2026年专升本高等数学多元函数微分法与积分法习题集

2026年专升本高等数学多元函数微分法与积分法习题集2026年专升本高等数学多元函数微分法与积分法习题集考核对象：专升本学生题型分值分布：-单项选择题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（8题，每题2分，共16分）-应用题（8题，每题4分，共24分）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设函数\(z=f(x,y)\)在点\((1,2)\)处可微，且\(f(1,2)=3\)，\(f_x(1,2)=1\)，\(f_y(1,2)=-1\)，则当\((x,y)\)从\((1,2)\)变到\((1.02,1.98)\)时，函数\(z\)的近似增量是（）。A.0.04B.-0.04C.0.02D.-0.022.函数\(z=\ln(x^2+y^2)\)在点\((1,1)\)处沿方向\(\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j}\)的方向导数为（）。A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\sqrt{2}\)C.1D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)3.设\(D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq4\}\)，则二重积分\(\iint_De^{x^2+y^2}\,dx\,dy\)的极坐标形式为（）。A.\(2\pi\int_0^2e^r^2r\,dr\)B.\(\pi\int_0^2e^r^2r\,dr\)C.\(2\pi\int_0^2e^r\,dr\)D.\(\pi\int_0^2e^r\,dr\)4.曲面\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1,2)\)处的切平面方程为（）。A.\(2x+2y-z=1\)B.\(x+y-z=0\)C.\(2x+2y+z=6\)D.\(x+y+z=4\)5.设\(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\)，则\(f(x,y)\)的极值点是（）。A.\((1,1)\)B.\((-1,-1)\)C.\((1,-1)\)D.\((-1,1)\)6.设\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)围成的区域，则\(\iint_Dxy\,dx\,dy\)的值为（）。A.\(\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{6}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{2}\)7.函数\(f(x,y)=x^2+y^2+2x-4y+5\)的驻点为（）。A.\((1,2)\)B.\((-1,-2)\)C.\((2,1)\)D.\((-2,-1)\)8.设\(\iint_Df(x,y)\,dx\,dy\)的积分区域\(D\)为\(0\leqx\leq1\)，\(0\leqy\leqx\)，则交换积分次序后，积分变为（）。A.\(\int_0^1\int_0^xf(x,y)\,dy\,dx\)B.\(\int_0^1\int_x^1f(x,y)\,dy\,dx\)C.\(\int_0^1\int_0^yf(x,y)\,dx\,dy\)D.\(\int_0^1\int_y^1f(x,y)\,dx\,dy\)9.设\(f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\)，则\(f_x(0,1)\)的值为（）。A.0B.1C.-1D.不存在10.设\(D\)是由\(x^2+y^2\leq1\)围成的闭区域，则\(\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy\)的值为（）。A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(\frac{\pi}{4}\)D.\(2\pi\)二、填空题（每题2分，共20分）1.若\(z=f(x,y)\)在点\((1,2)\)处可微，且\(f_x(1,2)=2\)，\(f_y(1,2)=-3\)，则当\(x\)从1变到1.01，\(y\)从2变到1.98时，函数\(z\)的全增量的近似值为________。2.函数\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在点\((3,4)\)处沿方向\(\mathbf{u}=\frac{3}{5}\mathbf{i}+\frac{4}{5}\mathbf{j}\)的方向导数为________。3.设\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=2\)围成的区域，则\(\iint_D(x+y)\,dx\,dy\)的值为________。4.曲面\(z=x^3-2xy^2\)在点\((1,1,-1)\)处的法向量为________。5.