影向量等于⑷cos阳夕为向量明力的夹角，e为马b

同句的单位向量）.

2.己知向量〃，力满足向=2,〃与〃的夹角为60。，则〃在。上的投影向量的模是.

3.」知同=6,0为单位向量，当向量G,。的夹角等于120”时，向量力在向量0上的投影向量为（）

A.3B.-3C.-3eD.30

4.已知同=2,且〃与方的夹角为60。，与力同向的单位向量为e,则向量〃在向量方上的投影向量为

5.已知同=6,问=3,而工=一12，则向量而在向量；;方向上的投影向量的长度为（）

A.2B.4C.6D.8

6.已知卜|=1,|司=3,H=-3，则向量£在向量B上的投影向量为-

7.已知忖=5,忖=4,若［与5的夹角0=120°.

⑴求U；

（2）求）在书上的投影向量.

8.在等边△48C中，丽=2而+3而，则向量而在向量近上的投影向量为（）

A.萍B.逆C.一遂D.旧近

9.已知Rt"8c的面积为6,斜边相长为6,设1为己5在法上的投影向量，a-CB=.

10.已知单位向量"，B满足口++网£-可，则£在5方向•上的投影向量为（）

।-1___

A.—bB.—bC.bD.—b

22

11.已知非零向量B满足仅+®M【可,且向量B在向量G方向的投影向量是-三,则向量£与否的

夹角是（）

12.已知向量方在向量书上的投影向量为:＞且同=W=1,则方（YR）的值为（）

A.73B.1C.-D.—

42

题型七：向量数量积的最值问题

1.若问明=1且£与B夹角为120。，那么实数工=时，|£+口|的值最小.

2.已知菱形力BCD的边长为1,乙48。=60。，点E是48边上的动点，则万g.就的最大值为（）.

A.1B.—C.vD.-

222

3.在中，BC=2,ZBAC=\点。满足2万+而+正=0，则而•方的最大值为（）

4.八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1）,其轮廓分别为正八边形

48COEFG”和圆。（图2）,其中正八边形的中心是点O,鱼眼（黑白两点）RQ是圆O半径的中点，且

关于点。对称，若。4=8&，圆。的半径为6,当太极图转动（即圆面。及其内部点绕点O转动）时，PAQC

的最小值为（）

5.已知在△力8C中，/8=3,AC=2,/8，C=60。，P为线段,4C上任意一点，则万•斤的取值范围

是.

6.线段48是圆O的一条直径，且|相|=8,。,。是圆。上的任意两点，|。|=4,动点尸在线段上，则

万•方的取值范围.

7.设G,B是两个不共线的非零向量，feR.

⑴若G与5起点相同，求/为何值时，向量在，31+：力的终点在一条直线上；

(2)若同=2忖=2,且方与5夹角为60。，求Z为何值时，忖-阳的值最小.

8.设5是两个不共线的非零句量，/eR.

⑴记S==",£?=D+小，那么当实数/为何值时，力㈤。三点共线:

2

⑵若|3=臼=1且：与了夹角为60。，那么实数x为何值时，|£工|的值最小?

题型八：向量数量积几何应用

1.在三角形ABC中，AC=3,AB=4,Z,CAB=120°,则(荏+元)•而=()

A.10B.12C.-10D.-12

2.如图，圆E为的外接圆，48=4,AC=6,。为边8C的中点，则而.万=()

A.26B.13C.10D.5

【解题技巧】处理这类问题的基本策略，就是将要求数量积的向量用已知夹角或模的向量

表示，然后结合运算律进行计算。

3.如图，的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则粉.比=()

22

4.已知长方形川?CZ)的边力8=3,4。=2,E为8c的中点，则万.丽=()

A.-7B.7C.-11D.11

5.如图，在△48C中，4C=I2O。，AB=2.AC=\,。是边BC上一点，DC=2BD,则而•就二()

6.已知在“8C中，AB=2,AC=3f/"C=(,点。为边8c上靠近8的三等分点，则而.瓦的值为

()

7.正三角形“8c中，AB=2,户为8C上的靠近4的四等分点，。为4c的中点，则".丽=()

8.线段4?的长度为6,C,Q为其三等分点(C靠近4。靠近8),若P为线段4?外一点，且满足无•丽=0,

则西•丽=()

A.36B.-36C.-8D.8

1.已知向量，与B的夹角为120。，且|G|=4,|5|=2,求:

(I)ab

(2)(a+b)(a-2b).

2.己知p|=6,忖=4,£与3的夹角为60。，计算下列各式：

（I）（海（2；

（2）（2a-I）（a+31）.

3.已知向量万与B的夹角为60。，其中同=3,|可=2,则＞5=（）

A.6B.5C.3D.2

4.已知向量£与B的夹角为口=2,同=1,则向量3在B上的投影向量为（）

一17-1-

A.bB.—bC.aD.-t?

5.若海均为非零向量，则［Z=是£与石共线的（〉

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

6.在中，下列命题正确的个数是（）

①万-k=肥；②而+及+5=6；③若（布+衣）•（而-就）=0,则A8C为等腰三角形;

④就•而＞0，则力8。为锐角三角形.

A.1B.2C.3D.4

7.已知非零向量入B满足|4=2卜|,且则7与否的夹角为（）

7T_7127r5兀

B.一uTD.—

A，y26

8.己知a.B=T，（;=2,£,B的夹角为9，则£-2母=（）

A.1B.OC.2D.4

9.在平行四边形"8CZ）中，月8=2〃。=拒,/四。==£是线段。。的中点，则存.祝=（）

A.1B.4C.6D.7

10.如果向量1石的夹角为8,我们就称为向量£与石的“向量积"，£口还是一个向量，它的长度为

px6|=|a|-|6|sin^,如果"=10,恸=2,£.否=一12,则|菽N=（）

A.-16B.16C.-20D.20

11.（多选）下列说法正确的是（）

A.对任意向量不石，都有不5=14

B.若且一=0,则］=，

C.对任意向量瓦51,都有［联3）七二五®£）

D.对任意向量后,反乙，都有k+=+

12.（多选）中，下列说法正确的是（）

上万

A.与方共线的单位向量