九年级数学上册：圆的认识及垂径定理（讲义+练习）学生版

的认识及垂径定理

知识点1、弦、弧（优弧、劣弧、等弧）的定义

2、圆的垂径定理

教学目标1、掌握圆弧的概念以及优弧、劣弧、等弧、弦的定义.

2、理解并掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题.|

教学重点掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题.

教学难点利用垂径定理解决数学问题.

_____________________J

【教学建议】

圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。它是常见的

几何图形之一，在初中数学中占有重要地位，中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合

性较强。本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的巩固，也为本章即将要探究的圆

的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实基础。

【知识导图】

教学过程

一、导入

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状

态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象：

②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学

生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考:

1、观察引入

观察上面的纪念章及纪念币图片很显然它们的轮廓都是圆形，本节课我们将进一步的研究这

类图形.

二、复习预习

1、已知圆的半径为r,则圆的周长：2nr

2、求圆的面积时题中给出的已知条件有几种情况？怎样求出圆面积？

2

已知半径r求面积S=nr

d_

已知直径d求面积S=n(2)2

c

已知周长C求面积S=n(2r)2

3、环形面积：S=n(R2-r2)

考点1圆的认识(弦、弧)

1、什么叫弦？直径与弦的关系？

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.

2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣孤？什么是等弧？

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重

合的两条弧叫等弧.

3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？

圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.

考点2垂径定理

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

已知：直径CD、弦AB且CD_LAB垂足为M

求证：AM=BM,AD=BD，

分析：要证=只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结0A、

0B或AC、BC即可.

证明：如图,连结QA、0B.则QA=OB

在RtbOAM和RtAOBM中

OA=OB

OM=()M

•••RtbOAM=RtAOBM

.・.AM=BM

工点A和点B关于CD对称

・1。0关于直径CD对称

，当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，蓝与蓝重合，G与众重合.

•*«AC=BC»AD=BD

进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对

的两条弧.

垂径定理推论：

1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论扩展

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

2、垂径定理及其推论可概括为

‘过圆心、

垂直于弦

直径平分弦知二推三

、平分弦所对的弧

四、例题精析

类型一圆的认识（弦、弧）

例题1

下列五个命题:

(1)平分弦的直径必垂直于弦

(2)圆是轴对称图形，对称轴是直径

(3)圆中两点之间的部分叫做弧

(4)长度相等的两条弧叫等弧

(5)直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径

其中真命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

下列说法：

①半圆是弧；

②弧是半圆；

③圆中的弧分为优弧和劣弧.

其中正确的个数有()

A.0B.1C.2D.3

类型二垂径定理

例题1

如图，以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB二12次,

0P=6,则劣弧AB的长为.

已知：。0的半径为10cm,弦AB〃CD,AB=12cm,CD=16cm,求AB、CD间的距离.

四、课堂运用

中，错误的是（）

①弦是直径；

②半圆是弧；

③长度相等的两条弧是等弧；

④能够互相重合的弧是等孤；

⑤大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，00的直径为10,弦AB二8,P是弦AB上一动点，那么0P长的取值范围是

A'B

3.“圆材理壁”星我国占代《九章算术》中的一个问颍，“今有圆材，用在壁中，不知大小，

以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为

。。的直径，弦AB_LCD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”.依题意，CD长

为（）

A.空寸B.13寸C.25寸1）.26寸

2

4•如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,半径0B=5cm,圆心。到BC的距离为3cm,

求A到BC的距离.

巩固

1.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为

（-3,2）,则该圆弧所在圆心坐标是（）

A.(0,0)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(0,-1)

2.如图，AB为。0的直径，直线1与。0相切于点C,AD11,垂足为D,AD交0（）于点E,

连接OC、BE.若AE=6,0A=5,则线段DC的长为.

3.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB-60m,水面到拱顶距离

CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由.

D

「一F3

€

B

4.如图，在△ABC中,NACB=90°,ZA=40°,以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D,

连接CD,则NACD=()

A.10°B.15°C.20°D.25°

拔高

1.如图，OO中，点A,3D以及点B,0,C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

2.如图，AC是圆0的直径，ACM,弧BA=120°,点D是弦AB上的一个动点，那么0D+工BD

3.如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（）

A.13mB.15mC.20mD.26m

五、课堂小结

圆的认识及垂g定理是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与

系的基砒这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂

径定理及其推论反映了由的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因

此,它是整节书的重点,由干垂杼定理的题设和结论都较复杂,因此.理解和讦明定理是本

节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课

基础

1.下列语句中正确的个数为（）

①等弧的度数相等：②等弧的弧长相等：③长度相等的孤星等弧：④度数相等的弧是等弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）

4JTrB.2nrC.nrD.2r

3.如图，AB是。。的直径，AB_LCD于E,AB=10,CD=8,则BE为()

A.2B.3C.4D.3.5

4.如图，AB是。()的直径，CD是。0的弦，AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,若4

COD为直角三角形，则NE的度数为

5.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截

面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=l6cm,水最深的地方的高度为4cm,

求这个圆形截面的半径.

巩固

1.如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器

的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40。，那么在小量

角器上对应的度数为.（只考虑小于90°的角度）

2.如图所示，MN为。0的弦，ZN=50°,则NMON的度数为（）

A.40°B.50°C.