函数\(f(x,y)=x^2-4xy+5y^2\)的驻点为________。6.设\(\iint_Df(x,y)\,dx\,dy\)的积分区域\(D\)为\(1\leqx^2+y^2\leq4\)，则积分的极坐标形式为________。7.若\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，则\(f_{xx}(0,0)\)的值为________。8.设\(D\)是由\(x^2+y^2\leq9\)围成的闭区域，则\(\iint_Dy\,dx\,dy\)的值为________。9.函数\(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\)的极大值为________。10.若\(f(x,y)=\sin(x+y)\)，则\(f_x(0,\frac{\pi}{2})\)的值为________。三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微，则\(z\)在该点处连续。（）2.函数\(z=x^2+y^2\)在点\((0,0)\)处沿任意方向的方向导数均为0。（）3.若\(f(x,y)\)在区域\(D\)上可积，则\(f(x,y)\)在\(D\)上有界。（）4.设\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)围成的区域，则\(\iint_D(x-y)\,dx\,dy=0\)。（）5.函数\(f(x,y)=x^2-y^2\)在点\((0,0)\)处取极值。（）6.若\(f(x,y)\)在区域\(D\)上连续，则\(\iint_Df(x,y)\,dx\,dy\)必定存在。（）7.曲面\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1,2)\)处的法线方向为\(\mathbf{n}=(2,2,-1)\)。（）8.函数\(f(x,y)=x^3+y^3\)在点\((1,1)\)处取极小值。（）9.若\(f(x,y)\)在区域\(D\)上可积，则\(\iint_Df(x,y)\,dx\,dy\)的值与积分次序无关。（）10.设\(D\)是由\(x^2+y^2\leq1\)围成的闭区域，则\(\iint_Dx\,dx\,dy=0\)。（）四、简答题（每题2分，共16分）1.解释什么是多元函数的可微性，并说明可微性与连续性的关系。2.如何求函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处沿方向\(\mathbf{u}\)的方向导数？3.写出二重积分的直角坐标形式和极坐标形式的转换关系。4.如何判断函数\(f(x,y)\)在驻点处是否取极值？5.解释什么是二重积分的对称性，并举例说明。6.如何求曲面\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0,z_0)\)处的切平面方程？7.写出二重积分的换序公式，并说明其应用条件。8.解释什么是二重积分的几何意义。五、应用题（每题4分，共24分）1.设\(z=x^2+y^2\)，求\(z\)在区域\(D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1\}\)上的最大值和最小值。2.计算\(\iint_De^{x+y}\,dx\,dy\)，其中\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)围成的区域。3.求函数\(f(x,y)=x^3-3xy^2\)在区域\(D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq4\}\)上的最大值和最小值。4.计算\(\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy\)，其中\(D\)是由\(x^2+y^2\leq9\)围成的区域。5.求曲面\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1,2)\)处的切平面方程。6.计算\(\iint_Dxy\,dx\,dy\)，其中\(D\)是由\(y=x\)，\(y=2x\)，\(x=1\)，\(x=2\)围成的区域。标准答案及解析一、单项选择题1.D解析：全增量\(\Deltaz\approxf_x(1,2)\Deltax+f_y(1,2)\Deltay=1\cdot0.02+(-1)\cdot(-0.02)=0.02\)，近似增量应为0.02，但选项中无正确答案，可能题目有误。2.D解析：方向导数为\(\nablaf\cdot\mathbf{u}=(2x,2y)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}(x+y)\)，在点\((1,1)\)处为\(\sqrt{2}\cdot2=\sqrt{2}\)。3.A解析：极坐标下\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，积分区域为\(0\leqr\leq2\)，\(0\leq\theta\leq2\pi\)，故积分形式为\(2\pi\int_0^2e^{r^2}r\,dr\)。4.A解析：法向量为\(\nablaf=(2x,2y)\)，在点\((1,1)\)处为\((2,2)\)，切平面方程为\(2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0\)，即\(2x+2y-z=2\)，选项A为\(2x+2y-z=1\)，可能题目有误。5.A解析：驻点满足\(f_x=3x^2-3y=0\)，\(f_y=3y^2-3x=0\)，解得\((1,1)\)和\((-1,-1)\)，代入\(f\)得\(f(1,1)=-1\)，\(f(-1,-1)=1\)，故极大值为1，选项A为极大值点。6.B解析：积分区域为三角形，面积\(\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}\)，积分值为\(\int_0^1\int_0^{1-x}xy\,dy\,dx=\frac{1}{6}\)。7.A解析：驻点满足\(f_x=2x+2=0\)，\(f_y=-4y-4=0\)，解得\((1,2)\)。8.C解析：交换积分次序后，区域为\(0\leqy\leqx\leq1\)，即\(\int_0^1\int_0^xf(x,y)\,dy\,dx\)。9.D解析：在\((0,1)\)处，\(f_x=\lim_{\Deltax\to0}\frac{\frac{0}{0^2+1^2}-\frac{0}{0^2+1^2}}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}0=0\)，但原题可能存在歧义。10.B解析：极坐标下\(\iint_Dr^2r\,dr\,d\theta=\pi\int_0^2r^3\,dr=\pi\cdot\frac{r^4}{4}\Big|_0^2=\pi\)。---二、填空题1.\(2\cdot0.01+(-3)\cdot(-0.02)=0.02+0.06=0.08\)2.\(\nablaz\cdot\mathbf{u}=(6,8)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=\frac{18}{5}+\frac{32}{5}=10\)3.\(\int_0^1\int_0^{2-x}(x+y)\,dy\,dx=\frac{1}{3}\)4.\((6x-2y,-4xy)\Big|_{(1,1)}=(4,-4)\)5.\((2,2)\)6.\(\int_1^4\int_0^{2\pi}e^{r^2}r\,d\theta\,dr\)7.\(2\)8.\(0\)（由对称性）9.\(3\)10.\(1\)---三、判断题1.正确解析：可微性隐含连续性。2.错误解析：方向导数应为\(\sqrt{3^2+4^2}=5\)。3.错误解析：反例：狄利克雷函数在\([0,1]\)上可积但无界。4.正确解析：积分区域关于\(y=x\)对称，\(x-y\)为奇函数，积分为0。5.错误解析：在\((0,0)\)处为鞍点。6.正确解析：连续函数在有界闭区域上可积。7.正确解析：法向量为\((2,2,-1)\)。8.错误解析：在\((1,1)\)处为鞍点。9.正确解析：可积函数的积分与次序无关。10.正确解析：区域关于\(y=x\)对称，\(x\)为奇函数，积分为0。---四、简答题1.可微性解析：多元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微，指存在线性映射\(L(x,y)\)使\(\lim_{\Deltax,\Deltay\to0}\frac{f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)-L(\Deltax,\Deltay)}{\sqrt{\Deltax^2+\Deltay^2}}=0\)。可微性隐含连续性，但连续性不一定可微。2.方向导数解析：沿方向\(\mathbf{u}\)的方向导数为\(\nablaf\cdot\mathbf{u}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta\)，其中\(\mathbf{u}=(\cos\alpha,\cos\beta)\)。3.转换关系解析：直角坐标\((x,y)\)与极坐标\((r,\theta)\)关系为\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，雅可比行列式为\(r\)，故\(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\)。4.极值判断解析：驻点满足\(f_x=0\)，\(f_y=0\)，再用二阶导数判别：设\(A=f_{xx}\)，\(B=f_{xy}\)，\(C=f_{yy}\)，若\(AC-B^2>0\)且\(A>0\)为极小值，\(A<0\)为极大值；若\(AC-B^2<0\)为鞍点。5.对称性解析：若\(f(x,-y)=f(x,y)\)，则积分区域关于\(y=0\)对称时，\(\iint_Df(x,y)\,dx\,dy=2\iint_{D_+}f(x,y)\,dx\,dy\)，其中\(D_+\)为上半区域。6.切平面方程解析：法向量为\(\nablaf=(f_x,f_y,-1)\)，切平面方程为\(f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0\)。7.换序公式解析：设\(D=\{(x